Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 35
Observe que u ∗ é uma função radialmente simétrica, não-crescente. Assumiremos os seguintes resultados
sem demonstração (para uma prova, veja [Bandle], Lema 2.4 e Corolário 2.1):
1.27 Lema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Então
f
e
|∇u|
Ω
2
Ω
Ω ∗
Ω ∗
f ∗
|∇u ∗ | 2 .
1.28 Teorema. (Desigualdade de Faber-Krahn) Seja Ω ⊂ R 2 um aberto limitado. Se λ1 é o primeiro
autovalor de Dirichlet do laplaciano em Ω, então vale
λ1 πα2 0,1
A ,
onde α0,1 é o primeiro zero positivo da função de Bessel J0 e A é a área de Ω.
Prova: Seja (un) ⊂ W 1,2
0 (Ω) uma seqüência minimizante para o quociente de Rayleigh I do primeiro
autovalor de Dirichlet λ1 (Ω) do laplaciano em Ω. Como I (|u|) = I (u), podemos assumir un 0 para todo
n. Então u ∗ n ∈ W 1,2
0 (D), onde D = Ω ∗ é o disco de raio R que possui área A. Segue que
Ω
λ1 (Ω) = lim inf
|∇un| 2
Ω u2 n
= α2 0,1 π
=
R2 πR2 α2 0,1 = πα2 0,1
A .
D lim inf
|∇u∗n| 2
D (u∗ 2 min
n) u∈W 1,2
0 (Ω)\{0}
Ω |∇u|2
Ω u2 = λ1 (D)
A desigualdade de Faber-Krahn entre outras coisas comprova a conjectura de Rayleigh de que entre todas
as regiões de mesma área, o disco tem o menor primeiro autovalor.
1.29 Teorema. (Lei de Weyl) Seja Ω ⊂ R 2 um aberto limitado conexo e
0 < λ1 < λ2 . . . λj . . .
os autovalores de Dirichlet do laplaciano em Ω. Então
λj ∼ 4πj
A ,
onde A é a área de Ω. Mais geralmente, se Ω ⊂ R n é um aberto limitado, então
λj ∼ 4π 2
2/n j
,
ωnV
Prova: Veja [Weyl] ou [Courant-Hilbert], pág. .429–443
1.30 Corolário. Seja Ω ⊂ R 2 um aberto limitado conexo. Existe apenas um número finito de autovalores
λj para os quais o número máximo j de domínios nodais é atingido.