Ensaios sobre Computação e Informação Quânticas - DCCE - Unesp

2.10.7 Equações de autovalor - observáveis
Autovalor e Autovetor de um operador:
Definição: |ψ > é dito ser um autovetor (ou auto KET) de um operador linear A, se:
A|ψ >= λ|ψ > (2.78)
onde λ é um número complexo. Pode-se também apresentar algumas propriedades da
equação (2.78), que é a equação do autovalor do operador linear. Em geral, esta equação
possui soluções apenas quando λ assume certos valores, chamados de autovalores de A.
O conjunto de autovalores é chamado de espectro de A. Pode-se notar que, se |ψ > é um
autovetor de A com autovalor λ, α|ψ > (onde α é também um complexo arbitrário) é
também um autovetor de A com o mesmo autovalor:
Observável:
A(α|ψ >) = αAλ|ψ >= αλ|ψ >= λ(α|ψ >) (2.79)
Propriedades dos autovalores e autovetores de um operador Hermitiano:
Apresentam-se dois importantes resultados que são válidos quando o operador é Her-
mitiano, ou seja: A † = A.
1. Os autovalores de um operador Hermitiano são reais.
De fato:
< ψ|A|ϕ >=< ψ|λ|ϕ >= λ < ψ|ϕ >
< ψ|A|ϕ >=< ϕ|A † |ψ > ∗ =< ψ|A|ϕ > ∗ = λ < ψ|ϕ >
Logo, λ = λ ⇒ λ ∈ IR.
⎫
⎪⎬
⇒ λ < ψ|ϕ >= λ < ψ|ϕ >
⎪⎭
(2.80)
2. Dois autovetores de um operador Hermitiano correspondentes a autovalores diferentes,
são ortogonais entre si.
De fato:
Sejam λ1 e λ2 dois autovalores de A = A † e ψ e ϕ autovetores correspondentes,
então temos
< ϕ|Aψ >= λ < ϕ|ψ >
< ϕ|Aψ >=< ψ|A † ϕ > ∗ =< ψ|Aϕ > ∗ = λ2 < ϕ|ψ >
27
⎫
⎪⎬
⎪⎭ ⇒ (λ1 − λ2) < ϕ|ψ >= 0
(2.81)