Ensaios sobre Computação e Informação Quânticas - DCCE - Unesp
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Os colchetes de Poisson possuem as seguintes propriedades<br />
⎧<br />
i) [X, X] = 0<br />
⎪⎨ ii) [X, Y ] = − [Y, X]<br />
⎪⎩<br />
Demonstração: [X,X]= 0<br />
[X, X] = <br />
i<br />
( ∂X ∂X<br />
∂qi ∂pi<br />
iii) [X, Y + Z] = [X, Y ] + [X + Z]<br />
iv) [X, Y Z] = Y [X, Z] + [X, Y ] Z<br />
− ∂X ∂X<br />
) =<br />
∂pi ∂qi<br />
<br />
( ∂X<br />
(1<br />
∂qi<br />
∂X<br />
∂pi<br />
= <br />
i<br />
( ∂X<br />
∂qi<br />
Demonstração: [X,Y]=-[Y,X]<br />
[X, Y ] = <br />
( ∂X ∂Y<br />
i<br />
∂qi ∂pi<br />
i<br />
i<br />
− ∂X<br />
∂pi<br />
1)) = <br />
( ∂X<br />
−<br />
∂pi<br />
∂X<br />
) ) =<br />
∂pi<br />
<br />
0<br />
<br />
(<br />
i<br />
∂X<br />
.0) = 0<br />
∂qi<br />
− ∂X ∂Y<br />
∂pi ∂qi<br />
= − <br />
( ∂Y ∂X<br />
∂qi ∂pi<br />
Demonstração: [X,Y+Z]=[X,Y]+[X,Z]<br />
) = − <br />
( ∂X ∂Y<br />
∂pi ∂qi<br />
− ∂Y<br />
∂pi<br />
[X, Y + Z] = <br />
( ∂X ∂(Y + Z)<br />
∂qi ∂pi<br />
= <br />
( ∂X<br />
i<br />
∂qi<br />
= <br />
( ∂X ∂Y<br />
∂qi ∂pi<br />
i<br />
= <br />
i<br />
i<br />
( ∂Y<br />
∂pi<br />
+ ∂Z<br />
∂pi<br />
i<br />
∂X<br />
) = −[Y, X]<br />
∂qi<br />
− ∂X<br />
∂pi<br />
) − ∂X<br />
(<br />
∂pi<br />
∂Y<br />
∂qi<br />
+ ∂X ∂Z<br />
−<br />
∂qi ∂pi<br />
∂X ∂Y<br />
∂pi ∂qi<br />
( ∂X ∂Y<br />
−<br />
∂qi ∂pi<br />
∂X ∂Y<br />
∂pi ∂qi<br />
i<br />
( ∂X<br />
(<br />
∂qi<br />
∂X<br />
∂pi<br />
− ∂X ∂Y<br />
) =<br />
∂qi ∂pi<br />
∂(Y + Z)<br />
) =<br />
∂qi<br />
+ ∂Z<br />
)) =<br />
∂qi<br />
− ∂X<br />
∂pi<br />
+ ∂X ∂Z<br />
−<br />
∂qi ∂pi<br />
∂X<br />
∂pi<br />
5<br />
∂Z<br />
) =<br />
∂qi<br />
∂Z<br />
) =<br />
∂qi<br />
(2.2)<br />
− ∂X<br />
)) =<br />
∂pi