Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG
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Rodney Josué Biezuner 47<br />
(ou seja 3 × 5 = 15 pontos internos na malha e uma matriz 15 × 15), temos<br />
A = 1<br />
∆x2 ⎡<br />
4<br />
⎢ −1<br />
⎢ 0<br />
⎢ −1<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎣ 0<br />
−1<br />
4<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
4<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
4<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
0<br />
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−1<br />
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0<br />
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0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
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0<br />
4<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
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0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
4<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4<br />
Observe que a matriz A é uma matriz simétrica, pentadiagonal e esparsa.<br />
2.2.2 Existência e Unicida<strong>de</strong> da Solução Discreta – <strong>Autovalores</strong> <strong>do</strong> Problema<br />
Bidimensional<br />
Denotaremos por ud a função u| Ωd , isto é, ud é a discretização da função u no <strong>do</strong>mínio discretiza<strong>do</strong> Ωd.<br />
Vamos <strong>de</strong>finir o opera<strong>do</strong>r laplaciano discreto obti<strong>do</strong> a partir da fórmula <strong>do</strong>s cinco pontos por<br />
<br />
ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j<br />
−∆dud = −<br />
∆x2 + ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1<br />
∆y2 <br />
. (2.12)<br />
<strong>de</strong> mo<strong>do</strong> que a discretização <strong>do</strong> problema<br />
−∆u = f em Ω,<br />
u = 0 sobre ∂Ω,<br />
é o problema −∆dud = fd em Ωd,<br />
ud = 0 sobre ∂Ωd.<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(2.13)<br />
Para estabelecer a existência e unicida<strong>de</strong> da solução discreta, provaremos que a matriz <strong>de</strong> discretização A,<br />
que é uma matriz simétrica, é também uma matriz positiva <strong>de</strong>finida, pois isso implica em particular que A<br />
é invertível.<br />
Lembran<strong>do</strong> que as autofunções <strong>de</strong> Dirichlet <strong>do</strong> laplaciano no retângulo [0, a] × [0, b] são as funções<br />
Ukl (x, y) = sen kπx<br />
a<br />
sen lπy<br />
b ,<br />
este fato sugere que os autovetores ukl da matriz A na or<strong>de</strong>m lexicográfica são os vetores <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
Ukl (x1, y1) , Ukl (x2, y1) , . . . , Ukl (xn−1, y1) ,<br />
Ukl (x1, y2) , Ukl (x2, y2) , . . . , Ukl (xn−1, y2) ,<br />
.<br />
Ukl (x1, ym−1) , Ukl (x2, ym−1) , . . . , Ukl (xn−1, ym−1)