Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 45
2.2.1 A Fórmula dos Cinco Pontos
Vamos estabelecer alguma notação. Denote
Ao discretizar Ω através dos pontos
Ω = (0, a) × (0, b) = (x, y) ∈ R 2 : 0 < x < a, 0 < y < b .
(xi, yj) = (i∆x, j∆y) , 0 i n, 0 j m
onde
∆x = a
,
n
b
∆y =
m ,
substituímos o domínio Ω pela malha (ou gride) uniforme
Ωd = {(x, y) ∈ Ω : x = i∆x, y = j∆y, 1 i n − 1, 1 j m − 1} .
Sua fronteira discretizada é o conjunto
de forma que
A equação de Poisson
pode ser agora discretizada. Denotamos
∂Ωd = {(x, y) ∈ ∂Ω : x = i∆x, y = j∆y, 0 i n, 0 j m} ,
Ωd = (x, y) ∈ Ω : x = i∆x, y = j∆y, 0 i n, 0 j m .
−uxx − uyy = f (x, y)
ui,j = u (xi, yj) ,
fi,j = f (xi, yj) .
Aproximamos cada derivada parcial de segunda ordem pela sua diferença centrada, obtendo
−uxx ≈ −ui−1,j + 2ui,j − ui+1,j
∆x2 ,
−uyy ≈ −ui,j−1 + 2ui,j − ui,j+1
∆y2 .
Portanto, a equação de Poisson discretizada toma a forma
−ui−1,j + 2ui,j − ui+1,j
∆x 2
+ −ui,j−1 + 2ui,j − ui,j+1
∆y 2 = fi,j. (2.11)
Como a função u é calculada em cinco pontos, esta equação é chamada a fórmula dos cinco pontos.
Para cada ponto interior da malha obtemos uma equação, logo temos um sistema linear de (n − 1) (m − 1)
equações com o mesmo número de incógnitas. Diferente do caso unidimensional, no entanto, não existe uma
maneira natural de ordenar os pontos da malha, logo não podemos obter imediatamente uma representação
matricial para o problema discretizado. Precisamos antes escolher uma ordenação para os pontos da malha,
e como existem várias ordenações possíveis, existem várias matrizes associadas.
Talvez a mais simples ordenação é a ordem lexicográfica induzida de Z 2 . Nesta ordem, os pontos da
malha são percorridos linha por linha, da esquerda para a direita, de baixo para cima:
u1,1, u2,1, . . . , un−1,1, u1,2, u2,2, . . . , un−1,2, . . . . . . , u1,m−1, u2,m−1, . . . , un−1,m−1.