Ensaios sobre Computação e Informação Quânticas - DCCE - Unesp

Uma solução trivial para (2.12), seria WY=YW e XZ=ZX. Mas, em geral, não é dito
que [A, B] comute como no caso do espaço de fases da Mecânica Quântica. Se as variáveis
W, X, Y, Z forem supostamente arbitrárias, segue-se que a identidade (2.12) é satisfeita
somente se, para quaisquer A e B:
Se o resultado (2.13) for introduzido em (2.12).
(AB − BA) ≡ α[A, B] (2.13)
α[W, Y ].[X, Z] = α[W, Y ][X, Z] (2.14)
Supondo em (2.13) que qi e pi representam as variáveis, então:
pois: lembre-se que [pj, qi] = δij, então temos que
(qipj − pjqi) = αδij, (2.15)
(qipi − piqi) = α (2.16)
O colchete [qi, pi] é invariante por transformações canônicas de coordenadas. Portanto,
consideremos que [p ′ i, q ′ i] = [pi, qi] e [p ′ i, q ′ i] ≡ [pi + ∆pi, qi + ∆qi].
α = (pi + ∆pi)(qi + ∆qi) − (qi + ∆qi)(pi + ∆pi) =
piqi + pi∆qi + ∆piqi + ∆pi∆qi − (qipi + qi∆Pi + ∆qipi + ∆qi∆pi)
Se considerarmos em (2.17) que pi = qi = 0, então:
(2.17)
∆pi∆qi − ∆qi∆pi = α (2.18)
Se introduzirmos agora o postulado adicional da anti-comutatividade, ou seja:
∆pi∆qi = −∆qi∆pi ⇒ ∆pi∆qi = α
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(2.19)
É conhecido como o ”Princípio da Incerteza de Heisenberg”quando α é muito pequeno
(∼ 10 −27 ).
Ou ainda, sejam A, B variáveis dinâmicas ⇒ (AB − BA) ≡ α[A, B]
Se A, B estão associadas às variáveis dinâmicas q ′ i e p ′ i (lembre-se que: [p ′ i, q ′ j] = δij)⇒
(q ′ ip ′ i − p ′ iq ′ i) = α (constante). Portanto [q ′ i, p ′ i] = α
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