Ensaios sobre Computação e Informação Quânticas - DCCE - Unesp

2.9 Estrutura do Espaço Vetorial Γ das Funções de
Onda
2.9.1 Produto escalar
Definição: Sejam ϕ(r), ψ(r) ∈ Γ, então o produto escalar de ϕ(r) e ψ(r), que denotaremos
pelo número complexo (ϕ, ψ) é definido por:
(ϕ, ψ) =
Esta integral converge pois ψ e ϕ pertencem a Γ.
1.
2.
3.
Tal definição implica nas seguintes propriedades:
pois
(ϕ, ψ) =
ϕ ∗ (r)ψ(r)d 3 r =
ϕ ∗ (r)ψ(r)d 3 r, (2.44)
(ϕ, ψ) = (ψ, ϕ) ∗
(ψ(r) ∗ ϕ(r)) ∗ d 3 r = (ψ, ϕ) ∗
(2.45)
(2.46)
(ϕ, λ1ψ1 + λ2ψ2) = λ1(ϕ, ψ1) + λ2(ϕ, ψ2) (2.47)
Segue diretamente do fato que integral da soma é a soma das integrais.
(ϕ, λ1ψ1 + λ2ψ2) = λ ∗ 1(ϕ1, ψ) + λ ∗ 2(ϕ2, ψ) (2.48)
Segue diretamente das propriedades 1. e 2..
Tais propriedades implicam que o produto escalar é linear com respeito a segunda
coordenada e anti-linear com respeito a primeira. Se (ϕ, ψ) = 0, então ϕ e ψ são chamados
de ortogonais. A norma de ψ ∈ Γ é definida por
(ψ 2
= (ψ, ψ)) =
21
|ψ(r)| 2 d 3 r. (2.49)