Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG
Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG
Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Rodney Josué Biezuner 43<br />
Prova. Temos<br />
⎡<br />
2 −1<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢<br />
⎣<br />
2<br />
−1<br />
−1<br />
. ..<br />
. ..<br />
pois<br />
e<br />
. ..<br />
. .. −1<br />
−1 2 −1<br />
−1 2<br />
2 sen jπ<br />
n<br />
− sen 2jπ<br />
n<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎢<br />
⎣<br />
sen<br />
sen jπ<br />
n<br />
sen 2jπ<br />
n<br />
.<br />
(n − 2) jπ<br />
sen<br />
n<br />
(n − 1) jπ<br />
n<br />
= 2 sen jπ<br />
n<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
2 sen<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ = ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
jπ 2jπ<br />
− sen<br />
n n<br />
− sen jπ<br />
⎤<br />
⎥<br />
2jπ 3jπ<br />
⎥<br />
+ 2 sen − sen ⎥<br />
n n n<br />
⎥<br />
.<br />
⎥<br />
(n − 3) jπ (n − 2) jπ (n − 1) jπ ⎥<br />
− sen + 2 sen − sen ⎥<br />
n<br />
n<br />
n ⎥<br />
(n − 2) jπ (n − 1) jπ ⎦<br />
− sen + 2 sen<br />
n<br />
n<br />
<br />
= 2 1 − cos jπ<br />
⎡<br />
⎢<br />
sen<br />
⎢<br />
⎢<br />
n ⎢<br />
⎣<br />
jπ<br />
n<br />
sen 2jπ<br />
⎤<br />
⎥<br />
n<br />
⎥<br />
. ⎥ ,<br />
⎥<br />
(n − 2) jπ ⎥<br />
sen ⎥<br />
n ⎥<br />
(n − 1) jπ ⎦<br />
sen<br />
n<br />
− 2 sen jπ<br />
n<br />
cos jπ<br />
n<br />
<br />
= 2 1 − cos jπ<br />
<br />
sen<br />
n<br />
jπ<br />
n ,<br />
(n − k − 1) jπ (n − k) jπ (n − k + 1) jπ<br />
− sen + 2 sen − sen<br />
<br />
n<br />
n<br />
n<br />
(n − k) jπ<br />
= − sen<br />
−<br />
n<br />
jπ<br />
<br />
<br />
(n − k) jπ (n − k) jπ<br />
+ 2 sen − sen<br />
+<br />
n<br />
n<br />
n<br />
jπ<br />
<br />
n<br />
(n − k) jπ<br />
= − sen cos<br />
n<br />
jπ (n − k) jπ<br />
+ cos sen<br />
n n<br />
jπ (n − k) jπ<br />
+ 2 sen<br />
n n<br />
(n − k) jπ<br />
− sen cos<br />
n<br />
jπ (n − k) jπ<br />
− cos sen<br />
n n<br />
jπ<br />
<br />
n<br />
= 2 1 − cos jπ<br />
<br />
(n − k) jπ<br />
sen ,<br />
n n<br />
(n − 2) jπ (n − 1) jπ<br />
− sen + 2 sen<br />
<br />
n<br />
n<br />
(n − 1) jπ<br />
= − sen<br />
−<br />
n<br />
jπ<br />
<br />
(n − 1) jπ<br />
+ 2 sen<br />
n<br />
n<br />
(n − 1) jπ<br />
= − sen cos<br />
n<br />
jπ (n − 1) jπ<br />
+ cos sen<br />
n n<br />
jπ<br />
n<br />
(n − 1) jπ<br />
= − sen cos<br />
n<br />
jπ (n − 1) jπ<br />
− sen cos<br />
n n<br />
jπ<br />
<br />
n<br />
= 2 1 − cos jπ<br />
<br />
(n − 1) jπ<br />
sen ,<br />
n n<br />
on<strong>de</strong> na penúltima i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong> usamos o fato que<br />
cos<br />
(n − 1) jπ<br />
n<br />
sen jπ<br />
n<br />
= − sen (n − 1) jπ<br />
n<br />
+ 2 sen (n − 1) jπ<br />
n<br />
+ 2 sen (n − 1) jπ<br />
n<br />
cos jπ<br />
n
Change language