Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 15
Quando existe, vi é únicamente determinada a menos de conjuntos de medida nula. Claramente C 1 (Ω) ⊂
W 1 (Ω): o conceito de derivada fraca é uma extensão do conceito clássico de derivada que mantém a validade
da fórmula de integração por partes.
Exemplo 1. Sejam n = 1, Ω = (0, 2) e
Então, se
u(x) =
v(x) =
x se 0 < x 1,
1 se 1 x < 2.
1 se 0 < x 1,
0 se 1 x < 2,
temos u ′ (x) = v(x). De fato, dada ϕ ∈ C ∞ 0 ((0, 2)), temos
2
Exemplo 2. Sejam n = 1, Ω = (0, 2) e
0
uϕ ′ dx =
u(x) =
1
0
xϕ ′ dx +
= ϕ(1) − 0 −
= −
2
0
vϕ dx.
2
1
1
0
ϕ ′ dx
ϕ dx + 0 − ϕ(1)
x se 0 < x 1,
2 se 1 x < 2.
Então u não possui uma derivada fraca. Com efeito, suponha por absurdo que exista uma função
v ∈ L1 loc ((0, 2)) satisfazendo
para toda ϕ ∈ C ∞ 0 ((0, 2)). Então
ou seja,
−
2
0
vϕ dx =
1
0
= −ϕ(1) −
2
0
xϕ ′ dx + 2
1
0
ϕ(1) =
uϕ ′ dx = −
2
1
ϕ dx,
1
0
2
0
vϕ dx,
ϕ ′ dx = ϕ(1) − 0 −
ϕ dx +
2
0
vϕ dx.
1
0
ϕ dx + 0 − 2ϕ(1)
para toda ϕ ∈ C ∞ 0 ((0, 2)). Escolhendo uma seqüência de funções-teste (ϕm) ⊂ C ∞ 0 ((0, 2)) satisfazendo
ϕm(1) = 1, 0 ϕm 1 e ϕm(x) → 0 para todo x = 1, obtemos através do teorema da convergência
dominada de Lebesgue que
uma contradição.
1 = lim
m→∞ ϕm(1)
1
= lim
m→∞
0
ϕm dx +
2
0
vϕm dx = 0,