Ensaios sobre Computação e Informação Quânticas - DCCE - Unesp

1. (x, x) 0 e (x, x) = 0 ⇔ x = 0;
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3. (λx, y) = λ(x, y);
4. (x, y) = (y, x), lembrando que a representa o conjugado de a.
Um espaço vetorial provido de um produto interno chama-se Espaço Pré-Hilbertiano.
Consequentemente, um espaço Pré-Hilbertiano satisfaz a seguinte propriedade:
(x, y + z) = (x, y) + (x, z) e (x, λy) = λ(x, y), para todo x, y, z ∈ H e λ ∈ C.
Proposição: Desigualdade Cauchy-Schwarz
Seja H um espaço Pré-Hilbertiano. Se x, y ∈ H, então:
Proposição: Espaço de Hilbert
A função x dada por
|(x, y)| 2 (x, x)(y, y)
x := (x, x) 1
2
definida para todo x ∈ H é uma norma em H.
De fato: A única propriedade que requer alguma argumentação é que x + y
x + y para todo x, y ∈ H, que segue diretamente da Desigualdade Cauchy-Schwarz.
x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 + 2Re(x, y) + y 2 (x + y) 2
(2.32)
Dizemos que H é um espaço de Hilbert, se o Espaço Pré-Hilbertiano H com a métrica
definida por essa norma é completo.
Definição: Ortogonalidade
Um vetor x num espaço Pré-Hilbertiano H diz-se ortogonal a y ∈ H, e escrevemos x⊥y,
se (x, y) = 0. Um subconjunto S ⊂ H diz-se ortonormal se (x, x) = 1 e (x, y) = 0 para
todos x, y ∈ S com x = y.
17