Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Capítulo 2
Método de Diferenças Finitas
2.1 O Caso Unidimensional
Nesta seção, desenvolveremos um método numérico de diferenças finitas para resolver o problema de Dirichlet
para a equação de Poisson em uma dimensão
−u ′′ = f (x) em [0, a] ,
u (0) = u (a) = 0,
e para o problema de autovalor de Dirichlet para o laplaciano
−u ′′ = λu em [0, a] ,
u (0) = u (a) = 0.
2.1.1 Séries de Taylor e Diferenças Finitas em Uma Dimensão
Seja ∆x > 0. Considere as seguintes expansões de Taylor de uma função u em torno de um ponto x0,
respectivamente à direita e à esquerda de x0:
Daí,
u(x0 + ∆x) = u(x0) + u ′ (x0)∆x + 1
2! u′′ (x0)∆x 2 + 1
3! u′′′ (x0)∆x 3 + . . . , (2.1)
u(x0 − ∆x) = u(x0) − u ′ (x0)∆x + 1
2! u′′ (x0)∆x 2 − 1
3! u′′′ (x0)∆x 3 + . . . (2.2)
u ′ (x0) = u(x0 + ∆x) − u(x0)
∆x
u ′ (x0) = u(x0) − u(x0 − ∆x)
∆x
− 1
2! u′′ (x0)∆x − 1
3! u′′′ (x0)∆x 2 − . . . ,
+ 1
2! u′′ (x0)∆x − 1
3! u′′′ (x0)∆x 2 + . . .
Isso fornece duas aproximações possíveis para a primeira derivada u ′ (x0) de u em x0:
u ′ (x0) ≈ u(x0 + ∆x) − u(x0)
,
∆x
(2.3)
u ′ (x0) ≈ u(x0) − u(x0 − ∆x)
.
∆x
(2.4)
A primeira é chamada uma diferença progressiva e a segunda é uma diferença regressiva. Pela Fórmula
de Taylor com Resto, o erro destas aproximações é dado por
ɛ = ± 1
2 u′′ (ξ)∆x = O(∆x),
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