Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 31
logo
e φ(r) é uma função decrescente. Portanto,
1
|∂Br|
∂Br
φ ′ (r) 0
u 1
u
|∂BR| ∂BR
para todo 0 < r R. Usando o Teorema do Valor Médio para Integrais
1
lim
u = u(x),
r→0 |∂Br|
∂Br
obtemos
u(x) 1
u.
|∂BR| ∂BR
(1.23)
Em particular, como R é arbitrário, vale a desigualdade
nωnr n−1
u(x) u
para todo r, e a desigualdade do valor médio (1.22) é obtida integrando-se esta equação de r = 0 até r = R.
Vamos agora provar o lema. Seja m = minΩ u e considere o conjunto A = {x ∈ Ω : u(x) = m}. Por
hipótese, A é não-vazio e fechado em Ω, pois u é contínua em Ω. Como Ω é conexo, para provar que A = Ω e
portanto que u é constante, basta provar que A é aberto. De fato, dado x ∈ A e uma bola BR = BR(x) ⊂⊂ Ω,
temos pela desigualdade do valor médio para funções harmônicas que
m = u(x) 1
|BR|
BR
∂Br
u 1
|BR|
BR
m = m.
Se houvesse pelo menos um ponto em BR(x) cujo valor é estritamente maior que m, então a desigualdade
acima seria estrita, o que constituiria uma contradição. Concluímos que u ≡ m em BR(x), logo A é aberto.
1.20 Lema. Seja Ω ⊂ R n um aberto. Seja u ∈ C 2 (Ω) uma solução de −∆u = λu em Ω, λ 0. Se u
atinge um mínimo igual a 0 no interior de Ω, então u é constante.
Prova: Se minΩ u = 0, em particular u 0 em Ω. Logo, ∆u = −λu 0 em Ω. Pelo Princípio do Máximo
Forte, concluímos que u é constante.
1.21 Teorema. Seja Ω ⊂ R n um aberto limitado conexo. Então o problema de autovalor
−∆u = λu em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
possui uma solução positiva u1 > 0 em Ω. Além disso, qualquer outra autofunção associada a λ1 é
múltipla de u1.
Prova: Para simplificar a demonstração, assumiremos que Ω tem regularidade suficiente para que u ∈
C2 (Ω)∩C 0 Ω de modo que podemos usar o Princípio do Máximo Forte clássico dado no lema anterior (um
princípio do máximo forte para funções em W 1,2
0 (Ω) pode ser visto em [Gilbarg-Trudinger]). Pela formulação
variacional, se u é uma autofunção associada a λ1, então |u| também é, pois I (u) = I (|u|). A teoria de
regularidade (Teorema 1.13) garante então que |u| ∈ C2 (Ω) ∩ C0 Ω também. Pelo lema anterior, u não
pode se anular no interior de Ω, pois isso implicaria que |u| atinge o seu mínimo no interior, logo u > 0.
Este argumento também implica que as autofunções associadas a λ1 são negativas ou positivas em Ω, logo
não podem ser ortogonais, e portanto o subespaço associado a λ1 só pode ser unidimensional.
Mais geralmente, vale o resultado do Teorema 1.24 a seguir para todos os autovalores do laplaciano.