Ensaios sobre Computação e Informação Quânticas - DCCE - Unesp

Definição: Bases Ortonormais
Dado um espaço de Hilbert H diz-se que um subconjunto S de H é uma base ortonormal
de H se S não esta estritamente contido em nenhum outro conjunto ortonormal de H.
Uma observação a ser feita é que todo espaço de Hilbert tem uma base ortonormal,
pois, pelo Lema de Zorn, todo espaço vetorial possui base. Logo, basta aplicar o procedi-
mento de Gram-Schmidt e obter uma base ortonormal.
Teorema: Seja H um espaço de Hilbert e {eα}α∈I uma base ortonormal. Então para
cada x ∈ H temos:
Demonstração:
Logo
x =
α∈I (x, eα)eα e x 2 =
α∈I |(x, eα)| 2 (2.39)
Seja {eα}α∈I, onde I é uma família de indíces, uma base ortonormal, então
pois (eα, eβ) = δαβ.
x =
(x, eα)eα
α∈I
(x, x) = x 2 =
(x, eα)(x, eβ)(eα, eβ) =
|(x, eα)| 2
α∈I
β∈I
α∈I
(2.40)
2.8 Introdução à estrutura Matemática da Mecânica
Quântica
Devido a dualidade onda-partícula é necessário rever alguns conceitos:
1. O conceito clássico de trajetória, deve ser substituído pelo conceito de estado variável
com o tempo. O estado quântico de uma partícula, como um elétron, é caracterizado
por uma função de onda ψ(r, t), a qual contém toda informação possível de se obter
da partícula.
2. ψ(r, t) é interpretada como a amplitude de probabilidade da partícula. Desde que
sejam contínuas as possíveis posições da partícula, a probabilidade dP (r, t) de uma
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