Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Capitolul 1
Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul
întâi rezolvabile prin metode
elementare
Definit¸ia 1.0.1 O ecuat¸ie diferent¸ialǎ de ordinul întâi este o relat¸ie de dependent¸ǎ
funct¸ionalǎ de forma
g(t, x, ˙x) = 0 (1.1)
între funct¸ia identicǎ t ↦→ t definitǎ pe intervalul I necunoscut, o funct¸ie
necunoscutǎ x ¸si derivata ei ˙x definite pe acela¸si interval.
În ecuat¸ia (1.1) funct¸ia g se considerǎ cunoscutǎ, iar rezolvarea ecuat¸iei
înseamnǎ determinarea funct¸iilor necunoscute x care verificǎ ecuat¸ia.
Definit¸ia 1.0.2 O funct¸ie realǎ x de clasǎ C 1 definitǎ pe un interval deschis
I ⊂ IR 1 se nume¸ste solut¸ie a ecuat¸iei (1.1) dacǎ pentru orice t ∈ I tripletul
(t, x(t), ˙x(t)), apart¸ine domeniului de definit¸ie al lui g ¸si
g(t, x(t), ˙x(t)) = 0. (1.2)
Graficul unei solut¸ii: Γ = {(t, x(t))|t ∈ I} se nume¸ste curbǎ integralǎ.
La început vom prezenta câteva cazuri particulare de asemenea ecuat¸ii,
care se rezolvǎ cu metode elementare ¸si probleme concrete din diferite domenii
care au condus la asemenea ecuat¸ii.
1

2 CAPITOLUL 1
1.1 Problema primitivei. Ecuat¸ii
diferent¸iale de forma ˙x = f(t)
Problema 1.1.1 O conductǎ termicǎ are diametrul 10 (cm) ¸si este izolatǎ
cu un strat cilindric de 10 (cm) grosime. Temperatura conductei este
160 ( ◦ C), iar temperatura mediului exterior este 30 ( ◦ C).
i) Care este legea de variat¸ie a temperaturii în stratul izolant în cazul
stat¸ionar?
ii) Ce cantitate de cǎldurǎ cedeazǎ fiecare metru de conductǎ în 24 ore?
Se dǎ coeficientul de conductivitate termicǎ k = 0, 07 (W/K · m).
Rezolvare:
Fie t distant¸a unui punct din stratul izolant ¸si axa conductei termice,
t ∈ (5, 15) × 10 −2 m ¸si x(t) temperatura în acest punct. Temperatura este
funct¸ia necunoscutǎ ¸si depinde de t, iar funct¸ia x = x(t) descrie variat¸ia
temperaturiii în stratul izolant.
i) Pentru determinarea funct¸iei x(t) folosim legea lui Fourier: cantitatea
de cǎldurǎ Q cedatǎ în unitatea de timp în regim stat¸ionar pe suprafat¸a
lateralǎ a cilindrului de razǎ t este proport¸ionalǎ cu produsul dintre aria
lateralǎ a cilindrului ¸si variat¸ia temperaturii dx:
−k · S(t) · dx
dt
= Q. (1.3)
unde k este conductivitatea termicǎ a materialului izolant.
Aria lateralǎ a cilindrului de razǎ t ¸si lungime l, este S(t) = 2π ·t·l. Rezultǎ:
dx
dt
= − Q
2π k l
1
· . (1.4)
t
Prin urmare avem de determinat o funct¸ie x(t) care veificǎ (1.4).
Din teoria primitivelor rezultǎ cǎ orice funct¸ie x(t) care verificǎ (1.4) este
datǎ de formula
x(t) = − Q
· ln t + C (1.5)
2π k l
în care t ∈ (5, 15) ¸si C este o constantǎ oarecare. Determinarea legii de
variat¸ie cerute revine la select¸ionarea acelei funct¸ii x(t) din familia (1.5) care

Problema primitivei. Ecuat¸ii diferent¸iale de forma ˙x = f(t) 3
verificǎ condit¸iile: pentru t1 = 5 (cm) avem x(t1) = 160 ( ◦ C), ¸si pentru
t2 = 15 (cm), x(t2) = 30 ( ◦ C).
Impunând aceste condit¸ii, rezultǎ
de unde
C = 303 + 130 ·
ln 15 · 10−2
ln 3
= 78, 51( ◦ K) ¸si
x(t) = 78, 51 − 118, 33 lnt.
Q
2π k l
= 130
ln3 ,
ii) Folosind valorile numerice rezultǎ Q iar pentru cantitatea de cǎldurǎ
· 24 · 3600(s).
cedatǎ de fiecare metru liniar (l= 1 m) în 24 ore, q = Q
l
Trecem acum la cazul general de rezolvare a unei ecuat¸ii diferent¸iale de
forma ˙x = f(t) în care f este o funct¸ie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval
I ⊂ IR 1 , consideratǎ cunoscutǎ.
Din teoria primitivelor se ¸stie cǎ, dacǎ f este o funct¸ie realǎ continuǎ
definitǎ pe un interval I ⊂ IR 1 , atunci existǎ o familie de funct¸ii reale de
clasǎ C 1 definite pe I a cǎror derivatǎ este funct¸ia f. Aceste funct¸ii diferǎ
între ele printr-o constantǎ ¸si se obt¸in cu formula:
x(t) =
în care C este o constantǎ realǎ iar
t
t∗ t
f(τ)dτ + C (1.6)
f(τ)dτ este o primitivǎ a funct¸iei f.
t∗ Pentru t0 ∈ I ¸si x0 ∈ IR 1 existǎ o singurǎ solut¸ie x = x(t) a ecuat¸iei (1.6)
care verificǎ condit¸ia x(t0) = x0 ¸si aceasta este datǎ de formula
x(t) = x0 +
t
t0
f(s)ds. (1.7)
Problema determinǎrii acelei solut¸ii a ecuat¸iei ˙x = f(t) care verificǎ condit¸ia
x(t0) = x0 se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ Cauchy. Într-o
asemenea problemǎ t0 ¸si x0 se considerǎ cunoscute ¸si se numesc date init¸iale.
Problema în sine se noteazǎ tradit¸ional astfel:
¸si solut¸ia ei cu x(t; t0, x0).
˙x = f(t) (1.8)
x(t0) = x0

4 CAPITOLUL 1
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = f(t) (numitǎ problema primitivei) în care f este o funct¸ie realǎ
continuǎ definitǎ pe un interval deschis (a, b) ⊂ IR 1 .
2. Oricare ar fi solut¸ia x = x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale ˙x = f(t) existǎ o
constantǎ realǎ C astfel încât
x(t) =
t
t ∗
f(τ)dτ + C, (∀)t ∈ (a, b).
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ IR 1 existǎ o singurǎ funct¸ie x = x(t)
definitǎ pe (a, b) care este solut¸ia problemei cu date init¸iale
Exercit¸ii
˙x = f(t)
x(t0) = x0
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):
a) ˙x = 1 + t + t 2 ; t ∈ IR 1
R : x(t) = t3
3
+ t2
2
b) ˙x = 1
; t > 0 R: x(t) = lnt + C
t
+ t + C
c) ˙x = 1 + sin t + cos 2t; t ∈ IR 1 R: x(t) = t − cost + 1
sin 2t + C
2
d) ˙x = 1
1 + t2; t ∈ IR1
R: x(t) = arctant + C
e) ˙x = 1
t2 1
; t ∈ (−1, 1) R: x(t) =
− 1 2
f) ˙x =
1 − t
ln + C
1 + t
1
√ t 2 − 4 ; t ∈ IR 1 − [−2, 2] R: x(t) = ln(t + √ t 2 − 4) + C

Problema primitivei. Ecuat¸ii diferent¸iale de forma ˙x = f(t) 5
g) ˙x = e 2t + sin t; t ∈ IR 1 R: x(t) = 1
2 e2t − cost + C
h) ˙x = et2; t ∈ IR 1
R: se determinǎ numeric o primitivǎ
a lui et2, de exemplu
t
0
e s2
ds
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte grafic
solut¸iile (cu calculatorul):
a) ˙x = 1 + t + t 2 , t ∈ IR 1 , x(0) = 1
R: x(t) = t3
3
b) ˙x = 1
, t > 0, x(1) = 0
t
+ t2
2
R: x(t) = lnt
c) ˙x=1+sint+cos 2t, t∈IR 1 , x(−π) = 7
d) ˙x = 1
1 + t 2, t ∈ IR1 , x(−1) = −2
+ t + 1
R: x(t)=−cos t+ 1
sin 2t+t+6+π
2
R: x(t) = arctant + 1
π − 2
4
2
e) ˙x = −
(t2 − 1) 2,
t < 1, x(−2) = 0
t−1 t
R: x(t)=ln +
t+1 t2−1 +2
3 −ln√3 1
f) ˙x = √ , t > 0, x(1) = 1
t2 + t
1
R: x(t)=ln
2 +t+√t2
+t +ln2+1

6 CAPITOLUL 1
1.2 Ecuat¸ii diferent¸iale autonome ˙x = g(x)
Problema 1.2.1 O rachetǎ meteorologicǎ este lansatǎ vertical în sus cu
viteza init¸ialǎ de 100 (m/s). Rezistent¸a aerului frâneazǎ mi¸scarea ei ¸si-i
comunicǎ accelerat¸ia −k · v 2 (t), v(t) fiind viteza rachetei la momentul t iar
k o constantǎ pozitivǎ.
i) Sǎ se afle timpul în care racheta atinge înǎlt¸imea maximǎ.
ii) Sǎ se afle înǎlt¸imea maximǎ la care se ridicǎ racheta.
Rezolvare:
i) Accelerat¸ia totalǎ a rachetei, în lansarea pe verticalǎ în sus este a =
−(g + k v 2 ) unde g ≈ 10 (m/s 2 ) este accelerat¸ia gravitat¸ionalǎ, iar k o
constantǎ pozitivǎ consideratǎ cunoscutǎ.
Legea de mi¸scare a rachetei se scrie astfel:
dv
dt = −(g + k v2 ) (1.9)
Funct¸ia v care intervine în (1.9) reprezintǎ viteza rachetei ¸si este necunoscutǎ.
Ea trebuie gǎsitǎ pentru ca apoi egalând-o cu zero (aceasta înseamnǎ cǎ
racheta a atins înǎlt¸imea maximǎ) sǎ gǎsim timpul în care racheta atinge
înǎlt¸imea maximǎ.
Din (1.9) ¸si din inegalitatea g + k v 2 > 0 rezultǎ egalitatea
−
1 dv
· = 1.
g + k v2 dt
Trecând la primitive se obt¸ine egalitatea
−
t
t ∗
1
g + k v 2 (τ)
dv
· dτ =
dτ
t
din care printr-o schimbare de variabilǎ rezultǎ
k
g arctan
t k
v(τ) · = −kτ|
g
t t∗ sau
v(t) =
t ∗
t ∗
dτ
k g
· tan (−k t + C) .
g k

Ecuat¸ii diferent¸iale autonome ˙x = g(x) 7
Constanta C se determinǎ din condit¸ia init¸ialǎ v(0) = 100 (m/s) ¸si se obt¸ine
C =
k
· arctan
g
k
· 100
g
iar timpul t1 dupǎ care racheta ajunge la înǎlt¸imea maximǎ se determinǎ din
condit¸ia v(t1) = 0 ¸si se obt¸ine
k arctan 100 g
t1 = √ (s)
g k
ii) Pentru a gǎsi înǎlt¸imea maximǎ la care se ridicǎ racheta se noteazǎ cu
x(t) înǎlt¸imea la care se aflǎ racheta la momentul t. Funct¸ia x(t) este necunoscutǎ
¸si pentru determinarea ei se t¸ine seama cǎ viteza v(t) este derivata
funct¸iei x(t):
dx
dt =
g
· tan
k
g
k
−k t +
k
· arctan
g
k
· 100
g
¸si cǎ x(0) = 0 (racheta pleacǎ de pe sol). Determinarea funct¸iei x(t) care
verificǎ aceste condit¸ii este o problemǎ Cauchy de forma ˙x = f(t), x(t0) = x0
¸si rezolvarea ei a fost fǎcutǎ în §1.1. Se determinǎ solut¸ia x(t; 0, x0) a problemei
Cauchy ¸si se calculeazǎ apoi x(t1; 0, x0). Aceasta este înǎlt¸imea maximǎ
la care se ridicǎ racheta meteorologicǎ.
Rat¸ionamentul prezentat la rezolvarea punctului i) al problemei 1.2.1
poate fi generalizat pentru determinarea solut¸iilor unei ecuat¸ii diferent¸iale
de forma:
˙x = g(x) (1.10)
în care g este o funct¸ie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval J ⊂ IR 1 , care
nu se anuleazǎ (g(x) = 0 (∀)x ∈ J) ¸si este cunoscutǎ.
Într-adevǎr, dacǎ o funct¸ie realǎ x : I → J este o solut¸ie a ecuat¸iei (1.10)
atunci pentru orice t ∈ I avem
sau
dx
dt
= g(x(t))
1 dx
·
g(x(t)) dt
= 1.

8 CAPITOLUL 1
Trecând la primitive rezultǎ egalitatea
t
t ∗
1 dx
· dτ =
g(x(τ)) dτ
t
din care printr-o schimbare de variabilǎ se obt¸ine
x
x ∗
t ∗
dτ
1
du = t + C. (1.11)
g(u)
Rezultǎ în acest fel cǎ o solut¸ie x = x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale (1.10) este
solut¸ie pentru ecuat¸ia implicitǎ
în care
G(t, x; C) = 0 (1.12)
G(t, x; C) = t + C −
x
x ∗
1
du. (1.13)
g(u)
Este u¸sor de arǎtat folosind teorema funct¸iilor implicite cǎ, dacǎ x(t; C)
este o solut¸ie a ecuat¸iei (1.12), atunci este ¸si solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale
(1.10).
Observat¸ia 1.2.1 Dacǎ funct¸ia g se anuleazǎ în x ∗ ∈ J, atunci funct¸ia
constantǎ x(t) = x ∗ este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale (1.10).
Observat¸ia 1.2.2 Pentru t0 ∈ IR 1 ¸si x0 ∈ J, problema determinǎrii acelei
solut¸ii a ecuat¸iei (1.10) care verificǎ condit¸ia suplimentarǎ x(t0) = x0 se
nume¸ste problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date init¸iale:
˙x = g(x)
x(t0) = x0
iar solut¸ia acesteia, x = x(t; t0, x0), este datǎ de ecuat¸ia implicitǎ:
x
x0
(1.14)
1
g(u) du = t − t0. (1.15)
Într-o problemǎ Cauchy t0 ¸si x0 sunt considerate cunoscute ¸si se numesc date
init¸iale.

Ecuat¸ii diferent¸iale autonome ˙x = g(x) 9
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = g(x) în care g este o funct¸ie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval
deschis (c, d) ⊂ IR 1 ¸si nu se anuleazǎ.
2. Oricare ar fi solut¸ia x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale ˙x = g(x) ¸si oricare ar
fi x∗ ∈ (c, d) existǎ o constantǎ scalarǎ C astfel încât x(t) este solut¸ia
x
ecuat¸iei implicite
x∗ 1
du −t−C = 0 ¸si reciproc, o solut¸ie a acestei
g(u)
ecuat¸ii implicite este solut¸ie pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ.
3. Oricare ar fi t0 ∈ IR 1 ¸si x0 ∈ (c, d) existǎ o funct¸ie unicǎ x = x(t)
definitǎ pe un interval deschis I0 (care cont¸ine pe t0) ¸si cu valori în
(c, d) care este solut¸ia problemei cu date init¸iale ˙x = g(x), x(t0) = x0.
4. Dacǎ funct¸ia g se anuleazǎ într-un punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia
constantǎ x(t) ≡ x ∗ este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale.
Exercit¸ii
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):
a) ˙x = 1 + x 2 , x ∈ IR 1
b) ˙x = e −x , x ∈ IR 1
R: x(t) = tan(t + C), t + C = (2k + 1) · π
2
R: x(t) = ln(t + C), t + C > 0
c) ˙x = k · x, x > 0 R: x(t) = C · e k t , C > 0, t ∈ IR 1
d) ˙x = k · x, x < 0 R: x(t) = C · e k t , C < 0, t ∈ IR 1
e) ˙x = x2 , x > 0 R: x(t) = − 1
, t + C < 1
t + C

10 CAPITOLUL 1
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte grafic
solut¸iile cu calculatorul:
a) ˙x = k x, x(0) = x0 R: x(t) = x0 e kt
b) ˙x = −x + x 2 , x(0) = x0 R: x(t) =
x0
x0 − e t (x0 − 1)
c) ˙x = 1 + x 2 , x(0) = x0 R: x(t) = tan(t + arctan x0)
d) ˙x = x 2 , x(0) = x0 R: x(t) = − x0
t x0 − 1

Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separate 11
1.3 Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile
separate
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ cu variabile separate are forma
˙x = f(t) · g(x), (1.16)
unde f ¸si g sunt funct¸ii reale continue, f : (a, b) → IR 1 , g : (c, d) → IR 1
¸si se considerǎ cunoscute. Dacǎ funct¸ia g nu se anuleazǎ pe intervalul (c, d)
(g(x) = 0, (∀)x ∈ (c, d)) atunci solut¸iile ecuat¸iei (1.16) se determinǎ fǎcânduse
un rat¸ionament asemǎnǎtor cu cel din paragraful precedent.
Dacǎ x : I ⊂ (a, b) → (c, d) este o solut¸ie a ecuat¸iei (1.16) atunci pentru
orice t ∈ I are loc
sau
Trecând la primitive rezultǎ
t
t ∗
dx
dt
= f(t) · g(x(t))
1 dx
·
g(x(t)) dt
= f(t)
1 dx
· dτ =
g(x(τ)) dτ
t
t ∗
f(τ)
care printr-o schimbare de variabilǎ conduce la egalitatea
x
x ∗
1
du =
g(u)
t
t ∗
f(τ) + C. (1.17)
Am obt¸inut în acest fel cǎ o solut¸ie a ecuat¸iei (1.16) este solut¸ie pentru
ecuat¸ia implicitǎ
G(x, t; C) = 0 (1.18)
în care funct¸ia G(x, t; C) este datǎ de egalitatea:
G(x, t; C) =
t
t ∗
f(τ) + C −
x
x ∗
1
du. (1.19)
g(u)
Folosind teorema funct¸iilor implicite se aratǎ u¸sor cǎ dacǎ x(t, C) este o
solut¸ie a ecuat¸iei (1.18) atunci este solut¸ie ¸si a ecuat¸iei diferent¸iale (1.16).

12 CAPITOLUL 1
Exemplul 1.3.1 Sǎ se determine solut¸iile ecuat¸iei diferent¸iale:
˙x = 1
1 + t 2(1 + x2 ), t ∈ IR 1 , x ∈ IR 1
În acest caz f : IR 1 → IR 1 , f(t) = 1
1+t 2 ¸si g : IR 1 → IR 1 , g(x) = 1 + x 2 , iar
Ecuat¸ia implicitǎ este:
de unde
G(t, x; C) = arctant + C − arctanx
arctan t + C − arctan x = 0
x(t) = tan(arctant + C)
Observat¸ia 1.3.1 Dacǎ funct¸ia g din ecuat¸ia (1.16) se anuleazǎ într-un
punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia constantǎ x(t) = x ∗ este solut¸ia ecuat¸iei
diferent¸iale (1.16).
Observat¸ia 1.3.2 Pentru t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ (c, d) problema determinǎrii
acelei solut¸ii a ecuat¸iei (1.16) care verificǎ condit¸ia suplimentarǎ x(t0) = x0
se nume¸ste problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date init¸iale ¸si se noteazǎ cu
˙x = f(t) · g(x), x(t0) = x0. (1.20)
Solut¸ia acestei probleme se noteazǎ de obicei cu x = x(t; t0, x0) ¸si este datǎ
de ecuat¸ia implicitǎ
x
du
g(u) −
t
f(τ)dτ = 0.
t0
(1.21)
x0
Într-o problemǎ Cauchy, t0 si x0 sunt considerate cunoscute ¸si se numesc
condit¸ii init¸iale.
Observat¸ia 1.3.3 O clasǎ particularǎ importantǎ de ecuat¸ii diferent¸iale cu
variabile separate sunt ecuat¸iile diferent¸iale de ordinul întâi liniare ¸si omogene.
Aceste ecuat¸ii sunt de forma
˙x = A(t) · x, t ∈ (a, b), x ∈ IR 1
(1.22)

Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separate 13
în care A(t) este o funct¸ie realǎ continuǎ pe (a, b). Conform celor arǎtate,
solut¸iile ecuat¸iei (1.22) sunt date de formula
x(t) = C · e t
t ∗ A(τ)dτ
în care C este o constantǎ realǎ oarecare.
Solut¸ia problemei Cauchy
este datǎ de formula:
˙x = A(t) · x, x(t0) = x0 t0 ∈ (a, b), x0 ∈ IR 1
(1.23)
(1.24)
t
t A(τ)dτ
x(t; t0, x0) = x0 · e 0 . (1.25)
Problema 1.3.1 O pâine scoasǎ din cuptor are temperatura 100 ◦ C ¸si capǎtǎ
temperatura de 60 ◦ C în decurs de 20 minute. Temperatura aerului fiind de
20 ◦ C, peste cât timp, începând din momentul rǎcirii, pâinea va cǎpǎta temperatura
de 25 ◦ C?
Rezolvare:
Notǎm cu x(t) temperatura pâinii la momentul t ¸si folosim legea lui Newton
dupǎ care, viteza de rǎcire a unui corp cu temperatura x(t), situat într-un
mediu cu temperatura x0, este proport¸ionalǎ cu diferent¸a x(t) − x0:
˙x(t) = k [x(t) − x0].
Funct¸ia y(t) = x(t) − x0 verificǎ ecuat¸ia
˙y(t) = k · y(t)
care este o ecuat¸ie liniarǎ ¸si omogenǎ. Rezultǎ
¸si astfel
1
2
k t
y(t) = C e
x(t) = x0 + C e k t .
În aceastǎ egalitate x0 = 20◦C. Pentru determinarea constantelor C ¸si k
t¸inem seama de condit¸iile x(0) = 100◦C ¸si x(20) = 60◦C. Rezultǎ x(t) =
20◦C + 80◦ t
20
C · . Dacǎ t∗ este timpul dupǎ care temperatura devine
25 ◦ C rezultǎ 25 ◦ C = 20 ◦ C + 80 ◦ C ·
t
1
2
∗
20
, de unde t∗ = 80 minute.

14 CAPITOLUL 1
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = f(t) · g(x), numite ecuat¸ii cu variabile separate, în care f ¸si g sunt
funct¸ii reale continue, funct¸ia f este definitǎ pe un interval (a, b) ⊂ IR 1 ,
iar funct¸ia g este definitǎ pe un interval (c, d) ⊂ IR 1 ¸si nu se anuleazǎ
în nici un punct (g(x) = 0, (∀)x ∈ (c, d)).
2. Oricare ar fi solut¸ia x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale cu variabile separate ¸si
oricare ar fi t ∗ ∈ (a, b) ¸si x ∗ ∈ (c, d), existǎ o constantǎ C astfel încât
x(t) este solut¸ia ecuat¸iei implicite
x
x ∗
du
g(u) −
t
t ∗
f(τ)dτ − C = 0
¸si reciproc, oricare ar fi t ∗ ∈ (a, b), x ∗ ∈ (c, d) ¸si C ∈ IR 1 , o solut¸ie
x = x(t) a ecuat¸iei implicite este solut¸ie pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ.
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ (c, d) existǎ o funct¸ie unicǎ x = x(t)
definitǎ pe un interval deschis I0 (care cont¸ine punctul t0) ¸si cu valori
în intervalul (c, d), x : I0 ⊂ (a, b) → (c, d) care este solut¸ia problemei
cu date init¸iale ˙x = f(t) · g(x), x(t0) = x0.
4. Dacǎ funct¸ia g se anuleazǎ într-un punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia
constantǎ x(t) = x ∗ este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale.
Exercit¸ii
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):
t
a) ˙x = −√
1 + t2 ·
√
1 + x2 x
, x < 0, t ∈ IR 1 R: √ x 2 +1+ √ t 2 +1 = C
b) ˙x = t
(1 − x), t > −1, x > 1
1 + t
R:
1 + t
= C · et
1 − x
c)
˙x = 1 + 1
·
t
x2 + 1
x2 , t > 0, x ∈ IR1
+ 2
R: x+arctanx=ln t+t+C

Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separate 15
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte solut¸iile (cu
calculatorul):
a) ˙x = √ t x, t > 0, x > 0, t0=1, x0=0
R: x(t) = 0
√
4−x2 b) ˙x=−2t , t∈IR
x
1 , x∈(0, 2), t0=0, x0=1
R: √ 4−x 2 −t 2 − √ 3=0
c) ˙x= 1
1−t ·1−x2
x , t < 1, x∈(0, 1), t0=0 x0= 1
2
R: x(t)=
− 3
4 t2 + 3
2 t+1
4

16 CAPITOLUL 1
1.4 Ecuat¸ii omogene în sens Euler
Ecuat¸iile omogene în sens Euler sunt ecuat¸ii de forma
˙x =
P(t, x)
Q(t, x)
(1.26)
în care funct¸iile P(t, x) ¸si Q(t, x) sunt funct¸ii omogene în sens Euler de acela¸si
grad, considerate cunoscute:
P(λt, λx) = λ k · P(t, x) ¸si Q(λt, λx) = λ k · Q(t, x). (1.27)
Din (1.27) rezultǎ egalitatea:
P(t, x)
Q(t, x) = P 1, x
t
Q 1, x
, (∀)t = 0 (1.28)
¸si prin urmare ecuat¸ia omogenǎ (1.26) are forma canonicǎ
˙x = g
x
t
t
, (∀)t = 0 (1.29)
în care
x
g =
t
P 1, x
t
Q 1, x
.
t
Funct¸ia realǎ g este consideratǎ continuǎ ¸si cunoscutǎ.
Pentru determinarea solut¸iilor ecuat¸iei (1.29) se introduc noile funct¸ii
necunoscute y = x
care verificǎ ecuat¸ia:
t
˙y = 1
[g(y) − y]. (1.30)
t
Ecuat¸iile diferent¸iale (1.26) ¸si (1.30) sunt echivalente în sensul urmǎtor: dacǎ
o funct¸ie x(t) este solut¸ie pentru ecuat¸ia (1.26) atunci funct¸ia y(t) = x(t)
t
este solut¸ie pentru ecuat¸ia (1.30) ¸si reciproc.
În acest fel, rezolvarea ecuat¸iei omogene în sens Euler se reduce la rezolvarea
ecuat¸iei cu variabile separate (1.30).
Problema 1.4.1 Ce suprafat¸ǎ de rotat¸ie trebuie sǎ reprezinte oglinda unui
proiector, pentru ca toate razele de luminǎ ce pleacǎ de la o sursǎ punctiformǎ
sǎ fie reflectate paralel cu o direct¸ie datǎ?

Ecuat¸ii omogene în sens Euler 17
Rezolvare:
Considerǎm un plan meridian pe care îl luǎm ca fiind planul (tOx). Axa
Ot o alegem paralelǎ cu direct¸ia dupǎ care lumina trebuie reflectatǎ, iar
originea axelor în sursa de luminǎ.
Figura 2 - Reflexia razelor de luminǎ pe o oglindǎ parabolicǎ
Dupǎ legile reflexiei ∢OPM = ∢MPQ ¸si ∢RPO = ∢R ′ PQ ¸si deci v = 2u.
Cum tanv = x
t
¸si tan u = ˙x iar tan2u = 2 tanu
1 − tan 2 u rezultǎ
x
t
= 2 ˙x
1 − ˙x 2 sau ˙x = −t ± √ t2 + x2 x
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ este omogenǎ în sens Euler (este de forma (1.29))
¸si se rezolvǎ dupǎ modul prezentat obt¸inându-se x 2 = 2C
.
t + C
2
. Deci
curba meridianǎ este o parabolǎ cu vârful pe Ot iar oglinda un paraboloid
de rotat¸ie.
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
x
˙x = g (numite ecuat¸ii omogene în sens Euler) în care g este o
t
funct¸ie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval I ⊂ IR 1 .

18 CAPITOLUL 1
x
2. O funct¸ie x = x(t) este solut¸ie a ecuat¸iei ˙x = g dacǎ ¸si nu-
t
mai dacǎ funct¸ia y = x
este solut¸ie a ecuat¸iei cu variabile separate
t
˙y = 1[g(y)
− y].
t
x
3. Rezolvarea problemei Cauchy ˙x = g , x(t0) = x0 se reduce la
t
rezolvarea problemei Cauchy ˙y = 1
t [g(y) − y], y(t0) = y0 = x0
.
Exercit¸ii
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale:
a) ˙x = x
t
b) ˙x = x2 + t 2
t · x
c) ˙x =
x
x
+ e t − R: ln(t) = e t + C
t + x
t − x
R: x 2 = 2t 2 ln(t) + C · t 2
R: arctan x
2 −ln
x2 +1=ln t+C
t2
t x
R: − ln = ln t + C
x t
x
d) ˙x =
t − 2 √ tx
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy ¸si sǎ se reprezinte grafic
solut¸iile (cu calculator):
a) ˙x =
4tx − x2
2t2 , t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = 2t2
t + 1
b) ˙x = 2tx
3t 2 − x 2, t0 = 0, x0 = 0 R: x(t) = 0
c) ˙x =
2t + x
4t − x , t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = t
x + t
d) ˙x = −
5x + t , t0 = 1, x0 = 0 R: x(t)=− 1
5 t+1
√
−4t2 +5
5
t0

Ecuat¸ii omogene generalizate 19
1.5 Ecuat¸ii omogene generalizate
Ecuat¸iile omogene generalizate sunt ecuat¸ii diferent¸iale de forma:
at + bx + c
˙x = f
a1t + b1x + c1
(1.31)
în care funct¸ia realǎ f este consideratǎ continuǎ ¸si cunoscutǎ, ¸si unde c 2 1+c 2 =
0 (dacǎ c1 = c = 0, ecuat¸ia este omogenǎ în sens Euler). Pentru determinarea
solut¸iilor acestei ecuat¸ii t¸inem seama de urmǎtoarele rezultate:
Propozit¸ia 1.5.1 Dacǎ a
a1
= b
b1
atunci în urma schimbǎrii de variabilǎ
independentǎ t ¸si de funct¸ie necunoscutǎ x definite de formulele:
τ = t − t0 ¸si y = x − x0
(1.32)
ecuat¸ia diferent¸ialǎ (1.31) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ omogenǎ în
sens Euler:
dy aτ + by
= f
dτ a1τ + b1y
(1.33)
unde (t0, x0) este solut¸ia sistemului de ecuat¸ii algebrice
at + bx + c = 0
a1t + b1x + c1 = 0.
(1.34)
Demonstrat¸ie: Prin calcul.
În urma schimbǎrii de funct¸ie necunoscutǎ definitǎ prin
z = y
(1.35)
τ
ecuat¸ia (1.33) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ cu variabile separate
dz 1 a + bz
= f
− z . (1.36)
dτ τ a1 + b1z
Propozit¸ia 1.5.2 Dacǎ a
necunoscutǎ x definitǎ de
a1
= b
b1
= m, atunci în urma schimbǎrii de funct¸ie
y(t) = a1t + b1x(t) (1.37)
ecaut¸ia diferent¸ialǎ (1.31) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ autonomǎ
my + c
˙y = a1 + b1 · f . (1.38)
y + c1

20 CAPITOLUL 1
Exercit¸ii
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale:
a) ˙x= 3t−4x+7
4t−5x+11
b) ˙x=− 3t+3x−1
t+x+1
c) ˙x= 2(x+2)2
(t+x+2) 2
R: x(t)=−5− 1
−
C
4
5 (t+1)+1
(t+9) 2 C2 +5
5
R: − 1
2 (x+t)−ln(x+t−1)=t+C
R: 2 arctan −x−2
t −ln−x−2 −ln t−C =0
t

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul întâi 21
1.6 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul întâi
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ de forma
˙x = A(t)x + B(t) (1.39)
se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul întâi. În ecuat¸ia (1.39) A
¸si B sunt funct¸ii reale continue A, B : (a, b) → IR 1 ¸si se considerǎ cunoscute.
Dacǎ funct¸ia B este identic nulǎ, atunci ecuat¸ia (1.39) se nume¸ste ecuat¸ie
diferent¸ialǎ de ordinul întâi liniarǎ omogenǎ ¸si solut¸iile ei sunt date de formula:
˜x(t) = C · e t
t∗ A(τ)dτ
(1.40)
în care C este o constantǎ realǎ oarecare (a se vedea §1.3).
Pentru a determina solut¸iile ecuat¸iei (1.39) remarcǎm faptul cǎ diferent¸a
a douǎ solut¸ii ale acestei ecuat¸ii este o solut¸ie a ecuat¸iei liniare ¸si omogene.
Acest fapt se verificǎ u¸sor prin calcul. Rezultǎ de aici cǎ dacǎ x este o solut¸ie
oarecare a ecuat¸iei (1.39) ¸si ¯x este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (1.39), atunci
diferent¸a x − ¯x este solut¸ie pentru ecuat¸ia liniarǎ ¸si omogenǎ, ¸si prin urmare
sau
x(t) − ¯x(t) = C · e t
t ∗ A(τ)dτ
x(t) = C · e t
t ∗ A(τ)dτ + ¯x(t). (1.41)
Egalitatea (1.41) aratǎ cǎ o solut¸ie oarecare x(t) a ecuat¸iei (1.39) se obt¸ine
adǎugând la o solut¸ie particularǎ ¯x(t) a acestei ecuat¸ii, o solut¸ie oarecare a
ecuat¸iei liniare ¸si omogene ˜x(t) = C · e t
t ∗ A(τ)dτ . În acest mod determinarea
tuturor solut¸iilor ecuat¸iei (1.39) se reduce la determinarea unei solut¸ii particulare
a acestei ecuat¸ii.
Determinarea unei solut¸ii particulare a ecuat¸iei (1.39) se face cu ”metoda
variat¸iei constantei a lui Lagrange”.Aceasta înseamnǎ cǎ pentru ecuat¸ia (1.39)
se cautǎ o solut¸ie particularǎ ¯x(t) care are forma funct¸iei datǎ de (1.40),
deosebirea fiind cǎ C nu mai este o constantǎ realǎ ci este o funct¸ie de t
(C = C(t)):
¯x(t) = C(t) · e t
t ∗ A(τ)dτ . (1.42)
Pentru a impune funct¸iei ¯x(t) sǎ verifice ecuat¸ia (1.39) se admite cǎ
funct¸ia C(t) este derivabilǎ ¸si din faptul cǎ ¯x(t) verificǎ (1.39) se obt¸ine:
˙C(t) e t
t ∗ A(τ)dτ + A(t) C(t) e t
t ∗ A(τ)dτ = A(t) C(t) e t
t ∗ A(τ)dτ + B(t)

22 CAPITOLUL 1
sau
˙C(t) = B(t) e − t
t ∗ A(τ)dτ . (1.43)
În §1.1 am vǎzut cǎ toate funct¸iile care verificǎ (1.43) sunt date de
C(t) =
t
t ∗
B(u) e − u
t ∗ A(τ)dτ du + C ′
(1.44)
Întrucât avem nevoie de o singurǎ solut¸ie, considerǎm C ′ = 0 ¸si înlocuind în
(1.42) avem:
¯x(t) =
t
t ∗
B(u) e − u
t∗
A(τ)dτ
du e t
t∗ A(τ)dτ
Rezultǎ în acest mod cǎ toate solut¸iile ecuat¸iei (1.39) sunt date de:
x(t) = C e t
t ∗ A(τ)dτ +
t
t ∗
B(u) e − u
t ∗ A(τ)dτ du
(1.45)
e t
t ∗ A(τ)dτ . (1.46)
Pentru t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ IR 1 ecuat¸ia (1.39) are o singurǎ solut¸ie x care
verificǎ x(t0) = x0 ¸si este datǎ de formula:
t
A(τ)dτ t x(t; t0, x0) = x0 e 0 +
t
t0
B(u) e t
u A(τ)dτ du. (1.47)
Problema 1.6.1 Unei bobine cu inductant¸a L = 1 (H) ¸si rezistent¸a R =
2 (Ω) i se aplicǎ tensiunea electromotoare u = sin 3t (V ). Care este intensitatea
curentului prin bobinǎ?
Rezolvare:
Legea lui Kirchoff aplicatǎ circuitului format din bobinǎ ¸si sursa de tensiune
ne dǎ
L · ˙x + R · x = sin 3t,
x(t) fiind intensitatea curentului. T¸inând seama de datele numerice rezultǎ
ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul întâi
˙x + 2x = sin 3t.
Conform celor arǎtate obt¸inem cǎ intensitatea curentului este:
x(t) = 3
13 e−2t + 2 3
sin 3t − cos 3t.
13 13
(S-a considerat cǎ la momentul init¸ial intensitatea curentului în circuit este
zero).

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul întâi 23
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = A(t)x+B(t) (numite ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul întâi) în
care A, B sunt funct¸ii reale continue definite pe un interval real I ⊂ IR 1 .
2. Oricare ar fi solut¸ia x = x(t) a ecuat¸iei ¸si oricare ar fi t∗ ∈ I existǎ o
constantǎ realǎ C astfel încât sǎ avem
x(t) = C e t
t ∗ A(τ)dτ +
t
t ∗
e t
τ A(s)ds B(τ)dτ, (∀)t ∈ I.
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ IR 1 existǎ o singurǎ funct¸ie x = x(t)
definitǎ pe I care este solut¸ia problemei cu date init¸iale ˙x = A(t)x +
B(t), x(t0) = x0 ¸si aceastǎ funct¸ie este datǎ de formula:
Exercit¸ii
t
A(τ)dτ t x(t) = x0 e 0 +
t
t0
e t
τ A(s)ds B(τ)dτ.
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):
a) ˙x = 1
x − 1 R: x(t) = t (− ln t + C)
t
b) ˙x=− 2
t2−1 x+2t+2 R: x(t) = (−t2 + 2t + C) (t + 1) 2
1 − t2 c) ˙x=− 2
t2 4t
x+ R: x(t)=
−1 1−t2
4 ln(t+1)+ 4
t+1 +C
d) ˙x = x − t 2 R: x(t) = t 2 + 2t + 2e t C
· (t+1)2
1−t 2

24 CAPITOLUL 1
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme cu date init¸iale ¸si sǎ se reprezinte
grafic solut¸iile lor (cu calculatorul):
a) ˙x=−2tx + t 3 , t0=0, x0= e−1
2
b) ˙x= 1
t x − ln t, t0=1, x0=1 R: x(t)=
R: x(t)= 1
2 t2 − 1
2 +1
2 e−t2 +1
− 1
2 ln2 t+1
c) ˙x=−x + 2e t , t0=0, x0=2 R: x(t)=e t + e −t
t
d) ˙x=−ax+be p t , t0=0, x0=1 R: x(t)= be (p+a)t −b+p+a · e−at
a+p

Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli 25
1.7 Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli are forma
˙x = A(t) x + B(t) x α
(1.48)
în care funct¸iile A ¸si B sunt funct¸ii reale continue A, B : (a, b) → IR 1 ¸si
se considerǎ cunoscute, α este un numǎr real diferit de 0 ¸si 1 cunoscut, iar
funct¸ia necunoscutǎ x(t) este pozitivǎ.
Pentru a determina solut¸iile x (pozitive) ale ecuat¸iei (1.48) se introduce
o nouǎ funct¸ie necunoscutǎ y = x 1−α . Aceasta verificǎ ecuat¸ia:
dy
dt
= (1−α) A(t) y + (1−α) B(t). (1.49)
Ecuat¸ia (1.49) este o ecuat¸ie liniarǎ de ordinul întâi ¸si solut¸iile ei sunt date
de formula:
y(t) = C e (1−α) t
t ∗ A(τ)dτ + (1.50)
+
(1−α)
t
t ∗
B(u) e −(1−α) u
t ∗ A(τ)dτ du
e (1−α) t
t ∗ A(τ)dτ .
Solut¸iile pozitive x(t) ale ecuat¸iei (1.48) se determinǎ din y(t) cu formula
x(t) = y(t) 1
1−α ¸si în general sunt definite pe (a, b).
Pentru t0 ∈ (a, b) ¸si x0 > 0 ecuat¸ia (1.48) are o solut¸ie care verificǎ
x(t0) = x0 ¸si este datǎ de formula
unde:
y(t; t0, y0) = y0 e (1−α) t
t ∗ A(τ)dτ + (1−α)
¸si y0 = x 1−α
0 .
x(t; t0, x0) = y 1
1−α(t; t0, x0) (1.51)
t
t0
B(u) e −(1−α) t
u A(τ)dτ du (1.52)
Observat¸ia 1.7.1 Ecuat¸ia Bernoulli apare în studiul mi¸scǎrii corpurilor în
medii care opun o rezistent¸ǎ la mi¸scare de forma R = k1v + k2v α , v fiind
viteza corpului.

26 CAPITOLUL 1
Problema 1.7.1 Sǎ se determine curba r = r(u) ¸stiind cǎ aria sectoarelor
limitate de curbǎ, raza vectoare a punctului P0(r0, u0) ¸si raza vectoare a punctului
P(r, u) este proport¸ionalǎ cu produsul r·u, coeficientul de proport¸ionalitate
fiind a.
Rezolvare:
Conform enunt¸ului avem:
1
2
din care prin derivare obt¸inem:
care este o ecuat¸ie Bernoulli.
Concluzii
u
u0
r 2 du = a r u
r 2 = 2a (˙r u + r)
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = A(t) x + B(t) x α , (α ∈ IR 1 , α = 0, 1) (numitǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ
a lui Bernoulli) în care A, B sunt funct¸ii reale continue definite pe un
interval I ⊂ IR 1 .
2. O funct¸ie pozitivǎ x = x(t) este solut¸ie a ecuat¸iei Bernoulli dacǎ ¸si
numai dacǎ funct¸ia y(t) = [x(t)] 1−α este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale
liniare de ordinul întâi ˙y = (1−α) A(t) y + (1−α) B(t).
3. Determinarea solut¸iilor pozitive ale ecuat¸iei Bernoulli se reduce la rezolvarea
unei ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul întâi.

Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli 27
Exercit¸ii
1. Sǎ se determine solut¸iile pozitive ale ecuat¸iilor:
a) ˙x = − 1 1
x +
t t2x2 2t
R: x(t) =
1 + 2t2 C
b) ˙x = 4
tx + tx1/2 R:
x(t) = − − 1
ln t + C
2
c) ˙x = − 1
x + tx2
t
d) ˙x = 1
x − 2tx2
t
1
R: x(t) = −
(t − C) t
R: x(t) =
3t
2t 3 + 3C
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy:
a) ˙x=− 1
t x+tx2 , t0=1, x0=1 R: x(t) = − 1
t(t−2)
b) ˙x= 1
t x−2tx2 , t0=1, x0=1 R: x(t)= 3t
2t 3 + 1
c) ˙x= 2 1
x+
t 2t2x2 , t0=1, x0=1 R: x(t)= 2t2
3−t
· t 2 = 0

28 CAPITOLUL 1
1.8 Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Riccati
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Riccati are forma
˙x = A(t) x 2 + B(t) x + C(t) (1.53)
în care A, B, C sunt funct¸ii reale A, B, C : (a, b) → IR 1 continue (A(t) ≡ 0,
C(t) ≡ 0) considerate cunoscute.
Propozit¸ia 1.8.1 Dacǎ x1(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (1.53) ¸si x(t)
este o solut¸ie oarecare a aceleia¸si ecuat¸ii, atunci funct¸ia y(t) = x(t) − x1(t)
este o solut¸ie a ecuat¸iei Bernoulli
˙y = A(t) y 2 + (2A(t) x1 + B(t)) y. (1.54)
Demonstrat¸ie: Se verificǎ prin calcul.
Propozit¸ia precedentǎ reduce determinarea solut¸iilor ecuat¸iei Riccati la
determinarea solut¸iilor unei ecuat¸ii Bernoulli. Trebuie subliniat cǎ aceastǎ
reducere se face în ipoteza cǎ se cunoa¸ste o solut¸ie x1(t) a ecuat¸iei Riccati. În
general dacǎ nu se cunoa¸ste o solut¸ie pentru ecuat¸ia lui Riccati, determinarea
solut¸iilor acestei ecuat¸ii nu se poate face cu metode elementare.
Observat¸ia 1.8.1 Prin schimbarea de funct¸ie y(t) = x(t)−x1(t) rezolvarea
ecuat¸iei lui Riccati (1.53) se reduce la rezolvarea unei ecuat¸ii de tip Bernoulli
care, conform cu §1.7 se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ialǎ de ordinul întâi
liniarǎ.
Observat¸ia 1.8.2 Rezolvarea ecuat¸iei lui Riccati se poate reduce direct la
rezolvarea unei ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniarǎ cu necunoscuta
z(t) dacǎ se face schimbarea de funct¸ie
x(t) = 1
+ x1(t).
z(t)

Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Riccati 29
Exercit¸ii
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale Riccati:
a) ˙x=−sin t·x2 sin t
+2
cos2 1
, x1(t)=
t cost
c) ˙x = x2 − a a
x −
t t2, R: x(t)= 1
cos t +
6 cos2t+6
−cos 3t−3 cost+12 C
x1(t) = a
t
R: x(t)= a
t +
a+1
−t+t−a (a+1) C
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy:
a) ˙x = − 1
t(2t−1) x2 + 4t+1 4t
x−
t(2t−1) t(2t−1) , x1(t)=1, t0=2, x0=1
b) ˙x = −x2 + 4 4
x −
t t2, R: x(t)= t(2t−1)
5−t
1
x1(t)=
t ,t0=1, x0=0
R: x(t) =
+ 1
3 1
+
t(t+2) t

30 CAPITOLUL 1
1.9 Ecuat¸ii cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ.
Factor integrant
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ de forma:
P(t, x)
˙x = −
Q(t, x)
(1.55)
este cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ dacǎ existǎ o funct¸ie U de clasǎ C 1 cu
proprietatea:
dU = P dt + Q dx. (1.56)
Acesta înseamnǎ cǎ existǎ o funct¸ie U de clasǎ C1 a cǎrei diferent¸ialǎ este
egalǎ cu P dt + Q dx. Altfel spus, P = ∂U ∂U
¸si Q =
∂t ∂x .
Propozit¸ia 1.9.1 Dacǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ (1.55) este cu diferent¸ialǎ totalǎ
exactǎ ¸si o funct¸ie realǎ U = U(t, x) de clasǎ C 1 are proprietatea (1.56),
atunci pentru orice solut¸ie x=x(t) a ecuat¸iei (1.55)
U(t, x(t))=const.
Demonstrat¸ie: Pentru a demonstra cǎ funct¸ia U(t, x(t)) nu depinde de t,
se deriveazǎ în raport cu t ¸si se obt¸ine:
d
∂U
U(t, x(t)) =
dt ∂t +∂U
∂x ·dx
P(t, x)
= P(t, x(t))+Q(t, x(t))· − =
dt Q(t, x)
= P(t, x(t)) − P(t, x(t)) = 0
Aceastǎ propozit¸ie aratǎ cǎ o solut¸ie x(t) a ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ totalǎ
exactǎ este o solut¸ie a ecuat¸iei implicite:
U(t, x) = C (1.57)
în care C este o constantǎ realǎ.
Este u¸sor de verificat cǎ ¸si afirmat¸ia reciprocǎ este adevǎratǎ: o solut¸ie
x = x(t) a ecuat¸iei implicite (1.57) este o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ
totalǎ (1.55).
Astfel, determinarea solut¸iilor ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ totalǎ (1.55) se reduce
la determinarea solut¸iilor ecuat¸iei implicite (1.57). Acest rezultat conduce
în mod natural la urmǎtoarele douǎ probleme:

Ecuat¸ii cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant 31
1. Cum ne dǎm seama cǎ ecuat¸ia (1.55) este cu diferent¸ialǎ totalǎ?
2. Cum se determinǎ o funct¸ie U = U(t, x) a cǎrei diferent¸ialǎ este egalǎ
cu P dt + Q dx?
Un rǎspuns la aceste întrebǎri este dat de urmǎtoarea propozit¸ie.
Propozit¸ia 1.9.2 Dacǎ funct¸iile P ¸si Q sunt de clasǎ C1 pe un domeniu Ω
¸si ∂P ∂Q
=
∂x ∂t , atunci pentru orice (t0, x0) ∈ Ω existǎ un r > 0 ¸si o funct¸ie
realǎ U = U(t, x) definitǎ pe discul centrat în (t0, x0) ¸si de razǎ r astfel încât
sǎ aibe loc relat¸ia (1.56).
Demonstrat¸ie: Pentru un punct (t0, x0) ∈ Ω se considerǎ r > 0 astfel ca
discul centrat în (t0, x0) ¸si de razǎ r > 0 sǎ fie inclus în Ω. Pornind de la faptul
cǎ pe disc trebuie sǎ avem ∂U
t
= P deducem cǎ U(t, x) = P(τ, x)dτ+Ψ(x)
∂t t0
unde Ψ este o funct¸ie de clasǎ C1 necunoscutǎ. Impunând condit¸ia ∂U
= Q
∂x
obt¸inem egalitatea:
t
T¸inând seamǎ acum de egalitatea ∂P
∂x
t0
t
t0
∂P
∂x (τ, x) dτ + Ψ′ (x) = Q(t, x).
= ∂Q
∂t
deducem cǎ:
∂Q
∂t (τ, x) dτ + Ψ′ (x) = Q(t, x).
Efectuând integrarea se obt¸ine egalitatea:
din care rezultǎ:
Q(t, x) − Q(t0, x) + Ψ ′ (x) = Q(t, x)
Ψ ′ (x) = Q(t0, x).
Prin urmare funct¸ia Ψ(x) este datǎ de formula:
Ψ(x) =
x
x0
Q(t0, y) dy + C (1.58)

32 CAPITOLUL 1
în care C este o constantǎ realǎ. Revenind la funct¸ia U(t, x) obt¸inem cǎ
aceasta este datǎ de formula:
U(t, x) =
t
t0
P(τ, x) dτ +
x
x0
Q(t0, y) dy + C. (1.59)
Formula aceasta define¸ste o mult¸ime de funct¸ii U(t, x) care au proprietatea
exprimatǎ prin relat¸ia (1.56).
Comentariu: Propozit¸ia aratǎ cǎ egalitatea ∂P ∂Q
= este o condit¸ie
suficientǎ pentru ca sǎ existe în vecinǎtatea oricǎrui punct (t0, x0) ∈ Ω o
funct¸ie U(t, x) de clasǎ C 2 astfel ca dU = P dt + Q dx.
Ment¸ionǎm cǎ ¸si reciproca acestei afirmat¸ii este adevǎratǎ. Mai precis
este adevǎratǎ urmǎtoarea afirmat¸ie: dacǎ existǎ r > 0 ¸si o funct¸ie U(t, x)
de clasǎ C 2 pe discul centrat în (t0, x0) ¸si razǎ r astfel ca dU = P dt + Q dx
pentru orice (t, x) din acest disc, atunci funct¸iile P ¸si Q sunt de clasǎ C 1
¸si ∂P ∂Q
= pentru orice (t, x) din disc. Acest rezultat se obt¸ine folosind
∂x ∂t
posibilitatea inversǎrii ordinii de derivare, stabilit de Schwartz.
Observat¸ia 1.9.1 Dacǎ funct¸iile P ¸si Q sunt de clasǎ C 1 pe Ω ⊂ IR 2
dar ∂P ∂Q
= atunci ecuat¸ia (1.55) nu este o ecuat¸ie cu diferent¸ialǎ totalǎ
∂x ∂t
exactǎ ¸si metoda prezentatǎ nu poate fi utilizatǎ pentru determinarea solut¸iilor
ecuat¸iei. În acest caz este util sǎ observǎm cǎ ecuat¸ia (1.55) are acelea¸si
solut¸ii ca ¸si ecuat¸ia
P(t, x) · µ(t, x)
˙x = − (1.60)
Q(t, x) · µ(t, x)
în care µ(t, x) este o funct¸ie de clasǎ C 1 care nu se anuleazǎ.
Datoritǎ acestui fapt apare natural sǎ încercǎm sǎ determinǎm funct¸ia
µ(t, x) astfel ca ecuat¸ia (1.60) sǎ fie cu diferent¸ialǎ totalǎ. Impunând aceastǎ
condit¸ie rezultǎ cǎ funct¸ia µ(t, x) trebuie sǎ verifice relat¸ia:
∂P
∂x
µ + P ∂µ
∂x
= ∂Q
∂t
∂x
∂t
∂µ
µ + Q . (1.61)
∂t
O funct¸ie care verificǎ (1.61) se nume¸ste factor integrant, iar relat¸ia de
dependent¸ǎ funct¸ionalǎ (1.61) se nume¸ste ecuat¸ia factorului integrant.

Ecuat¸ii cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant 33
Exercit¸ii
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuat¸ii cu diferent¸iale totale:
a) ˙x =
4tx − xetx
te tx − 2t 2
b) ˙x= tm +2tx 2 + 1
t
x n +2t 2 x+ 1
x
2tx − 2x3
c) ˙x = −
t2 − 6tx2 R: 2t 2 x(t) + e t x(t) = C
R:
t m+1
m+1 +x(t)n+1
n+1 +t2 x(t) 2 +ln(t x(t))=C
R: t2 x(t) − 4t x(t) 3 = C
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy:
t + x
a) ˙x = −
t − x , t0 = 0, x0 = 1 R: x(t) = t + √ 2t2 + 1
b) ˙x = − t2
x 2,
t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = 3√ −t 3 + 2
3. Sǎ se rezolve ecuat¸iile diferent¸iale ¸stiind cǎ ele admit factor integrant
µ = µ(t):
t sin x + x cosx
a) ˙x = −
t cos x − x sin x
b) ˙x = − 1 − t2 x
t 2 (x − t)
R: µ(t) = et
e t [(t − 1) sin x(t) + x(t) cosx(t)]=C
R: µ(t) = 1
t 2
x(t) 2
2
− t x(t) − 1
t
= C

34 CAPITOLUL 1
4. Sǎ se rezolve ecuat¸iile diferent¸iale ¸stiind cǎ ele admit factor integrant
µ = µ(x):
x(1 − t x)
a) ˙x = −
−t
b) ˙x = −
2t x
3x 2 − t 2 + 3
R: µ(x) = 1
x 2
t t2
−
x(t) 2
R: µ(x) = 1
x 2
= C
t2 + 3x(t) = C
x(t)

Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor de ordinul întâi 35
1.10 Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor
diferent¸iale de ordinul întâi
Foarte multe dintre modelele matematice ale unor fenomene din realitate
cont¸in cel put¸in o ecuat¸ie diferent¸ialǎ. Toate softurile comerciale de matematicǎ
(Maple, Mathematica, Mathcad) oferǎ posibiltatea sǎ rezolvǎm numeric
aceste probleme.
Exemplele de rezolvare numericǎ care sunt în acest curs vor fi prezentate
în programul Maple 9, versiune care acoperǎ toate celelate versiuni de Maple
în momentul de fat¸ǎ.
Pentru rezolvarea numericǎ a ecuat¸iilor diferent¸iale cu programul Maple se
folose¸ste funct¸ia dsolve (solve ordinary differential equations - ODEs) cu una
din urmǎtoarele sintaxe :
dsolve(ODE);
dsolve(ODE, x(t), extra.args);
dsolve({ODE, ICs}, x(t), extra.args);
în care:
ODE - ecuat¸ia diferent¸ialǎ ordinarǎ pe care dorim sǎ o rezolvǎm
x(t) - funct¸ia necunoscutǎ pe care dorim sǎ o determinǎm
ICs - condit¸iile init¸iale
extra.args - argumente opt¸ionale care se folosesc pentru schimbarea
formei de afi¸sare a solut¸iei (explicitǎ, implicitǎ, parametricǎ),
a metodei de rezolvare a ecuat¸iei (separarea variabilelor,
Bernoulli, Riccati, etc.).
Pentru exemplificare, considerǎm ecuat¸ia diferent¸ialǎ de ordinul întâi:
˙x = t
· (1 − x); t ∈ R − {−1}, x ∈ R − {1}. (1.62)
1 + t
Aceastǎ ecuat¸ie este cu variabile separate (caz particular de ecuat¸ie liniarǎ).
Prin utilizarea sintaxei dsolve(ODE) se obt¸ine mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei
date (ecuat¸ia familiei de curbe integrale scrisǎ sub formǎ explicitǎ):

36 CAPITOLUL 1
> dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)));
et x (t) =
1+t
+ C1
(e −t + e −t t).
Dacǎ dorim ca solut¸iile sǎ fie afi¸sate sub formǎ parametricǎ, atunci se
folose¸ste argumentul opt¸ional ‘parametric‘ ¸si obt¸inem:
> dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),‘parametric‘);
x (t) = 1 − e−t
C1 − e−t t
C1 .
Se mai poate utiliza ca argument opt¸ional ”metoda de rezolvare a
ecuat¸iei”. Dacǎ dorim sǎ se rezolve ecuat¸ia diferent¸ialǎ ca o ecuat¸ie
liniarǎ, atunci se folose¸ste argumentul opt¸ional [linear] ¸si obt¸inem:
> dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),[linear]);
et x (t) =
1+t
+ C1
(e −t + e −t t),
iar dacǎ dorim sǎ se rezolve ecuat¸ia diferent¸ialǎ ca fiind o ecuat¸ie
cu variabile separate, atunci folosim argumentul opt¸ional [separable] ¸si
obt¸inem:
> dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),[separable]);
x (t) = ( C1 et−1−t)e−t . C1
Nespecificând metoda de rezolvare Maple va alege una dintre ele.
Deoarece în secvent¸ele de mai sus nu s-a dat nici o condit¸ie init¸ialǎ, Maple a
afi¸sat rǎspunsul cu ajutorul unei constante necunoscute. Dacǎ specificǎm ¸si
condit¸ia init¸ialǎ atunci calculatorul va rezolva o problemǎ cu condit¸ii init¸iale
(Problemǎ Cauchy) ¸si va afi¸sa solut¸ia acesteia.
Pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ (1.62) vom considera douǎ Probleme Cauchy
deoarece domeniul de definit¸ie al membrului drept este reuniunea
(−∞, −1) × IR 1 ∪ (−1, +∞) × IR 1 .
Dacǎ considerǎm t > −1 ¸si condit¸ia init¸ialǎ x(2) = 4, atunci se obt¸ine
solut¸ia:
> dsolve({diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(2)=4},x(t));
x (t) =
et 1+t − 1/3 e−2e2−4 e−2
(e −t + e −t t),
iar dacǎ considerǎm t < −1 ¸si condit¸ia init¸ialǎ x(−2) = 0, atunci se
obt¸ine solut¸ia:
> dsolve({diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(-2)=0},x(t));

Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor de ordinul întâi 37
x (t) =
et + e−2
1+t
(e −t + e −t t).
Pentru reprezentarea graficǎ a solut¸iei unei probleme cu date init¸iale, programul
Maple folose¸ste funct¸ia plot (create a two-dimensional plot of functions).
Utilizarea acesteia implicǎ urmǎtoarea sintaxǎ:
plot(f,h,v);
în care:
f - funct¸ia care trebuie reprezentatǎ grafic;
h - domeniul de definit¸ie al funct¸iei pe axa orizontalǎ;
v - (opt¸ional) domeniul de variat¸ie al funct¸iei pe axa verticalǎ.
Solut¸ia Problemei Cauchy a ecuat¸iei (1.62) corespunzǎtoare condit¸iei init¸iale
x(2) = 4 este reprezentatǎ pe Figura 2.
> f1:=(exp(t)/(1+t)-1/3*(exp(-2)*exp(2)-4)/exp(-2))*
(exp(-t)+exp(-t)*t):
> plot(f1,t=-1..infinity);
Figura 2
iar solut¸ia Problemei Cauchy corespunzǎtoare condit¸iei init¸iale x(−2) = 0
este reprezentatǎ pe Figura 3.

38 CAPITOLUL 1
Figura 3
Dupǎ cum se poate observa din instruct¸iunile de mai sus s-a atribuit variabilei
f1 funct¸ia solut¸ie a Problemei Cauchy ¸si apoi am folosit în instruct¸iunea plot.
În general, este recomandabil sǎ se atribuie unor expresii matematice variabile,
deoarece aceasta simplificǎ scrierea.
În cele ce urmeazǎ, continuǎm exemplificarea rezolvând trei probleme cu
date init¸iale ¸si, în fiecare caz, vom reprezenta grafic solut¸ia:
1. Ecuat¸ia liniarǎ
˙x = −x + 2e t
> dsolve(diff(x(t),t)=-x(t)+2*exp(t),x(t),[linear]);
x (t) = e t + e −t C1
> dsolve({diff(x(t),t)=-x(t)+2*exp(t),x(0)=2},x(t),
[linear]);
x (t) = e t + e −t
> plot(exp(t)+exp(-t),t=-2..2);
(1.63)

Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor de ordinul întâi 39
sau
Figura 4
> plot(exp(t)+exp(-t),t=-2..2,color=black,style=point,
axes=boxed);
Figura 5
în care am folosit diferite comenzi opt¸ionale referitoare la modalitatea
de afi¸sare a graficului.
2. Ecuat¸ia de tip Riccati
˙x = −x 2 + 4
t
4
· x −
t2, t > 0 (1.64)

40 CAPITOLUL 1
> eq:=diff(x(t),t)=-x(t)^2+(4/t)*x(t)-4/t^2;
eq := d
dtx (t) = − (x (t))2 + 4 x(t)
− 4 t−2
t
> dsolve(eq,‘explicit‘,[Riccati]);
x (t) = ( C1 − 1/3 t −3 ) −1 t −4 + 4 t −1
> dsolve(eq,[Riccati]);
x (t) = ( C1 − 1/3 t −3 ) −1 t −4 + 4 t −1
> dsolve({eq,x(1)=2},x(t));
x (t) = 4 t3 +2
(2+t 3 )t
> dsolve({eq,x(1)=2},x(t),[Riccati]);
x (t) = (−1/6 − 1/3 t −3 ) −1 t −4 + 4 t −1
> sol1:=(4*t^3+2)/((2+t^3)*t):
> sol2:=1/((-1/6-1/3/t^3)*t^4)+4/t:
> plot([sol1,sol2],t=0..90,x=0..3,color=[red,blue],
style=[point,line]);
Figura 6

Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor de ordinul întâi 41
În secvent¸ele de mai sus observǎm cǎ, argumentul opt¸ional în care
cerem sǎ se afi¸seze solut¸ia sub formǎ explicitǎ este inutil, deoarece
acest lucru este fǎcut automat de dsolve. Deasemenea, dacǎ folosim
argumentul opt¸ional [Riccati] solut¸ia ecuat¸iei diferǎ doar aparent (cele
douǎ solut¸ii afi¸sate coincid dupǎ cum se poate observa din Figura 6
unde am reprezentat simultan ”ambele” forme ale solut¸iei în acela¸si
sistem de coordonate).
3. Ecuat¸ia cu factor integrant
˙x = −
2 · t · x
3x 2 − t 2 + 3 , 3x2 − t 2 + 3 = 0 (1.65)
> dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),‘explicit‘);
x (t) = −1/6 C1 ± 1/6 C1 2 − 12 t 2 + 36
> dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),‘implicit‘);
t 2
x(t) + 3 x (t) − 3 (x (t))−1 + C1 = 0
> dsolve({diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),x(0)=1});
x (t) = 1/6 √ 36 − 12 t 2
> plot(1/6*(36-12*t^2)^(1/2), t=-1..1);
Figura 7

42 CAPITOLUL 1
Ecuat¸ia cu factor integrant a fost rezolvatǎ de Maple fǎrǎ specificarea
factorului integrant µ = µ(t, x) iar solut¸ia a fost afi¸satǎ sub formǎ
explicitǎ în primul caz, respectiv sub formǎ implicitǎ în al doilea caz. În
Figura 7 este reprezentatǎ solut¸ia Problemei Cauchy corespunzǎtoare.

Capitolul 2
Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin
superior rezolvabile prin
metode elementare
Definit¸ia 2.0.1 O ecuat¸ie diferent¸ialǎ de ordinul n ≥ 2 este o relat¸ie de
dependent¸ǎ funct¸ionalǎ de forma
g(t, x, ˙x, ..., x (n) ) = 0 (2.1)
între funct¸ia identicǎ t ↦→ t definitǎ pe un interval I ⊂ IR 1 necunoscut, o
funct¸ie necunoscutǎ x(t) ¸si derivatele ei ˙x, ¨x, ..., x (n) pânǎ la ordinul n definite
pe acela¸si interval.
În ecuat¸ia (2.1) funct¸ia g se considerǎ cunoscutǎ ¸si rezolvarea ecuat¸iei
înseamnǎ determinarea funct¸iilor necunoscute x care verificǎ ecuat¸ia.
Definit¸ia 2.0.2 O funct¸ie realǎ x de clasǎ C n definitǎ pe un interval deschis
I ⊂ IR 1 se nume¸ste solut¸ie a ecuat¸iei (2.1) dacǎ pentru orice t ∈ I, sistemul
ordonat (t, x(t), ˙x(t), ..., x (n) (t)) apart¸ine domeniului de definit¸ie a lui g ¸si
g(t, x(t), ˙x(t), ..., x (n) (t)) = 0 (2.2)
Vom prezenta câteva cazuri de asemenea ecuat¸ii care se rezolvǎ cu metode
elementare ¸si probleme concrete din diferite domenii care au condus la asemenea
ecuat¸ii.
43

44 CAPITOLUL 2
2.1 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul al
doilea cu coeficient¸i constant¸i
Problema 2.1.1 Sǎ se determine variat¸ia curentului într-un circuit format
dintr-o rezintent¸ǎ R, o bobinǎ cu inductant¸ǎ L ¸si un condensator de capacitate
C legat¸i în serie ¸si conectat¸i la o sursǎ de curent alternativ de tensiune
electromotoare E = E0 · cos ωt
Rezolvare: Fie i(t) intensitatea curentului din circuit la momentul t. Cǎderile
de tensiune pe elementele circuitului sunt:
uR = R · i;
uL = L · di
dt ;
uC = 1
i(t)dt;
C
conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, suma cǎderilor de tensiune pe
bobinǎ, rezistent¸ǎ ¸si condensator este egalǎ în orice moment cu tensiunea
electromotoare a generatorului. Prin urmare avem:
L · di
1
+ R · i + i(t)dt = E0 · cosωt,
dt C
iar prin derivare se obt¸ine cǎ intensitatea a curentului verificǎ egalitatea:
L · d2i di 1
+ R · +
dt2 dt C i = −E0 · ω · sin ωt. (∗)
Prin urmare avem de determinat o funct¸ie i(t) care împreunǎ cu derivatele
ei de ordinul întâi ¸si doi verificǎ relat¸ia de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ (∗). În (∗)
cu except¸ia funct¸iei i totul este cunoscut.
Pentru a determina funct¸ia necunoscutǎ i(t) vom arǎta în continuare
cum se rezolvǎ o ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficient¸i
constant¸i.
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i
este o ecuat¸ie diferent¸ialǎ de forma:
a2¨x + a1 ˙x + a0x = f(t) (2.3)
în care a0, a1, a2 sunt constante reale cunoscute, a2 = 0, f(t) funct¸ie continuǎ
cunoscutǎ ¸si x este o funct¸ie realǎ de clasǎ C 2 necunoscutǎ.

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 45
Observat¸ia 2.1.1 Dacǎ f = 0 atunci ecuat¸ia (2.3) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ
liniarǎ de ordinul doi cu coeficient¸i constant¸i omogenǎ, iar dacǎ f = 0 ecuat¸ia
(2.3) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul doi cu coeficient¸i
constant¸i neomogenǎ.
Vom determina mai întâi solut¸iile ecuat¸iei omogene urmând apoi sǎ determinǎm
¸si solut¸iile ecuat¸iei neomogene.
Fie ecuat¸ia omogenǎ ata¸satǎ ecuat¸iei (2.3):
a2¨x + a1 ˙x + a0x = 0 (2.4)
Dacǎ a2 = 0 atunci ecuat¸ia (2.4) este o ecuat¸ie liniarǎ de ordinul întâi:
¸si solut¸iile ei sunt date de formula
a1 ˙x + a0x = 0
x(t) = Ce − a 0
a1 t
în care C este o constantǎ realǎ oarecare. Observǎm cǎ raportul − a0
exponent, este solut¸ia ecuat¸iei algebrice a1 ·λ+a0 = 0, iar la formula solut¸iei
x(t) = Ce − a 0
a1 t se poate ajunge nu numai pe calea descrisǎ în Capitolul 1 § 6
ci ¸si cǎutând solut¸ii de forma x(t) = Ce λt . Aceasta este ideea pe care o vom
folosi pentru a determina solut¸iile ecuat¸iei (2.4).
Impunând unei funct¸ii de forma x(t) = Ce λt sǎ verifice ecuat¸ia (2.4)
rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuat¸ia de gradul al doilea:
a1
din
a2λ 2 + a1λ + a0x = 0. (2.5)
Dacǎ rǎdǎcinile λ1 ¸si λ2 ale ecuat¸iei (2.5) sunt reale ¸si distincte, atunci
funct¸iile
x1(t) = C1e λ1t ¸si x2(t) = C2e λ2t
sunt solut¸ii ale ecuat¸iei (2.4) ¸si funct¸ia
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t
este de asemenea solut¸ie a ecuat¸iei (2.4). Mai mult, pentru orice
t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem determina în mod unic constantele C1 ¸si C2 astfel
încât sǎ aibǎ loc
x(t0) = x0 0 ¸si ˙x(t0) = x1 0 . (2.6)

46 CAPITOLUL 2
În adevǎr, impunând condit¸iile (2.6) funct¸iei x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t ,
obt¸inem urmǎtorul sistem de ecuat¸ii algebrice:
x 0 0 = C1e λ1t0 + C2e λ2t0
x 1 0 = C1e λ1t0 + C2e λ2t0
în care necunoscutele sunt C1 ¸si C2.
Determinantul acestui sistem este e (λ1+λ2)t0 · (λ2 − λ1) ¸si este nenul
(λ1 = λ2), fapt pentru care sistemul are o solut¸ie unicǎ.
În particular rezultǎ de aici cǎ formula:
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t
(2.7)
reprezintǎ toate solut¸iile ecuat¸iei (2.4) în cazul în care ecuat¸ia (2.5) are
rǎdǎcini reale distincte.
Dacǎ ecuat¸ia (2.5) are rǎdǎcinile confundate λ1 = λ2 = λ atunci pe lângǎ
funct¸ia x1(t) = C1e λt ¸si funct¸ia x2(t) = C2t · e λt este solut¸ie a ecuat¸iei (2.4).
Prin urmare orice funct¸ia x(t) de forma
adicǎ
x(t) = C1e λt + C2t · e λt
x(t) = e λt · (C1 + C2t) (2.8)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.4).
Mai mult, pentru orice t0, x 0 0 , x1 0 ∈ IR1 putem determina în mod unic
constantele C1 ¸si C2 astfel încât sǎ aibe loc x(t0) = x 0 0 ¸si ˙x(t0) = x 1 0.
În adevǎr, impunând aceste condit¸ii funct¸iei datǎ de (2.8) rezultǎ urmǎtorul
sistem de ecuat¸ii algebrice:
x 0 0 = e λt0 (C1 + C2t0)
x 1 0 = λe λt0 · C1 + C2e λt0 + e λt0 · t0 · λ · C2
al cǎrui determinant este e2λt0 = 0.
În particular rezultǎ de aici cǎ, formula (2.8) reprezintǎ toate solut¸iile
ecuat¸iei (2.4) în cazul în care ecuat¸ia (2.5) are rǎdǎcinile confundate.
Rǎmâne sǎ considerǎm cazul în care ecuat¸ia (2.5) are rǎdǎcinile complex
conjugate λ1 = µ + iν ¸si λ2 = µ − iν. În acest caz considerǎm funct¸iile
x1(t) = C1e µt · cos νt ¸si x2(t) = C2e µt · sin νt

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 47
(C1, C2 constante reale) ¸si arǎtǎm cǎ fiecare din acestea este solut¸ie a ecuat¸iei
(2.4).
Demonstrat¸ia se face prin verificare. Pentru exemplificare facem acest
calcul în cazul funct¸iei x1(t):
˙x1(t) = C1µ · e µt · cosνt − C1ν · e µt · sin νt
¨x1(t) = C1µ 2 · e µt · cosνt − 2C1µν · e µt · sin νt − C1ν 2 · e µt · cos νt
¸si înlocuind în ecuat¸ia (2.5) avem:
avem
a2¨x1 + a1 ˙x1 + a0x1 = C1 · e µt · cosνt (µ 2 − ν 2
)a2 + µa1 + a0 +
+ C1 · e µt · sin νt [−2µνa2 − νa1] .
Deoarece
¸si prin urmare:
a2(µ + iν) 2 + a1(µ + iν) + a0 = 0
(µ 2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 + i [2µνa2 + νa1] = 0
(µ 2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 = 0 ¸si 2µνa2 + νa1 = 0.
T¸inând seama de aceste egalitǎt¸i deducem egalitatea
a2¨x1 + a1 ˙x1 + a0x1 = 0
care aratǎ cǎ funct¸ia x1(t) = C1 ·e µt ·cosνt este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale
(2.4).
La fel se aratǎ cǎ funct¸ia x2(t) = C2 · e µt · sin νt este solut¸ie a ecuat¸iei
diferent¸iale (2.4).
Astfel, rezultǎ cǎ orice funct¸ie
x(t) = C1 · e µt · cos νt + C2 · e µt · sin νt (2.9)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.4).
Arǎtǎm în continuare cǎ pentru orice t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem determina
constantele C1 ¸si C2 în mod unic astfel încât sǎ aibe loc x(t0) = x 0 0 ¸si ˙x(t0) =
x 1 0 .

48 CAPITOLUL 2
Impunând aceste condit¸ii funct¸iei (2.9) rezultǎ urmǎtorul sistem de ecuat¸ii
algebrice:
x 0 0 = eµt0 · [C1 · cosνt0 + C2 · sin νt0]
x 1 0 = eµt0 · [C1 · (µ cosνt0 − ν sin νt0) + C2 · (µ sin νt0 + ν cosνt0)]
având ca necunoscute constantele C1, C2.
Determinantul acestui sistem algebric este ν · e 2µt0 ¸si este diferit de zero.
În particular, rezultǎ de aici cǎ formula (2.9) reprezintǎ toate solut¸iile
ecuat¸iei (2.4) în cazul în care ecuat¸ia (2.5) are rǎdǎcinile complexe.
Am ajuns în acest fel sǎ determinǎm toate solut¸iile ecuat¸iei (2.4).
Aceasta însǎ nu permite încǎ sǎ rezolvǎm problema 2.1.1 pusǎ la începutul
paragrafului, pentru cǎ aceasta conduce de fapt la ecuat¸ia (2.3), adicǎ:
a2¨x + a1 ˙x + a0x = f(t)
în care funct¸ia f este datǎ.
Reamintim cǎ, deosebirea dintre ecuat¸iile (2.4) ¸si (2.3) constǎ în faptul cǎ
în membrul drept al ecuat¸iei (2.3) este o funct¸ie continuǎ care nu neapǎrat
este funct¸ia identic nulǎ, adicǎ este o ecuat¸ie diferent¸ialǎ de ordinul al doilea
cu coeficient¸i constant¸i neomogenǎ.
Pentru determinarea solut¸iilor ecuat¸iei (2.3) este important sǎ observǎm
la început cǎ, dacǎ x(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (2.3) ¸si x(t) este o
solut¸ie oarecare a aceleia¸si ecuat¸ii, atunci diferent¸a
x(t) = x(t) − x(t)
este o solut¸ie oarecare a ecuat¸iei (2.4). Întrucât solut¸iile x(t) ale ecuat¸iei
(2.4) sunt cunoscute, determinarea solut¸iilor x(t) ale ecuat¸iei (2.3) revine la
determinarea unei singure solut¸ii x(t) ale acestei ecuat¸ii.
O solut¸ie particularǎ x(t) pentru ecuat¸ia (2.3) se determinǎ cu metoda
variat¸iei constantelor a lui Lagrange (un procedeu asemǎnǎtor cu cel descris
în Cap 1 § 6).
În continuare prezentǎm aceastǎ metodǎ în cazul în care ecuat¸ia algebricǎ
(2.5) are rǎdǎcinile reale distincte λ1, λ2. În acest caz solut¸iile ecuat¸iei
omogene (2.4) se scriu sub forma (2.7):
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t .

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 49
Solut¸ia particularǎ x(t) a ecuat¸iei neomogene (2.3) se cautǎ sub aceea¸si
formǎ considerând însǎ C1, C2 funct¸ii de clasǎ C 1 de variabila t:
x(t) = C1(t)e λ1t + C2(t)e λ2t
(2.10)
Pentru a impune funct¸iei x(t) sǎ verifice ecuat¸ia (2.3) calculǎm derivata
acesteia ¸si obt¸inem:
˙x(t) = ˙ C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t + C1(t)λ1e λ1t + C2(t)λ2e λ2t
(2.11)
În continuare ar trebui sǎ calculǎm derivata de ordinul al doilea ¨x prin
derivare în raport cu t în expresia (2.11). Aceasta ar introduce derivatele
de ordinul al doilea ale funct¸iilor C1(t), C2(t) de existent¸a cǎrora nu ne-am
asigurat. De aceea impunem condit¸ia suplimentarǎ:
Cu aceasta (2.11) devine:
iar prin derivare obt¸inem:
sau
˙C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t = 0 (2.12)
˙x(t) = C1(t)λ1e λ1t + C2(t)λ2e λ2t
(2.13)
¨x(t) = ˙ C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t + C1(t)λ 2 1 eλ1t + C2(t)λ 2 2 eλ2t . (2.14)
Înlocuind (2.13) ¸si (2.14) în (2.3) rezultǎ:
C1(t)(a2λ 2 1 + a1λ1 + a0)e λ1t + C2(t)(a2λ 2 2 + a1λ2 + a0)e λ2t +
+ ˙ C1(t)a2λ1e λ1t + ˙ C2(t)a2λ2e λ2t = f(t)
˙C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t = 1
a2
f(t) (2.15)
Astfel, sistemul de ecuat¸ii algebrice format din ecuat¸iile (2.12) ¸si (2.15):
˙C1(t)e λ1t + ˙ C2(t)e λ2t = 0
˙C1(t)λ1e λ1t + ˙ C2(t)λ2e λ2t = 1
a2
f(t)
(2.16)

50 CAPITOLUL 2
în care necunoscutele sunt ˙ C1(t), ˙ C2(t) (derivatele funct¸iilor C1(t) ¸si C2(t)),
are determinantul (λ2 − λ1)e (λ1+λ2)t = 0 ¸si permite determinarea funct¸iilor
˙C1(t) ¸si ˙ C2(t):
˙C1(t) = −
˙C2(t) =
1
a2(λ2 − λ1) · e−(λ1+λ2)t · e λ2t · f(t)
1
a2(λ2 − λ1) · e−(λ1+λ2)t · e λ1t · f(t)
Rezultǎ de aici cǎ funct¸iile C1(t) ¸si C2(t) sunt date de:
1
C1(t) = −
a2(λ2 − λ1)
C2(t) =
1
a2(λ2 − λ1)
t
t ∗
t
t ∗
e −λ1τ · f(τ)dτ
e −λ2τ · f(τ)dτ
iar solut¸ia particularǎ a ecuat¸iei neomogene (2.3) este:
adicǎ:
1
x(t) = −
a2(λ2 − λ1)
+
1
a2(λ2 − λ1)
· eλ1t
· eλ2t
t
t
t ∗
t ∗
e −λ1τ · f(τ)dτ+
e −λ2τ · f(τ)dτ.
Rezultǎ cǎ o solut¸ie oarecare a ecuat¸iei (2.3) este datǎ de
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t −
+
1
a2(λ2 − λ1)
x(t) = x(t) + x(t)
· eλ2t
1
a2(λ2 − λ1)
t
t ∗
· eλ1t
t
t ∗
e −λ1τ · f(τ)dτ +
(2.17)
(2.18)
(2.19)
e −λ2τ · f(τ)dτ (2.20)
Fǎcând un rat¸ionament asemǎnǎtor în cazul în care ecuat¸ia algebricǎ
(2.5) are rǎdǎcini reale egale λ1 = λ2 = λ, pentru ecuat¸ia (2.3) gǎsim solut¸ia
particularǎ:
x(t) = e λt
− 1
a2
t
t ∗
e −λτ · τ · f(τ)dτ + t
a2
t
t ∗
e −λτ
· f(τ)dτ

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 51
¸si solut¸ia generalǎ
x(t) = e λ1t (C1 + C2t) +
+ e λt
− 1
a2
t
t ∗
e −λτ · τ · f(τ)dτ + t
a2
t
t ∗
e −λτ
· f(τ)dτ
(2.21)
În cazul în care ecuat¸ia algebricǎ (2.5) are rǎdǎcinile complexe λ1 = µ+iν
¸si λ1 = µ − iν, cu metoda variat¸iei constantelor gǎsim solut¸ia particularǎ:
¸si solut¸ia generalǎ
x(t) = − 1
a2ν · eµt · cos νt
+ 1
a2ν · eµt · sin νt
t
t∗ t
t ∗
e −µτ · sin ντ · f(τ)dτ +
e −µτ · cosντ · f(τ)dτ
x(t) = C1e µt · cosνt + C2e µt · sin νt −
− 1
a2ν · eµt · cos νt
+ 1
a2ν · eµt · sin νt
t
t∗ t
t ∗
e −µτ · sin ντ · f(τ)dτ +
e −µt · cosντ · f(τ)dτ (2.22)
În general pentru orice t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem determina constantele C1 ¸si
C2 din formula de reprezentare a solut¸iei x(t) a ecuat¸iei neomogene ((2.20),
(2.21), (2.22)) astfel încât sǎ avem x(t0) = x 0 0 ¸si ˙x(t0) = x 1 0 .
Folosind una din formulele (2.20), (2.21), (2.22), determinatǎ de natura
rǎdǎcinilor ecuat¸iei L · λ 2 + R · λ + 1
= 0, putem determina toate solut¸iile
C
ecuat¸iei (∗) din problema 2.1.1. Cunoscând valoarea i0 a curentului la momentul
t0 ¸si valoarea variat¸iei curentului i 1 0 la momentul t0, se determinǎ constantele
C1 ¸si C2 din formulele de reprezentare a solut¸iei astfel încât solut¸ia
oarecare i(t) a ecuat¸iei sǎ verifice condit¸iile init¸iale i(t0) = i0 ¸si ˙i(t0) = i 1 0 .
Exercit¸ii
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme cu date init¸iale:
a) ¨x − x = 0 x(0) = 2, ˙x(0) = 0

52 CAPITOLUL 2
R: x(t) = e t + e −t
b) ¨x + 2˙x + x = 0 x(0) = 0, ˙x(0) = 1
R: x(t) = t · e −t
c) ¨x − 4 ˙x + 4x = 0 x(1) = 1, ˙x(1) = 0
d) ¨x + x = 0 x
π
2
R: x(t) = 3e 2t−2 − 2t · e 2t−2
= 1, ˙x
π
= 0
2
R: x(t) = sin t
e) ¨x + ˙x + x = 0 x(0) = 0, ˙x(0) = 1
R: x(t) = 2
3
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale :
a) ¨x + 3˙x + 2x = 1
1 + e t
√ 3 · e − 1
2 t · sin
2√
3t
3
R: x(t) = e −t · ln(1 + e t ) + e −2t · ln(1 + e t ) − e −2t · C1 + e −t · C2
b) ¨x − 6˙x + 9x = 9t2 + 6t + 2
t 3
c) ¨x + x = et
2
R: x(t) = e 3t · C1 + t · e 3t · C2 + 1
t
+ e−t
2
R: x(t) = C1 · sin t + C2 · cost + 1
4 (e2t + 1) · e−t
d) ¨x − 3˙x + 2x = 2e 2t
R: x(t) = (2te t − 2e t + C1e t + C2)e t
e) ¨x − 4 ˙x + 4x = 1 + e t + e 2t

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 53
R: x(t) = C1 · e 2t + C2t · e 2t + 1 1
+
4 2 t2e 2t + e t
f) ¨x + x = sin t + cos 2t
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost − 2
3 cost2 + 1
3
1
− t cost
2
g) ¨x − 2(1 + m) ˙x + (m 2 + 2m)x = e t + e −t , m ∈ IR 1
R: x(t) = C1 · e mt + C2 · e (m+2)t + ((m + 3)e2t + m − 1) · e −t
m 3 + 3m 2 − m − 3
h) ¨x − 5˙x + 6x = 6t 2 − 10t + 2
R: x(t) = C1 · e 3t + C2 · e 2t + t 2
i) ¨x − 5˙x = −5t 2 + 2t
j) ¨x + x = te −t
R: x(t) = 1
3 t3 + 1
5 e5t · C1 + C2
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost + 1
(−1 + t) · et
2
k) ¨x − x = te t + t + t 3 e −t
R: x(t) = C1e −t + C2e t + 1
16 (−4te2t + 2e 2t − 16te t − 2t 4 +
+4t 2 e 2t − 4t 3 − 6t 2 − 6t − 3) · e −t
l) ¨x − 7˙x + 6x = sin t
R: x(t) = C1 · e t + C2 · e 6t + 7 5
cost + sin t
74 74
m) ¨x − 4˙x + 4x = sin t · cos 2t
R: x(t) = C1e 2t + C2te 2t − 10
169 sin t · cos t2 − 191
sin t+
4225
+ 24
169 cos t3 − 788
4225 cost

54 CAPITOLUL 2
n) ¨x + x = cos t − cos 3t
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost + 1 1
· t sin t +
2 2 cos t3 − 1
8 cost

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i 55
2.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n
cu coeficient¸i constant¸i
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i este o
ecuat¸ie diferent¸ialǎ de forma
anx (n) + an−1x (n−1) + . . . + a1 ˙x + a0x = f(t) (2.23)
în care a0, a1, . . .,an−1, an sunt constante reale cunoscute, an = 0, f(t) funct¸ie
cunoscutǎ continuǎ ¸si x este funct¸ie realǎ de clasǎ C n necunoscutǎ.
Observat¸ia 2.2.1 Dacǎ f = 0, atunci ecuat¸ia (2.23) se nume¸ste ecuat¸ie
diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i omogenǎ, iar dacǎ
f = 0 ecuat¸ia (2.23) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul n cu
coeficient¸i constant¸i neomogenǎ.
Rezolvǎm mai întâi ecuat¸ia omogenǎ ata¸satǎ ecuat¸iei (2.23):
anx (n) + an−1x (n−1) + . . . + a1 ˙x + a0x = 0 (2.24)
Pentru determinarea solut¸iilor ecuat¸iei (2.24) se cautǎ solut¸ii de forma
x(t) = C · e λt . Impunând unei asemenea funct¸ii sǎ verifice ecuat¸ia (2.24)
rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuat¸ia algebricǎ
anλ n + an−1λ n−1 + . . . + a1λ + a0 = 0 (2.25)
numitǎ ecuat¸ie caracteristicǎ.
Dacǎ ecuat¸ia (2.25) are toate rǎdǎcinile reale ¸si distincte λ1, λ2, . . .λn
atunci funct¸iile xi(t) = Ci ·e λit , i = 1, n sunt solut¸ii ale ecuat¸iei (2.24) ¸si orice
funct¸ie x(t) datǎ de:
x(t) = C1 · e λ1t + C2 · e λ2t + . . . + Cn · e λnt
(2.26)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24) (C1, C2, . . .,Cn sunt constante reale oarecare).
Mai mult, oricare ar fi t0, x0 0 , x10 , ..., xn−1
unic constantele C1, C2, . . .,Cn astfel încât sǎ aibǎ loc
0 ∈ IR 1 putem determina în mod
x(t0) = x 0 0 , ˙x(t0) = x 1 0 , ... , x(n−1) (t0) = x n−1
0 .
În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.26) reprezintǎ toate solut¸iile
ecuat¸iei (2.24) în acest caz.

56 CAPITOLUL 2
Dacǎ printre rǎdǎcinile ecuat¸iei caracteristice (2.25) existǎ ¸si rǎdǎcini
complexe simple, de exemplu λ = µ+iν ¸si λ = µ −iν, atunci fiecǎrei perechi
de rǎdǎcini complex conjugate îi corespund solut¸iile
x 1 λ (t) = C1 λ · eµt · cosνt ¸si x 2 λ (t) = C2 λ · eµt · sin νt
Pentru µ = 0 aceste solut¸ii devin:
x 1 λ (t) = C1 λ · cosνt ¸si x2 λ (t) = C2 λ
· sin νt
Astfel, dacǎ ecuat¸ia caracteristicǎ are 2k rǎdǎcini complexe simple λj =
µj +iνj ¸si λj = µj −iνj, j = 1, k ¸si n−2k rǎdǎcini reale simple λ2k+1, . . .,λn,
atunci orice funct¸ie x(t) datǎ de:
x(t) =
k
j=1
C 1 j · e µjt · cosνjt +
k
j=1
C 2 j · e µjt · sin νjt +
n
j=2k+1
Cj · e λjt
(2.27)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24) (C 1 j , C2 j , j = 1, k ¸si Cj, j = 2k + 1, n sunt con-
stante reale oarecare).
Mai mult, oricare ar fi t0, x0 0 , x10 , ..., xn−1 0 ∈ IR 1 putem determina în mod
unic constantele C1 j , C2 j , j = 1, k ¸si Cj, j = 2k + 1, n astfel încât sǎ aibǎ loc
x(t0) = x0 0, ˙x(t0) = x1 0, ..., x (n−1) (t0) = x n−1
0 . În particular rezultǎ de aici cǎ
formula (2.27) reprezintǎ toate solut¸iile ecuat¸iei (2.24) în acest caz.
Dacǎ ecuat¸ia caracteristicǎ (2.25) are k rǎdǎcini reale λ1, . . .,λk având ordine
de multiplicitate q1, . . ., qk ¸si l rǎdǎcini complex conjugate µ1±iν1, . . .,µl±
iνl având ordine de multiplicitate r1, . . .,rl, atunci orice funct¸ie x(t) datǎ de
formula:
k
x(t) = e λjt
l
· Pqj−1(t) + e µjt
· Qrj−1(t) · cosνjt + Rrj−1(t) · sin νjt
j=1
j=1
(2.28)
este solut¸ie a ecuat¸iei (2.24), unde Pqj−1(t) sunt polinoame de grad qj − 1 cu
coeficinet¸i reali nedeterminat¸i ¸si Qrj−1, Rrj−1 sunt polinoame de grad rj − 1
cu coeficient¸i reali nedeterminat¸i.
Mai mult, oricare ar fi t0, x 1 0 , x2 0
, ..., xn−1
0 ∈ IR 1 putem determina în mod
unic coeficient¸ii polinoamelor Pqj−1, Qqj−1, Rqj−1 astfel încât sǎ aibǎ loc x(t0) =
x 1 0, ˙x(t0) = x 2 0, ..., x (n−1) (t0) = x n−1
0 .
În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.28) reprezintǎ toate solut¸iile
ecuat¸iei (2.24) în acest caz.

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i 57
Reamintim cǎ obiectul acestui paragraf este rezolvarea ecuat¸iei diferent¸iale
de ordinul n, cu coeficient¸i constant¸i neomogenǎ (2.23):
anx (n) + an−1x (n−1) + . . . + a1 ˙x + a0x = f(t)
în care a0, a1, . . ., an−1, an sunt constante reale date, an = 0, f funct¸ie cunoscutǎ
continuǎ ¸si x este funct¸ie realǎ de clasǎ C n necunoscutǎ.
Pentru determinarea solut¸iilor ecuat¸iei (2.23) este important sǎ observǎm
cǎ dacǎ x(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (2.23) ¸si x(t) este o solut¸ie oarecare
a aceleia¸si ecuat¸ii, atunci diferent¸a x(t)−x(t) = x(t) este o solut¸ie oarecare a
ecuat¸iei diferent¸iale liniare omogene cu coeficient¸i constant¸i, (2.24). Întrucât
solut¸iile x(t) ale ecuat¸iei omogene (2.24) sunt date în general de (2.28), determinarea
solut¸iilor x(t) ale ecuat¸iei (2.23) revine la determinarea unei singure
solut¸ii x(t) ale acestei ecuat¸ii.
O solut¸ie particularǎ x(t) pentru ecuat¸ia (2.23) se determinǎ cu metoda
variat¸iei constantelor a lui Lagrange, un procedeu asemenǎtor cu cel descris
în paragraful precedent.
Vom ilustra acest procedeu pe un exemplu (n = 3):
Exemplul 2.2.1 Sǎ se determine solut¸iile ecuat¸iei:
...
x + 4¨x + 5 ˙x = 4e t
Considerǎm ecuat¸ia omogenǎ
...
x + 4¨x + 5 ˙x = 0
Ecuat¸ia caracteristicǎ asociatǎ este:
ale cǎrei rǎdǎcini sunt:
λ 3 + 4λ 2 + 5λ = 0
λ0 = 0, λ1 = −2 − i, λ2 = −2 + i.
Solut¸iile ecuat¸iei omogene sunt date de:
y(t) = C1 + C2 · e −2t · cost + C3 · e −2t · sin t.
Cǎutǎm x(t), o solut¸ie particularǎ pentru ecuat¸ia neomogenǎ, sub forma
x(t) = C1(t) + C2(t) · e −2t · cost + C3(t) · e −2t · sin t

58 CAPITOLUL 2
în care C1(t), C2(t), C3(t) sunt funct¸ii de clasǎ C 1 care trebuiesc determinate.
Calculǎm derivata întâi a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:
˙x = ˙ C1 + ˙ C2 · e −2t · cos t + ˙ C3 · e −2t · sin t − 2C2 · e −2t · cos t−
− 2C3 · e −2t · sin t − C2 · e −2t · sin t + C3 · e −2t · cost
Impunem ca ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3 sǎ verifice:
¸si obt¸inem:
˙C1 + ˙ C2 · e −2t · cost + ˙ C3 · e −2t · sin t = 0
˙x = −C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)
Calculǎm derivata a doua a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:
¨x = − ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)+
+2C2 · e −2t · (2 cost + sin t) − 2C3 · e −2t · (cos t − 2 sint)−
−C2 · e −2t · (−2 sin t + cost) + C3 · e −2t · (− sin t − 2 cost) =
= − ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)+
+C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + C3 · e −2t · (3 sint − 4 cost).
Impunem ca ˙ C2, ˙ C3 sǎ verifice:
− ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t) = 0
¸si obt¸inem
¨x = C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)
De aici calculǎm derivata a treia a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:
...
x = ˙ C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)−
−2C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) − 2C3 · e −2t · (3 sint − 4 cost)+
+C2 · e −2t · (−3 sin t + 4 cost) + C3 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) =
= ˙ C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)+
+C2 · e −2t · (−2 cost − 11 sint) + C3 · e −2t · (−2 sin t + 11 cost).

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i 59
sau
Înlocuind toate acestea în ecuat¸ia datǎ rezultǎ:
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost) +
+C2 · e −2t · (−2 cost − 11 sint) +C3 · e −2t · (−2 sin t + 11 cost) +
+C2 · e −2t · (12 cost + 16 sin t) +C3 · e −2t · (12 sin t − 16 cost) −
−C2 · e −2t · (10 cost + 5 sin t) +C3 · e −2t · (5 cost − 10 sint) = 4e t
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost) = 4e t
Aceastǎ egalitate împreunǎ cu sistemul de condit¸ii impus pe parcurs
funct¸iilor ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3 conduce la urmǎtorul sistem liniar de ecuat¸ii algebrice
în necunoscutele ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
˙C1 + ˙ C2 · e −2t · cos t + ˙ C3 · e −2t · sin t = 0
− ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cos t − 2 sint) = 0
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · e −2t · (−4 cost + 3 sin t) = 4e t
Din ultimele douǎ ecuat¸ii rezulǎ sistemul algebric:
⎧
⎨
⎩
˙C2 · (−2 cost − sin t) + ˙ C3 · (cost − 2 sint) = 0
˙C2 · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · (−4 cost + 3 sin t) = 4e −t
Determinantul sistemului este:
∆ = (−2 cost − sin t)(−4 cost + 3 sin t)
− (cos t − 2 sint)(3 cost + 4 sin t) =
= 8 cos 2 t − 6 sin t cost + 4 sintcost − 3 sin 2 t − 3 cos 2 t −
− 4 sin t cost + 6 sintcost + 8 sin 2 t = 8 − 3 = 5
¸si solut¸iile sunt date de:
˙C2 = − 4
5 · et (cos t − 2 sint)
˙ C3 = 4
5 · et (−2 cos t − sin t).

60 CAPITOLUL 2
Înlocuind ˙ C2, ˙ C3 în prima ecuat¸ie, se obt¸ine ˙ C1:
˙C1 = 4
5 · e−t cost(cos t − 2 sin t) + 4
5 · e−t sin t(2 cost + sin t) =
= 4
5 · e−t [cos 2 t + sin 2 t] =
= 4
· e−t
5
Astfel au fost gǎsite derivatele funct¸iilor necunoscute ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3:
de unde rezultǎ:
4
˙C1 = · e−t
5
˙C2 = − 4
5 · et [cost − 2 sin t]
˙C3 = − 4
5 · et [2 cost + sin t]
C1 = − 4
· e−t
5
1
C2 =
10 · et [−12 cost + 4 sint]
1
C3 =
10 · et [4 cost + 12 sin t]
Obt¸inem de aici:
x(t) = − 4
5 · e−t + 1
10 · e−t [−12 cost + 4 sin t] · cost +
+ 1
10 · e−t [4 cost + 12 sint] · sin t
de unde avem cǎ solut¸ia generalǎ a ecuat¸iei neomogene
este:
x(t) = x(t) + x(t)
x(t) = C1 + c2e −2t cos t + C3e −2t sin t − 4
5 · e−t +
+ 1
10 · e−t [−12 cost + 4 sin t] · cost +
+ 1
10 · e−t [4 cost + 12 sin t] · sin t

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i 61
Exercit¸ii
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):
a) ...
x − 2¨x − ˙x + 2x = 0
R: x(t) = C1 · e t + C2 · e 2t + C3 · e −t
b) x (4) − 5¨x + 4x = 0
R: x(t) = C1 · e t + C2 · e 2t + C3 · e −t + C4 · e −2t
c) ...
x − 6¨x + 12˙x − 8x = 0
R: x(t) = C1 · e 2t + C2 · t · e 2t + C3 · t 2 · e 2t
d) x (7) + 3x (6) + 3x (5) + x (4) = 0
R: x(t) = C1 ·e −t +C2 ·t·e −t +C3 ·t 2 ·e −t +C4+C5 ·t+C6 ·t 2 +C7 ·t 3
e) ...
x − ¨x + ˙x − x = 0
R: x(t) = C1 · e t + C2 sin t + C3 cost
f) x (4) + 2¨x + x = 0
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost + C3t · sin t + C4t · cost
g) x (4) − 3 ...
x + 5¨x − 3 ˙x + 4x = 0
R: x(t) = C1 sin t + C2 cost + C3e 3
2 t · sin
+C4e 3
2 t · cos
√
7
2 t
√
7
2 t
+
2. Determinat¸i solut¸iile urmǎtoarelor probleme cu date init¸iale:
a) ...
x − 2¨x − ˙x + 2x = 0 x(0) = 0, ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2

62 CAPITOLUL 2
R: x(t) = − 1
2 et + 2
3 e2t − 1
6 e−t
b) ...
x − ¨x + ˙x − x = 0 x(1) = 0, ˙x(1) = 1 ¨x(1) = 2
R: x(t) = e t−1 − (sin 1) · sin t − (cos 1) · cos t
c) x (4) − 5¨x + 4x = 0 x(0) = 0, ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2, ...
x(0) = 3
3. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale:
a)
b)
...
x − 2¨x − ˙x + 2x = t + 1
R: x(t) = − 1
6 · et + 1
6 · e−2t − 1
2 · e−t + 1
· e2t
2
R: x(t) = 3 1
+
4 2 · t + C1e t + C2e 2t + C3e −t
...
x − 6¨x + 12˙x − 8x = sin t
R: x(t) = − 11 2
cost−
125 125 sin t+C1e 2t +C2t 2 ·e 2t +C3t 3 ·e 2t

Reducerea ecuat¸iei diferent¸iale liniare de ordinul n a lui Euler la o ecuat¸ie liniarǎ 63
2.3 Reducerea ecuat¸iei diferent¸iale liniare de
ordinul n a lui Euler la o ecuat¸ie diferent¸ialǎ
liniarǎ de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i
Definit¸ia 2.3.1 Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul n de forma:
an · t n · x (n) + an−1 · t n−1 · x (n−1) + . . . + a1 · t · ˙x + a0 · x = 0 (2.29)
în care a0, a1, . . .,an sunt constante reale, se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ
liniarǎ de ordinul n a lui Euler.
Propozit¸ia 2.3.1 Prin schimbarea de variabilǎ |t| = e τ ecuat¸ia diferent¸ialǎ
(2.29) se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficient¸i
constant¸i.
Demonstrat¸ie: Fie x = x(t) o solut¸ie a ecuat¸iei (2.29) ¸si y funct¸ia y(τ) =
x(e τ ). De aici, pentru t > 0, avem cǎ x(t) = y(lnt) iar prin derivare succesivǎ
obt¸inem:
dx
dt
= dy
dτ
d2x dt2 = d2y dτ
· 1
t
d3x 2
= − ·
dt3 t3 1 dy
· −
2 t2 dτ
= 1
3 d y
·
t3 2 d y dy
−
dτ2 dτ
1 1
· = ·
t2 t2
dτ3 − 3d2 y
+ 2dy
dτ2 dτ
Dacǎ presupunem cǎ pentru 1 ≤ k < n avem
dkx 1
= ·
dtk tk k
i=1
2 d y dy
−
dτ2 dτ
+ 1
3 d y
·
t3 dτ3 − d2y dτ2
=
c k i · di y
dτ i
atunci printr-o nouǎ derivare deducem egalitatea
dk+1x 1
= ·
dtk+1 tk+1 k+1
i=1
c k+1
i · di y
dτ i

64 CAPITOLUL 2
Rezultǎ în acest fel cǎ derivatele de orice ordin (1 ≤ k ≤ n) ale funct¸iei
1
x se exprimǎ ca un produs între ¸si o combinat¸ie liniarǎ a derivatelor de
tk+1 ordin i ≤ k + 1 ale funct¸iei y.
Înlocuind în (2.29) se obt¸ine cǎ funct¸ia y verificǎ o ecuat¸ie diferent¸ialǎ
liniarǎ de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i.
Se determinǎ solut¸iile y = y(τ) ale acestei ecuat¸ii ¸si apoi solut¸iile x(t) ale
lui (2.29) pentru t > 0:
x(t) = y(lnt).
Pentru t < 0 se rat¸ioneazǎ la fel ¸si se obt¸ine:
Exercit¸ii:
x(t) = y(ln |t|).
Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale:
1. t 2 ¨x + t ˙x − x = 0
R: x(t) = C1 · t + C2 · 1
t
2. 12t 3... 2 x − 25t ¨x + 28t ˙x − 6x = 0
3. t 2 ¨x + t ˙x = 0
4. t 2 ¨x − t ˙x + x = 0
R: x(t) = C1 · t 2 + C2 · t 1
12 + C3 · t 3
R: x(t) = C1 + C2 · ln t
R: x(t) = C1 · t + C2 · t · ln t

Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor de ordinul n 65
2.4 Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor
diferent¸iale de ordinul n
Pentru rezolvarea numericǎ a ecuat¸iilor diferent¸iale de ordin superior
(n ≥ 2) Maple folose¸ste aceea¸si funct¸ie dsolve (solve ordinary differential
equations - ODEs) care a fost prezentatǎ în capitolul anterior.
Noutatea care apare aici constǎ în scrierea sintaxei pentru derivatele de ordin
superior. De exemplu, derivata de ordinul al doilea a funct¸iei x(t) poate fi
scrisǎ într-unul din urmǎtoarele moduri:
diff(x(t),t,t)
diff(x(t),t$2)
(D@@2)(x)(t)
Pentru exemplificare, vom rezolva câteva ecuat¸ii ¸si probleme cu date
init¸iale:
1. Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i
omogenǎ:
¨x − 4˙x + 4x = 0; (2.30)
> eq1:=diff(x(t),t,t)-4*diff(x(t),t)+4*x(t)=0;
eq1 := d2
dt2x (t) − 4 d x (t) + 4 x (t) = 0
dt
> dsolve(eq1,x(t));
x (t) = C1 e 2 t + C2 e 2 t t
> dsolve({eq1,x(1)=1,D(x)(1)=0},x(t));
e2
t
x (t) = 3 e2 − 2 e2 tt e2 > sol1:=3*exp(2*t)/exp(2)-2*exp(2*t)*t/exp(2):
> plot(sol1,t=-infinity..infinity);

66 CAPITOLUL 2
Figura 8
Se observǎ cǎ, dacǎ nu s-a dat nici o condit¸ie init¸ialǎ solut¸ia generalǎ
este afi¸satǎ cu ajutorul a douǎ constante. Mai precis, numǎrul constantelor
este acela¸si cu ordinul ecuat¸iei, în cazul ecuat¸iei de ordinul al
doilea solut¸ia generalǎ exprimându-se cu ajutorul a douǎ constante.
Pentru ca Maple sǎ afi¸seze solut¸ia unei Probleme Cauchy în cazul unei
ecuat¸ii de ordin superior trebuie sa-i dǎm n condit¸ii init¸iale:
x(t0) = x 0 0 , ˙x(t0) = x 1 0 , ... , x(n−1) (t0) = x n−1
0 .
2. Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul al patrulea cu coeficient¸i constant¸i
omogenǎ:
x (4) − 5¨x + 4x = 0; (2.31)
> eq2:=diff(x(t),t,t,t,t)-5*diff(x(t),t,t)+4*x(t)=0;
eq2 := d4
dt 4x (t) − 5 d2
dt 2x (t) + 4 x (t) = 0
> eq2:=diff(x(t),t$4)-5*diff(x(t),t$2)+4*x(t)=0;
eq2 := d4
dt 4x (t) − 5 d2
dt 2x (t) + 4 x (t) = 0
> eq2:=(D@@4)(x)(t)-5*(D@@2)(x)(t)+4*x(t)=0;
eq2 := D (4) (x) (t) − 5 D (2) (x) (t) + 4 x (t) = 0
> dsolve(eq2,x(t));
x (t) = C1 e −2 t + C2 e −t + C3 e 2 t + C4 e t
> dsolve({eq2,x(0)=0,D(x)(0)=1,(D@@2)(x)(0)=2,
(D@@3)(x)(0)=3},x(t));
x (t) = −1/2 e −t + 1/6 e −2t + 1/2 e 2 t − 1/6 e t

Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor de ordinul n 67
> sol2:=-1/2*exp(-t)+1/6*exp(-2*t)+1/2*exp(2*t)-
1/6*exp(t):
> plot(sol2,t=-2..2);
Figura 9
Din instruct¸iunile de mai sus reiese cǎ, în rezolvarea Problemei Cauchy
pentru o ecuat¸ie diferent¸ialǎ de ordinul patru s-au folosit patru condit¸ii
init¸iale. Se observǎ deasemenea, sintaxa corespunzǎtoare derivatelor de
ordin superior a fost scrisǎ în cele trei moduri prezentate la începutul
paragrafului.
3. Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul al treilea cu coeficient¸i constant¸i
neomogenǎ:
...
x − 6¨x + 12 ˙x − 8x = sin t; (2.32)
> eq3:=diff(x(t),t,t,t)-6*diff(x(t),t,t)+12*diff(x(t),t)
-8*x(t)=sin(t);
eq3 := d3
dt3x (t) − 6 d2
dt2x(t) + 12 d
x (t) − 8 x (t) = sin (t)
dt
> dsolve(eq3);
x (t) = − 11
125
cos (t) − 2
125 sin (t) + C1 e2 t + C2 e 2 t t + C3 e 2 t t 2
> dsolve({eq3,x(0)=0,D(x)(0)=2,(D@@2)(x)(0)=4});
x (t) = − 11
2
11
cos (t) − sin (t) + 125 125 125 e2 t + 46
25 e2 tt − 19
10 e2 tt2 > sol3:=-11/125*cos(t)-2/125*sin(t)+11/125*exp(2*t)+
46/25*exp(2*t)*t-19/10*exp(2*t)*t^2:
> plot(sol3,t=-4..1);

68 CAPITOLUL 2
Figura 10
În cele ce urmeazǎ, vom mai prezenta o altǎ funct¸ie de plotare DEtools
[DEplot] (plot solutions to an equation or a system of DEs) pentru a
vizualiza solut¸ia acestei probleme cu date init¸iale. Utilizarea acesteia nu
necesitǎ rezolvarea ecuat¸iei în avans deoarece ecuat¸ia este inclusǎ direct
în instruct¸iune. Sintaxa acestei funct¸ii poate avea una din urmǎtoarele
forme:
with(DEtools):DEplot(deqns, vars, trange, options);
with(DEtools):DEplot(deqns, vars, trange, inits, options);
with(DEtools):DEplot(deqns, vars, trange, xrange, yrange, options);
with(DEtools):DEplot(deqns, vars, trange, inits, xrange, yrange, options);
în care:

Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor de ordinul n 69
deqns - ecuat¸ia diferent¸ialǎ de orice ordin pe care dorim sǎ o
rezolvǎm sau lista de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi
(în cazul sistemelor)
vars - variabila independentǎ sau lista variabilelor independente
trange - domeniul de definit¸ie al variabilei independente
inits - lista de condit¸ii init¸iale
xrange - domeniul de variat¸ie al primei variabile dependente
yrange - domeniul de variat¸ie al celei de-a doua variabile
dependente
options - diferite opt¸iuni: modul de afi¸sare al solut¸iei, metoda de
rezolvare, etc.
> with(DEtools):DEplot(eq3,x(t),t=-4..1,[[x(0)=0,D(x)(0)=2,
(D@@2)(x)(0)=4]],x=-0.6..1.8,stepsize=.05,title=‘Solutia
Problemei Cauchy‘);
Figura 11
4. Ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul al treilea cu coeficient¸i variabili
de tip Euler:
t 2...
x + 5t¨x + 4˙x = ln t, t > 0 (2.33)
> eq4:=t^2*diff(x(t),t,t,t)+5*t*diff(x(t),t,t)+
4*diff(x(t),t)=ln(t);
eq4 := t 2 d3
dt 3x (t) + 5 t d2
dt 2x(t) + 4 d
dt x (t) = ln (t)
> dsolve({eq4,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3});

70 CAPITOLUL 2
(−29+2 ln(2))·ln(t)
t
x(t) = −2 ln(2) + 19 +
+ 1/4t(ln(t)) − 2
32 ln(2)−2(ln(2)) 2 −32
t
> sol4:=-2*ln(2)+19+(-29+2*ln(2))*ln(t)/t+(32*ln(2)-
2*ln(2)^2-32)/t+1/4*t*(ln(t)-2):
> plot(sol4,t=0.1..infinity,axes=boxed);
Figura 12
+

Capitolul 3
Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale
de ordinul întâi liniare cu
coeficient¸i constant¸i
3.1 Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul
întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i omogene
Definit¸ia 3.1.1 Un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare
cu coeficient¸i constant¸i omogen este un sistem de n relat¸ii de dependent¸ǎ
funct¸ionalǎ de forma:
˙x1 = a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn
˙x2 = a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn
.
˙xn = an1 · x1 + an2 · x2 + . . . + ann · xn
(3.1)
dintre un sistem de n funct¸ii necunoscute x1, x2, . . .,xn ¸si derivatele acestora
x1, ˙ x2, ˙ . . ., xn. ˙ În sistemul (3.1) coeficient¸ii aij sunt constante considerate
cunoscute.
Definit¸ia 3.1.2 Un sistem ordonat de n funct¸ii reale x1, x2, . . .,xn de clasǎ
71

72 CAPITOLUL 3
C 1 este solut¸ie a sistemului (3.1) dacǎ verificǎ
pentru orice t ∈ IR 1 .
dxi
dt =
n
aij · xi(t)
j=1
Definit¸ia 3.1.3 Fiind date t0 ∈ IR ′ ¸si (x 0 1, x 0 2, . . .,x 0 n) ∈ IR n problema determinǎrii
solut¸iei (x1(t), x2(t), . . ., xn(t)) a sistemului (3.1) care verificǎ
xi(t0) = x 0 i i = 1, n se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ
Cauchy.
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.1) notǎm cu A matricea
pǎtraticǎ care are ca elemente constantele aij: A = (aij) i,j=1,n ¸si cu X matricea
coloanǎ X = (x1, x2, . . .xn) T . Cu aceste matrice sistemul (3.1) se scrie
sub forma matricealǎ:
˙X = A · X. (3.2)
În aceastǎ problemǎ derivarea funct¸iei matriceale X = X(t) înseamnǎ derivarea
elementelor matricei, iar produsul A ·X însemnǎ produsul dintre matricea A
¸si matricea X.
Problema Cauchy (problema cu date init¸iale) se scrie matriceal sub forma:
˙X = A · X, X(t0) = X 0
(3.3)
¸si constǎ în determinarea funct¸iei matriceale X = X(t) care verificǎ ecuat¸ia
(3.2) ¸si condit¸ia init¸ialǎ X(t0) = X 0 .
Teorema 3.1.1 (de existent¸ǎ a solut¸iei problemei Cauchy)
Pentru orice t0 ∈ IR 1 ¸si X 0 = (x 0 1 , x0 2 , . . .x0 n )T problema Cauchy (3.3) are o
solut¸ie definitǎ pe IR 1 .
Demonstrat¸ie: Considerǎm ¸sirul de funct¸ii matriceale definite astfel:

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 73
X 0 (t) = X 0 = I · X 0
X 1 (t) = X 0 t
+ A · X
t0
0 (τ)dτ = [I + (t − t0) · A
] · X
1!
0
X 2 (t) = X 0 t
+ A · X
t0
1 (τ)dτ = [I + (t − t0) · A
+
1!
(t − t0) 2 · A2 ] · X
2!
0
X 3 (t) = X 0 t
+ A · X 2 (τ)dτ =
. . .
t0
= [I + (t − t0) · A
1!
X m (t) = X 0 t
+
. . .
t0
A·X m−1 (τ)dτ =
= [I + (t − t0) · A
1!
+ (t − t0) 2 · A 2
2!
+ (t − t0) 2 · A 2
2!
Funct¸iile din acest ¸sir verificǎ inegalitatea
X m+p (t)−X m (t) ≤
m+p
k=m+1
+ (t − t0) 3 · A3 ] · X
3!
0
+ . . . + (t − t0) m · Am ] · X
m!
0
|t − t0| k · Ak ·X 0 , (∀) m, p ∈ IN, (∀) t ∈ IR 1
k!
¸si prin urmare ¸sirul de funct¸ii {Xm (t)}m∈n este uniform fundamental pe orice
compact K ⊂ IR 1 . Rezultǎ cǎ ¸sirul este uniform convergent pe orice compact
K ⊂ IR 1 ¸si se poate trece la limitǎ în egalitatea
X m (t) = X 0 t
+ A · X m−1 (τ)dτ.
pentru m → ∞.
Trecând la limitǎ obt¸inem cǎ limita X(t) a ¸sirului X m (t)
verificǎ egalitatea
t0
X(t) = lim
m→∞ Xm (t)
X(t) = X 0 +
t
t0
A · X(τ)dτ

74 CAPITOLUL 3
sau
X(t) = X 0 + A ·
t
t0
X(τ)dτ.
De aici rezultǎ cǎ funct¸ia X(t) este de clasǎ C 1 ¸si derivata ei verificǎ ˙ X(t) =
A · X(t), adicǎ X(t) este solut¸ia sistemului de ecuat¸ii diferent¸iale sub formǎ
matricealǎ (3.2). Punând t = t0 în egalitatea
X(t) = X 0 + A ·
t
t0
X(τ)dτ
obt¸inem egalitatea X(t0) = X 0 care aratǎ cǎ X(t) este solut¸ia problemei
Cauchy (3.3). Am arǎtat în acest fel cǎ problema Cauchy (3.3) are o solut¸ie.
Observat¸ia 3.1.1 În aceastǎ demonstrat¸ie norma matricei pǎtratice A A
este datǎ de A = sup A · X .
X≤1
Observat¸ia 3.1.2 S¸irul de matrice pǎtratice care intervine în aceastǎ
demonstrat¸ie:
U m (t; t0) = I + (t − t0) · A
1!
este de asemenea fundamental.
Într-adevǎr:
U m+p (t; t0) − U m (t; t0) ≤
m+p
k=m+1
+ (t − t0) 2 · A 2
2!
| t − t0 | k · A k
k!
+ . . . + (t − t0) m · A m
m!
, (∀)m, p ∈ IN, t ∈ IR 1
¸si prin urmare ¸sirul de funct¸ii matriceale {U m (t; t0)}m∈IN este uniform convergent
pe orice compact K ⊂ IR 1 . Limita acestui ¸sir este suma seriei de
matrice
care se noteazǎ cu e (t−t0)·A :
∞
m=0
e (t−t0)·A =
(t − t0) m · A m
∞
m=0
m!
(t − t0) m · A m
m!

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 75
Observat¸ia 3.1.3 Funct¸ia matricealǎ e (t−t0)·A se nume¸ste matricea rezolvantǎ
a sistemului (3.2). O solut¸ie a problemei Cauchy (3.3) se obt¸ine înmult¸ind
matricea e (t−t0)·A cu matricea X 0 :
Aceastǎ solut¸ie este definitǎ pe IR 1 .
X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A · X 0 .
Teorema 3.1.2 (de unicitate a solut¸iei problemei Cauchy)
Problema Cauchy (3.3) are o singurǎ solut¸ie.
Demonstrat¸ie: Presupunem prin absurd cǎ problema Cauchy (3.3), pe
lângǎ solut¸ia X(t; t0, X 0 ) determinatǎ în teorema precedentǎ mai are o solut¸ie
X(t). Pe intervalul I de definit¸ie a acestei solut¸ii
(I ∋ t0) scriem egalitǎt¸ile :
¸si
¸si deducem succesiv:
X(t; t0, X 0 ) = X 0 t
+ A ·
X(t) = X 0 + A ·
X(t; t0, X 0 ) − X(t) = A ·
t0
t
t0
t
X(t; t0, X0 ) −
X(t) ≤ A ·
t0
X(τ; t0, X 0 )dτ, (∀)t ∈ I
X(τ)dτ, (∀)t ∈ I
[X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)]dτ
t
t0
< ε + A ·
Pentru t > t0 rezultǎ în continuare:
ε +
t
t0
X(τ; t0, X 0 ) −
X(τ)dτ
<
t
t0
(∀)ε > 0 (∀)t ∈ I.
X(τ; t0, X 0 ) −
X(τ)dτ
X(t; t0, X0 ) − X(t)
A · X(τ; t0, X 0 ) − ≤ 1 ⇔
X(τ)dτ

76 CAPITOLUL 3
ln ε +
ε +
ε +
d
ε +
dt
t
t0
ε +
ln
t
t0
ε +
A · X(t; t0, X 0 ) − X(t)
t
t0
t
t0
t
t0
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)dτ
A · X(τ; t0, X 0 ) −
X(τ) dτ
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)dτ
≤ A ⇔
≤ A ⇔
A · X(τ; t0, X 0 ) −
X(τ) dτ − ln(ε) ≤ A (t − t0) ⇔
t
t0
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ) dτ
) ≤ A ·(t − t0) ⇔
ε
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ) dτ ≤ ε · e A·(t−t0) , (∀)t ≥ t0, ε > 0.
=⇒ X(t; t0, X 0 ) − X(t) < εe A(t−t0) , (∀)t ≥ t0, (∀)ε > 0
Pentru t fixat ¸si ε → 0 rezultǎ
X(t; t0, X 0 ) − X(t) = 0.
Astfel am arǎtat cǎ pentru orice t ≥ t0 ¸si t ∈ I avem X(t) = X(t; t0, X 0 ).
Rat¸ionǎm analog pentru t ≤ t0, t ∈ I ¸si obt¸inem X(t) = X(t; t0, X 0 ). Se
obt¸ine în final egalitatea
X(t) = X(t; t0, X 0 )
pentru orice t ∈ I, care aratǎ cǎ solut¸ia X(t) coincide cu solut¸ia X(t; t0, X 0 )
gǎsitǎ în teorema de existent¸ǎ.
Observat¸ia 3.1.4 Din teorema de existent¸ǎ ¸si cea de unicitate rezultǎ cǎ
orice solut¸ie a sistemului (3.2) este definitǎ pe IR 1 ¸si se obt¸ine cu formula
X(t) = e (t−t0)·A · X 0 .
Într-adevǎr fie X(t) o solut¸ie oarecare a sistemului (3.2) definitǎ pe un interval

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 77
I. Considerǎm t0 ∈ I ¸si X(t0) = X 0 . Solut¸ia consideratǎ X(t), conform
teoremei de unicitate, coincide cu funct¸ia X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A · X 0 solut¸ie
a problemei Cauchy (3.3):
X(t) ≡ X(t; t0, X 0 ) ≡ e (t−t0)·A · X 0 .
Teorema 3.1.3 Mult¸imea S a solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar cu coeficient¸i
constant¸i de ordinul întâi este un spat¸iu vectorial n-dimensional.
Demonstrat¸ie: Fie X 1 (t) ¸si X 2 (t) douǎ solut¸ii ale sistemului(3.2) ¸si α, β
douǎ constante reale. T¸inând seama de egalitatea:
α · X 1 (t) + β · X 2 (t) = e (t−t0)·A · [α · X 1 (t0) + β · X 2 (t0)]
rezultǎ cǎ funct¸ia α·X 1 (t)+β ·X 2 (t) este solut¸ie a sistemului (3.2). Obt¸inem
în acest fel cǎ mult¸imea S a solut¸iilor sistemului (3.2) este spat¸iu vectorial.
Pentru a demonstra cǎ dimensiunea spat¸iului vectorial S este n, considerǎm
baza canonicǎ b 1 , b 2 , . . .,b n în IR n :
b 1 = (1, 0, 0, . . ., 0) T , b 2 = (0, 1, 0, . . ., 0) T , . . ., b n = (0, 0, 0, . . ., 1) T
¸si sistemul de solut¸ii
X i (t) = e t·A · b i , i = 1, n.
Vom arǎta cǎ sistemul de solut¸ii X 1 (t), X 2 (t), . . .,X n (t) este o bazǎ în spat¸iul
solut¸iilor S. Pentru aceasta, fie la început c1, c2, . . ., cn, n constante reale
astfel ca
(∀)t ∈ IR 1 .
n
k=1
ck · e t·A · b k = 0
În particular pentru t = 0 avem
n
k=1
ck · b k = 0
de unde rezultǎ c1 = c2 = . . . = cn = 0. Rezultǎ astfel cǎ sistemul de funct¸ii
X i (t) = e t·A · b i , i = 1, n este liniar independent.
Considerǎm acum o solut¸ie oarecare X(t) a sistemului (3.2), ¸si vectorul X(0).
Pentru acest vector X(0) ∈ IR n existǎ n constante reale c1, c2, . . .,cn astfel
ca
X(0) =
n
k=1
ck · b k .

78 CAPITOLUL 3
Construim funct¸ia
X(t) =
n
k=1
ck · X k (t)
¸si remarcǎm cǎ aceasta este o solut¸ie a sistemului (3.2) ¸si verificǎ:
X(0) =
n
k=1
ck · X k (0) =
În baza teoremei de unicitate rezultǎ cǎ:
n
k=1
X(t) = X(t), (∀)t.
ck · b k = X(0).
Am obt¸inut astfel cǎ, o solut¸ie oarecare X(t) este combinat¸ia liniarǎ
a solut¸iilor X k (t).
X(t) =
n
k=1
ck · X k (t)
Definit¸ia 3.1.4 Un sistem de n solut¸ii {X k (t) k=1,n } ale ecuat¸iei (3.2) se
nume¸ste sistem fundamental dacǎ sistemul de funct¸ii {X k (t) k=1,n } este liniar
independent.
Teorema 3.1.4 Un sistem de n solut¸ii {X k (t) k=1,n } ale ecuat¸iei (3.2) este
sistem fundamental dacǎ ¸si numai dacǎ funct¸ia realǎ definitǎ prin:
W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = det(x i j(t)),
numitǎ wronskianul sistemului, nu se anuleazǎ. Am notat:
X i (t) = (x i 1(t), x i 2(t), . . .,x i n(t)) T .
Demonstrat¸ie: Arǎtǎm la început necesitatea condit¸iei. Rat¸ionǎm prin reducere
la absurd ¸si admitem cǎ, de¸si sistemul de solut¸ii
X1 (t), X2 (t), . . .,X n (t) este fundamental existǎ un punct t0 ∈ IR 1 în care
wronskianul sistemului de solut¸ii se anuleazǎ: det(xi j (t0)) = 0. În aceste
condit¸ii, sistemul algebric liniar ¸si omogen de n ecuat¸ii cu n necunoscute
c1, c2, . . .,cn
n
i=1
ci · x i j (t0) = 0 j = 1, n

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 79
are o solut¸ie nebanalǎ ci = c0 i , i = 1, n. Cu o asemenea solut¸ie nebanalǎ
ci = c0 i, i = 1, n (c0 i nu sunt toate nule) construim funct¸ia:
X(t) =
n
i=1
c 0 i · Xi (t) t ∈ IR 1 .
Funct¸ia X(t) construitǎ astfel este solut¸ie a sistemului (3.2) ¸si se anuleazǎ în
t0:
n
X(t0) =
i=1
c 0 i · X i (t0) = 0.
În virtutea teoremei de unicitate rezultǎ cǎ funct¸ia X(t) este identic nulǎ:
n
i=1
c 0 i · X i (t) = 0, (∀)t ∈ IR 1 .
Aceastǎ însǎ este absurd, deoarece sistemul de n solut¸ii {X i (t) i=1,n } este independent.
Trecem acum sǎ arǎtǎm suficient¸a condit¸iei. Presupunem cǎ wronskianul
W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = det(x i j(t)) nu se anuleazǎ ¸si arǎtǎm cǎ sistemul de
solut¸ii {X i (t) i=1,n } este fundamental.
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si presupunem cǎ sistemul de solut¸ii {X i (t) i=1,n }
nu este fundamental (nu este liniar independent).
un sistem de constante {c 0 i }, i = 1, n, nu toate nule astfel cǎ
n
i=1
c 0 i · Xi (t) = 0
pentru orice t ∈ IR 1 . Egalitatea aceasta implicǎ egalitǎt¸ile
n
i=1
c 0 i · xi j (t) = 0 (∀)t ∈ IR1 j = 1, n
ceea ce aratǎ cǎ det(x i j(t)) = 0 (∀)t ∈ IR 1 ; absurd.
În aceastǎ ipotezǎ existǎ
Teorema 3.1.5 (Liouville). Un sistem de n solut¸ii {X i (t) i=1,n } ale sistemului
(3.2) este fundamental dacǎ ¸si numai dacǎ existǎ un punct t0 ∈ IR 1 în
care wronskianul sistemului de solut¸ii
este nenul.
W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = det(x i j(t))

80 CAPITOLUL 3
Demonstrat¸ie: Având în vedere teorema precedentǎ este suficient sǎ arǎtǎm
cǎ dacǎ existǎ t0 ∈ IR 1 astfel ca
W(X 1 (t0), . . ., X n (t0)) = 0
atunci pentru orice t ∈ IR 1 , W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = 0. Calculǎm derivata
wronskianului sistemului de solut¸ii {X i (t) i=1,n } ¸si obt¸inem
d
dt W(X1 (t), . . .,X n
n
(t)) =
De aici rezultǎ egalitatea:
i=1
W(X 1 (t), . . ., X n (t)) = W(X 1 (t0), . . ., X n (t0)) · exp
aii
· W(X 1 (t), . . .,X n (t)
n
care aratǎ cǎ pentru orice t ∈ IR 1 avem W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = 0.
i=1
aii
·(t−t0)
Observat¸ia 3.1.5 În demonstrat¸ia teoremei care afirma cǎ solut¸iile sistemului
(3.2) formeazǎ un spat¸iu vectorial n dimensional am vǎzut cǎ dacǎ
b 1 = (1, 0, 0, . . ., 0) T , b 2 = (0, 1, 0, . . ., 0) T , . . ., b n = (0, 0, 0, . . ., 1) T
atunci sistemul de funct¸ii
X 1 (t) = e t·A · b 1 , X 2 (t) = e t·A · b 2 , . . . , X n (t) = e t·A · b n
este un sistem fundamental de solut¸ii. Dacǎ t¸inem seama de faptul cǎ solut¸ia
X i (t) este coloana i a matricei pǎtratice e t·A atunci deducem cǎ putem construi
solut¸iile ecuat¸iei (3.2) dacǎ cunoa¸stem elementele matricei e t·A .
Pentru determinarea elementelor matricei e t·A t¸inem seama de urmǎtoarele
rezultate de algebrǎ liniarǎ:
Propozit¸ia 3.1.1 Dacǎ matricea A este similarǎ cu matricea A0 adicǎ
A = S · A0 · S −1
atunci matricea e t·A este similarǎ cu matricea e t·A0 adicǎ
e t·A = S · e t·A0 · S −1 .

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 81
Aceasta întrucât pentru orice k ∈ IN avem A k = S · A k 0 · S−1 .
Propozit¸ia 3.1.2 (teorema lui Jordan)
Pentru orice matrice A existǎ o matrice ”diagonalǎ”
A0 = diag(A01, A02, . . .A0m)
¸si o matrice nesingularǎ S cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:
i) A0j este matrice pǎtratǎ de ordin qj, j = 1, m ¸si
m
qj = n;
ii) A0j este matrice de forma A0j = λj · Ij + Nj, j = 1, m, unde λj este
valoare proprie pentru matricea A, Ij este matricea unitate de ordin
qj, Nj este matricea nilpotentǎ : Nj = b j
kl , k, l = 1, qj cu b j
k,k+1 = 1
¸si b j
kl = 0, pentru l = k + 1, ¸si qj este cel mult egal cu ordinul de
multiplicitate al valorii proprii λj;
iii) A = S · A0 · S −1 .
Propozit¸ia 3.1.3 Matricea e t·A0 are forma:
e t·A0 = diag e t·A01 , e t·A02 , . . .,e t·A0m
¸si matricea e t·A0 are forma:
e t·A0j = e λj·t ·
⎡
⎢
⎣
1 t
1!
j=1
t2 t · · · 2! qj −1
(qj−1)!
0 1 t
1! · · · t q j −2
(qj−2)!
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 · · · 1
Teorema 3.1.6 Elementele matricei e t·A = S · e t·A0 · S −1 sunt funct¸ii de
forma:
uij(t)=
p
k=1
e λkt P ij
qk−1 (t)+
l
k=1
⎤
⎥
⎦
e µkt Q ij
ij
rk−1 (t) cosνkt+R rk−1 (t) sin νkt ,
i, j =1, n
unde λ1, . . .,λp sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordinele de multiplicitate
respectiv q1, . . .,qp, µk + iνk, k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale
lui A cu ordin de multiplicitate rk, iar Pqk−1, Qrk−1 ¸si Rrk−1 sunt polinoame
de grad qk − 1 ¸si rk − 1 respectiv, cu coeficient¸i reali.

82 CAPITOLUL 3
Rezultatul este imediat în baza propozit¸iilor (3.1.1, 3.1.2, 3.1.3).
Teorema 3.1.7 Solut¸iile sistemului (3.2) sunt funct¸ii de forma:
e λkt Pqk−1(t) +
l
e µkt
[Qrk−1(t) cosνkt + Rrk−1(t) sin νkt] , i, j = 1, n
k=1
unde λ1, . . .,λp sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordin de multiplicitate
respectiv q1, . . .,qp; µk + iνk, k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale lui A
cu ordin de multiplicitate rk; Pqk−1, Qrk−1 ¸si Rrk−1 sunt vectori coloanǎ ai
cǎror elemente sunt polinoame de grad qk − 1 respectiv rk − 1.
Exercit¸ii
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele sisteme:
a)
x1 ˙ = −x1+8x2
x2 ˙ = x1+ x2
R:
b)
c)
d)
e)
f)
x1 ˙ = −3x1+ 2x2
x2 ˙ = −2x1+ x2
x1 ˙ =2x1− x2
x2 ˙ = x1+ 2x2
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
x1 ˙ = 3x1+12x2− 4x3
x2 ˙ = −x1− 3x2+ x3
x3 ˙ = −x1− 12x2+6x3
x1 ˙ = x1+x2− 2x3
x2 ˙ =4x1+ x2
x3 ˙ =2x1+x2− x3
x1 ˙ = 2x1− x2− x3
x2 ˙ = 3x1− 2x2− 3x3
x3 ˙ = −x1+ x2+ 2x3
x1(t) = c1 · e 3t + c2 · e −3t
x2(t) = 1
2 ·c1 · e 3t − 1
4 ·c2 · e −3t
x1(t) = c1 · e
R:
−t + c2 · t · e−t x2(t) = c1 · e−t + 2t+1
2 · c2 · e−t
x1(t) = c1 · cost · e
R:
2t + c2 · sin t · e2t x2(t) = c1 · sin t · e2t −c2 · cost · e2t ⎧
⎨
R: x2(t) = −
⎩
3
x1(t) = c1 · e 2t + c2 · e t + c3 · e 3t
8 c1 · e2t −1 2 c2 · et −1 3 c3 · e3t x3(t) = − 7
8 c1 · e2t − c2 · et − c3 · e3t ⎧
⎨ x1(t) = −
R:
⎩
1
⎧
⎨
R:
⎩
2 c1 · e−t + + 1
4 c3 · et x2(t) = c1 · e−t + c2 · et + c3 · t · et x3(t) = + 1
2 c2 · et + 1
2 c3 · t · et x1(t) = c2 + c3 · e t
x2(t) = c1 · e t +3 c2
x3(t) = −c1 · e t − c2 + c3 · e t

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 83
g)
⎧
⎨
⎩
x1 ˙ = −x1 −x2
x2 ˙ = −x2 −x3
x3 ˙ = −x3
⎧
⎨
R:
⎩
x1(t) = c1 · e −t − c2 · t · e −t + 1
2 c3 · t 2 · e −t
x2(t) = + c2 · e −t − c3 · t · e −t
x3(t) = c3 · e −t
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme Cauchy (cu date init¸iale):
a)
x1 ˙ = x2
x2 ˙ = x1
x1(0) = 1
x2(0) = 0
x1(t) =
R:
1
b)
c)
x1 ˙ = 11x1+16x2
x2 ˙ = −2x1− x2
x1 ˙ = x1− x2
x2 ˙ = −4x1− 2x2
x1(1) = 0
x2(1) = 1
x1(1) = 1
x2(1) = 1
3. Se considerǎ sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale
cu a · d − b · c = 0. Arǎtat¸i cǎ:
x1 ˙ = a · x1+ b · x2
x2 ˙ = c · x1+ d · x2
2 e −t + 1
2 et
x2(t) = − 1
2 e−t + 1
2 et
x1(t) =4e
R:
3t−3 + 4e7t−7 x2(t) =2e3t−3 −e7t−7
x1(t) =
R:
3
5 e2t−2 + 2
5 e−3t+3
x2(t) = − 3
5 e2t−2 + 8
5 e−3t+3
i) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c ≥ 0 ¸si a + d < 0 ¸si a · d − b · c > 0, atunci orice
solut¸ie nenulǎ a sistemului tinde la (0, 0).
ii) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c ≥ 0 si a + d > 0 ¸si a · d − b · c > 0, atunci orice
solut¸ie nenulǎ a sistemului tinde în normǎ la +∞.
iii) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d < 0, atunci toate solut¸iile nenule
ale sistemului tind la (0, 0).
iv) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d > 0, atunci toate solut¸iile nenule
ale sistemului tind în normǎ la +∞.
v) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d = 0, atunci toate solut¸iile nenule
ale sistemului sunt periodice.

84 CAPITOLUL 3
3.2 Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul
întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i neomogene
Definit¸ia 3.2.1 Un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare
cu coeficient¸i constant¸i neomogen este un sistem de n relat¸ii de dependent¸ǎ
funct¸ionalǎ de forma:
˙x1 = a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn +f1(t)
˙x2 = a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn +f2(t) (3.4)
.
˙xn = an1 · x1 + an2 · x2 + . . . + ann · xn +fn(t)
dintre un sistem de n funct¸ii necunoscute x1, x2, . . ., xn ¸si derivatele acestora
x1, ˙ x2, ˙ . . ., xn. ˙
În sistemul (3.4) coeficient¸ii aij sunt constante cunoscute, iar funct¸iile reale
fi : IR 1 → IR sunt continue ¸si cunoscute.
Definit¸ia 3.2.2 Un sistem ordonat de n funct¸ii reale x1, x2, . . ., xn de clasǎ
C1 este solut¸ie a sistemului (3.4) dacǎ verificǎ:
dxi
dt =
n
aij · xj + fi(t) (∀)t ∈ IR
j=1
Definit¸ia 3.2.3 Fiind datǎ t0 ∈ IR 1 ¸si (x0 1, x0 2, . . .,x 0 n) ∈ IR n , problema
determinǎrii solut¸iei (x1(t), x2(t), . . .,xn(t)) a sistemului (3.4) care verificǎ
xi(t0) = x0 i i = 1, n, se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ
Cauchy.
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.4) notǎm cu A matricea
pǎtratǎ n × n care are ca elemente constantele aij: A = (aij) i,j=1,n, cu F(t)
matricea coloanǎ F(t) = (f1(t), f2(t), . . .,fn(t)) ¸si cu X(t) matricea coloanǎ
X = (x1, x2, . . ., xn) T . Cu aceste matrice sistemul (3.4) se scrie sub forma
matricealǎ:
˙X = A · X + F(t) (3.5)
iar problema Cauchy se scrie sub forma
˙X = A · X + F(t), X(t0) = X 0
(3.6)

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare neomogene 85
Teorema 3.2.1 (de existent¸ǎ ¸si unicitate ¸si de reprezentare a solut¸iei problemei
cu date init¸iale).
Dacǎ funct¸ia F(t) este continuǎ pe IR 1 , atunci pentru orice t0 ∈ IR 1 ¸si
X 0 ∈ IR n problema cu date init¸iale (3.6) are solut¸ie unicǎ definitǎ pe IR 1
¸si aceastǎ solut¸ie se reprezintǎ sub forma:
X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A
t
0
· X +
t0
e (t−s)·A · F(s)ds (3.7)
Demonstrat¸ie: Pentru a demonstra cǎ problema Cauchy (3.6) are cel mult
o solut¸ie, presupunem prin absurd cǎ X 1 (t) ¸si X 2 (t) sunt douǎ solut¸ii ale
problemei (3.6) ¸si considerǎm funct¸ia X 3 (t) = X 1 (t) − X 2 (t).
Se verificǎ u¸sor cǎ funct¸ia X 3 (t) este solut¸ia problemei Cauchy
˙X 3 = A · X 3 , X 3 (t0) = 0.
Din teorema de unicitate a solut¸iei problemei Cauchy pentru sisteme omogene
rezultǎ cǎ:
X 3 (t) = 0, (∀)t.
Prin urmare
X 1 (t) − X 2 (t) ≡ 0,
ceea ce contrazice ipoteza X 1 (t) = X 2 (t).
Rǎmâne sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia Z(t) definitǎ prin:
Z(t) = e (t−t0)·A
t
0
· X +
t0
e (t−s)·A · F(s)ds
pentru orice t ∈ IR 1 verificǎ (3.6).
Remarcǎm cǎ funct¸ia Z(t) este corect definitǎ; este de clasǎ C 1 pe IR 1 ¸si
derivata ei verificǎ:
˙Z(t) = A · e (t−t0)·A
t
0
· X + F(t) +
t0
A · e (t−s)·A · F(s)ds = A · Z + F(t).
Prin urmare funct¸ia Z(t) este solut¸ie a ecuat¸iei neomogene (3.5). În plus calculând
Z(t0) gǎsim Z(t0) = X0 ¸si astfel teorema a fost complet demonstratǎ.

86 CAPITOLUL 3
Problema 3.2.1 O substant¸ǎ A se descompune în alte douǎ substant¸e B
¸si C. Viteza de formare a fiecǎreia din ele este proport¸ionalǎ cu cantitatea
de substantǎ nedescompusǎ. Sǎ se determine variat¸ia cantitǎt¸ilor x ¸si y, ce
se formeazǎ în funct¸ie de timp.
Se dau cantitatea init¸ialǎ de substant¸ǎ a ¸si cantitǎt¸ile de substant¸e B ¸si C
formate dupǎ trecerea unei ore: a
8
¸si 3a
8 .
Rezolvare: La momentul t cantitatea de substant¸ǎ A este a − x − y.
Deci vitezele de formare ale substant¸elor B ¸si C vor fi:
˙x = k1 · (a − x − y)
˙y = k2 · (a − x − y)
sau
˙x = −k1 · x − k1 · y + k1 · a
˙x = −k2 · x − k2 · y + k2 · a
−k1 −k1
Matricea A în acest caz este A = .
−k2 −k2
Valorile proprii ale matricei A sunt rǎdǎcinile ecuat¸iei
(k1 + λ) · (k2 + λ) − k1 · k2 = 0.
Aceste rǎdǎcini sunt λ1 = −(k1 + k2) ¸si λ2 = 0, iar matricea e t·A este:
e t·A =
1
k1 + k2
De aici în virtutea formulei (3.7) rezultǎ:
Exercit¸ii
x(t)
y(t)
e −(k1+k2)·t − 1
−k1 · e−(k1+k2)·t + k2
k1 · k2 · e−(k1+k2)·t − k1 · k2 k1 + k2 · e−(k1+k2)·t
= e (t−1)·A ·
a/8
3/8
+
t
1
e (t−s)·A
k1 · a
k2 · a
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele sisteme de ecuat¸ii neomogene:
a)
x1 ˙ = x2
x2 ˙ = x1
+e t + e −t
ds

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare neomogene 87
b)
c)
⎧
⎨
R:
⎩
x1 ˙ = 11x1+16x2+ t
x2 ˙ = −2x1− x2+1 − t
⎧
⎨
R:
⎩
x1 ˙ = x1− x2+ 3t2 x2 ˙ = −4x1− 2x2+ 2 + 8t
⎧
⎨
R:
⎩
x1(t) = c1 · e−t + c2 · et + ( 1 1 t − 2
4 )et − ( 1
2
t + 1
4 )e−t
x2(t) = −c1 · e−t + c2 · et + ( 1 1
t + 2 4 )et + ( 1 1
t − 2 4 )e−t
x1(t) = c1 · e3t + c2 · e7t + 23 5 − 49 7t x2(t) = −1 2 c1 · e3t −1 4 c2 · e7t − 18 3 + 49 7t x1(t) = c1 · e 2t + c2 · e −3t − t 2
x2(t) = −c1 · e 2t + 4c2 · e −3t + 2t + 2t 2

88 CAPITOLUL 3
3.3 Reducerea ecuat¸iilor diferent¸iale de ordinul
n liniare cu coeficient¸i constant¸i la
un sistem de n ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul
întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i
Considerǎm ecuat¸ia diferent¸ialǎ de ordinul n liniarǎ omogenǎ cu coeficient¸i
constant¸i:
an · x (n) + an−1 · x (n−1) + . . . + a1 · ˙x + a0 · x = 0 (3.8)
în care coeficientul an este presupus diferit de zero.
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ (3.8) are acelea¸si solut¸ii ca ¸si ecuat¸ia diferent¸ialǎ:
x (n) + bn−1 · x (n−1) + . . . + b1 · ˙x + b0 · x = 0 (3.9)
în care bi = ai
. Ecuat¸ia (3.9) la rândul ei, este ”echivalentǎ” cu sistemul de
an
ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i:
˙Y = A · Y (3.10)
în care matricea coloanǎ Y este Y = (x, u 1 , u 2 , . . ., u n−1 ), iar matricea pǎtratǎ
A este:
⎡
⎢
A = ⎢
⎣
0 1 0 0 0 . . . 0
0 0 1 0 0 . . . 0
0 0 0 1 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 . . . 1
− a0
an
− a1
an
. . . . . . . . . . . . − an−1
Valorile proprii ale acestei matrice sunt rǎdǎcinile ecuat¸iei algebrice
an · λ n + an−1 · λ n−1 + . . . + a1 · λ + a0 = 0. (3.11)
Rezultǎ în acest fel cǎ solut¸iile ecuat¸iei diferent¸iale de ordinul n liniare (3.8)
sunt funct¸ii de forma:
x(t) =
p
e λjt
Pqj−1(t) +
j=1
an
⎤
⎥
⎦
l
e µjt Qrj−1(t) cosνjt + Rrj−1(t) sin νjt
j=1

Reducerea ecuat¸iilor diferent¸iale liniare de ordinul n la un sistem 89
în care λj, j = 1, k sunt rǎdǎcinile reale ale ecuat¸iei (3.11) cu ordin de multiplicitate
respectiv q1, . . .,qp; µj + iνk, k = 1, l sunt rǎdǎcinile complexe ale
ecuat¸iei (3.11) cu ordin de multiplicitate rj, iar Pqj−1, Qrj−1 ¸si Rrj−1 sunt
polinoame de grad qj − 1 respectiv rj − 1.
Dacǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ de ordinul n liniarǎ cu coeficient¸i constant¸i este
neomogenǎ:
an · x (n) + an−1 · x (n−1) + . . . + a1 · ˙x + a0 · x = f(t) (3.12)
¸si an = 0, iar f(t) este o funct¸ie continuǎ pe IR 1 , atunci orice solut¸ie x = x(t)
a acestei ecuat¸ii este de forma:
x(t)=
p
e λjt
Pqj−1(t)+
j=1
l
e µjt Qrj−1(t) cosνjt+Rrj−1(t) sin νjt +¯x(t)
j=1
unde x(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (3.12).
Dacǎ ecuat¸ia (3.12) nu are rǎdǎcini pur imaginare ¸si f este periodicǎ de
perioadǎ T, atunci ecuat¸ia (3.12) are o singurǎ solut¸ie periodicǎ de perioadǎ
T.
Problema 3.3.1 Arǎtat¸i cǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ:
L · d2i di 1
+ R · +
dt2 dt C · i = −E0 · ω sin ωt
care guverneazǎ evolut¸ia intensitǎt¸ii curentului într-un circuit R, L, C (R, L, C
constante pozitive) cuplat la o sursǎ de curent alternativ are o singurǎ solut¸ie
periodicǎ pe perioadǎ 2π
¸si toate celelalte solut¸ii tind la aceastǎ solut¸ie.
ω
Rezolvare: Se considerǎ o solut¸ie particularǎ de forma
i(t) = A · cos ωt + B · sin ωt
care se înlocuie¸ste în ecuat¸ie ¸si se determinǎ constantele A ¸si B. Aceasta este
solut¸ia periodicǎ cǎutatǎ.
Dupǎ aceasta, se scrie formula unei solut¸ii oarecare i(t) ¸si se face diferent¸a
i(t) − i(t) care este o solut¸ie a ecuat¸iei omogene (f(t) = 0). Deoarece R > 0
se obt¸ine cǎ i(t) − i(t) → 0 pentru t → ∞ adicǎ, i(t) → i(t).

90 CAPITOLUL 3
Exercit¸ii
Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii diferent¸iale de ordin superior liniare cu coeficient¸i
constant¸i prin metoda reducerii la un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de
ordinul întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i:
1.
2.
a) ¨x − x = 0 x(0) = 2 ˙x(0) = 0 R: x(t) = e t + e −t
b) ¨x + 2 ˙x + x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 R: x(t) = t · e −t
c) ¨x − 4˙x + 4x = 0 x(1) = 1 ˙x(1) = 0 R: x(t) = 3e 2t−2 − 2te 2t−2
d) ¨x + x = 0 x
π
π
= 1 ˙x = 0 R: x(t) = sin t
2 2
e) ¨x + ˙x + x = 0 x(0) = 0 ˙x(1) = 1 R: x(t) = 2√3 3 e−12
t sin
a)
b)
...
x − 2¨x − ˙x + 2x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2
R: x(t) = 1
2 · et + 2
3 · e2t − 1
· e−t
6
...
x − ¨x + ˙x − x = 0 x(1) = 0 ˙x(1) = 1 ¨x(1) = 2
√
3
2
R: x(t) = e t−1 + (sin 1) · sin t − (cos 1) · cost
c) x (4) − 5¨x + 4x = 0 x(0) = 0 ˙x(0) = 1 ¨x(0) = 2
...
x(0) = 3
R: x(t) = −1 6 · et + 1
6 · e−2t − 1
2 · e−t + 1 · e2t
2

Calculul simbolic al solut¸iilor sistemelor de ecuat¸ii liniare 91
3.4 Calculul simbolic al solut¸iilor sistemelor
de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi
liniare cu coeficient¸i constant¸i
Pentru rezolvarea numericǎ a sistemelor de ecuat¸ii diferent¸iale de ordin
întâi Maple folose¸ste funct¸ia dsolve (solve ordinary differential equations -
ODEs) care a fost prezentǎ în capitolele precedente.
În scrierea sintaxei ecuat¸ia diferent¸ialǎ va fi înlocuitǎ cu lista de ecuat¸ii
diferent¸iale de ordinul întâi care formeazǎ sistemul de ecuat¸ii, respectiv condit¸ia
init¸ialǎ va fi înlocuitǎ cu lista condit¸iilor init¸iale xi(t0) = x 0 i corespunzǎtoare
fiecǎrei funct¸ii necunoscute xi(t), i = 1, n:
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn});
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn}, {x1(t), x2(t), ..., xn(t)}, extra.args);
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn, x1(t0)=x 0 1, x2(t0)=x 0 2, ..., xn(t0)=x 0 n},
{x1(t), x2(t), ..., xn(t)}, extra.args);
Pentru exemplificare, vom rezolva urmǎtoarele siteme de ecuat¸ii diferent¸iale
de ordinul întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i:
1. Sistemul de douǎ ecuat¸ii diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i
omogen:
x1 ˙ = −x1+8x2
x2 ˙ = x1+ x2
(3.13)
Pentru acest sistem vom considera condit¸iile init¸iale x1(0) = 0, x2(0) =
1 ¸si solut¸ia problemei cu date init¸iale va fi reprezentatǎ grafic utilizând
trei instruct¸iuni de plotare:
> sys1_Eq1:=diff(x1(t),t)=-x1(t)+8*x2(t);
sys1 Eq1 := d
x1 (t) = −x1 (t) + 8x2 (t)
dt
> sys1_Eq2:=diff(x2(t),t)=x1(t)+x2(t);
sys1 Eq2 := d x2 (t) = x1 (t) + x2 (t)
dt

92 CAPITOLUL 3
> dsolve(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(0)=1,x2(0)=1,x1(t),x2(t));
{x2 (t) = 5/6 e 3t + 1/6 e −3t ,x1 (t) = 5/3 e 3t − 2/3 e −3t }
> sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):
> sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):
> plot([sol_x1,sol_x2],t=0..1,color=[red,blue],
style=[line,point]);
Figura 13
Solut¸ia problemei cu date init¸iale asociatǎ acestui sistem va fi consideratǎ
> with(DEtools):
> DEplot(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(t),x2(t),t=0..1,
> [[x1(0)=1,x2(0)=1]],x1=0..40,x2=0..20,scene=
[x1(t),x2(t)]);
Figura 14

Calculul simbolic al solut¸iilor sistemelor de ecuat¸ii liniare 93
> with(DEtools):
> DEplot3d(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(t),x2(t),t=0..1,
> [[x1(0)=1,x2(0)=1]],x1=0..40,x2=0..20,scene=
[t,x1(t),x2(t)]);
Figura 15
Se observǎ cǎ, funct¸ia de plotare plot afi¸seazǎ curbele plane x1 = x1(t)
¸si x2 = x2(t) în acela¸si sistem de coordonate. Funct¸ia with(DEtools) :
DEplot, odatǎ cu rezolvarea sistemului afi¸seazǎ perechile de puncte
(x1(t), x2(t)) care corespund domeniului de variat¸ie a variabilei independente
t. Funct¸ia with(DEtools) : DEplot3d permite reprezentarea
în trei dimensiuni a curbei spat¸iale ce reprezintǎ solut¸ia sistemului considerat.
2. Sistemul de trei ecuat¸ii diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i omogen:
⎧
⎨
⎩
x1 ˙ = −x1 −x2
x2 ˙ = −x2 −x3
x3 ˙ = −x3
(3.14)
Pentru acest sistem considerǎm condit¸iile init¸iale x1(0) = 1, x2(0) = 1,
x3(0) = 2, determinǎm solut¸ia problemei cu date init¸iale ¸si apoi o vom
reprezenta grafic:

94 CAPITOLUL 3
> sys2_Eq1:=diff(x1(t),t)=-x1(t)-x2(t);
sys2 Eq1 := d x1 (t) = −x1 (t) − x2 (t)
dt
> sys2_Eq2:=diff(x2(t),t)=-x2(t)-x3(t);
sys2 Eq2 := d
x2 (t) = −x2 (t) − x3 (t)
dt
> sys2_Eq3:=diff(x3(t),t)=-x3(t);
sys2 Eq3 := d x3 (t) = −x3 (t)
dt
> dsolve({sys2_Eq1,sys2_Eq2,sys2_Eq3},{x1(t),x2(t),x3(t)});
{ x1 (t) = 1/2 ( C3 t 2 − 2 C2 t + 2 C1) e −t ,
x2 (t) = − ( C3 t − C2)e −t ,
x3 (t) = C3 e −t }
> dsolve({sys2_Eq1,sys2_Eq2,sys2_Eq3,x1(0)=1,x2(0)=0,
x3(0)=2});
{ x1 (t) = 1/2 (2 t2 + 2) e−t x2 (t) = −2 te−t ,
x3 (t) = 2 e−t }
> plot([1/2*(2*t^2+2)*exp(-t),-2*t*exp(-t),2*exp(-t)],
t=-1.3..8,colour=[green,black,blue],thickness=[3,4,1],
style=[line,point,line]);
Figura 16
3. Sistemul de douǎ ecuat¸ii diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i neomogen:
˙
x1 = x1− x2+ 3t2 x2 ˙ = −4x1− 2x2+ 2 + 8t
(3.15)

Calculul simbolic al solut¸iilor sistemelor de ecuat¸ii liniare 95
Pentru acest sistem considerǎm condit¸iile init¸iale x1(1) = 1,
x2(1) = 0, determinǎm solut¸ia problemei cu date init¸iale reprezentǎm
grafic acaestǎ solut¸ie:
> sys3_Eq1:=diff(x1(t),t)=x1(t)-x2(t)+3*t^2;
sys3 Eq1 := d x1 (t) = x1 (t) − x2 (t) + 3 t2
dt
> sys3_Eq2:=diff(x2(t),t)=-4*x1(t)-2*x2(t)+2+8*t;
sys3 Eq2 := d
x2 (t) = −4x1 (t) − 2x2 (t) + 2 + 8 t
dt
> dsolve({sys3_Eq1,sys3_Eq2});
{ x1 (t) = e −3 t C2 + e 2 t C1 − t 2
x2 (t) = 4 e −3 t C2 − e 2 t C1 + 2 t + 2 t 2 , }
> dsolve({sys3_Eq1,sys3_Eq2,x1(1)=1,x2(1)=0});
{ x1 (t) = 12
5 e−2 e 2 t − 2/5 e 3 e −3 t − t 2 ,
x2 (t) = − 12
5 e−2 e 2 t − 8/5 e 3 e −3 t + 2 t + 2 t 2 }
> x1:=12/5*exp(-2)*exp(2*t)-2/5*exp(3)*exp(-3*t)-t^2:
> x2:=-12/5*exp(-2)*exp(2*t)-8/5*exp(3)*exp(-3*t)+2*t+
2*t^2:
> plot([x1,x2],t=-0.1..2,color=[red,green],style=
[line,point]);
Figura 17

Capitolul 4
Teoreme de existent¸ǎ ¸si
unicitate. Metode numerice.
Proprietǎt¸i calitative ale
solut¸iilor. Integrale prime
4.1 Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate
pentru ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul
întâi neliniare
Fie problema cu date init¸iale
˙x = f(t, x); x(t0) = x0 (4.1)
cu f : Ω ⊂ IR 2 −→ IR 1 ¸si (t0, x0) ∈ Ω.
Vom enunt¸a ¸si demonstra o teoremǎ referitoare la existent¸a unei solut¸ii
(locale) a problemei cu date init¸iale (4.1). Considerǎm în acest scop douǎ
numere a > 0 ¸si b > 0, astfel ca dreptunghiul
sǎ fie inclus în Ω ; ∆ ⊂ Ω.
∆ = {(t, x)| |t − t0| ≤ a ¸si |x − x0| ≤ a}
Teorema 4.1.1 (Cauchy- Lipschitz de existent¸ǎ a unei solut¸ii locale) Dacǎ
funct¸ia f este continuǎ pe dreptunghiul ∆ ¸si este lipschitzianǎ în raport cu
96

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi 97
variabila x pe ∆, atunci problema cu date init¸iale (4.1) are o solut¸ie localǎ
definitǎ pe intervalul Ih = [t0 − h, t0 + h], unde h = min
M = max |f(t, x)| ¸si K este constanta lui Lipschitz pe ∆:
(t,x)∈△
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ K|x − y|, ∀(t, x), (t, y) ∈ △.
a, b
M ,
1
K + 1
Demonstrat¸ie: Considerǎm funct¸ia constantǎ x0(t) ≡ x0 ¸si pornind de la
ea, construim ¸sirul de funct¸ii {xn(t)} n∈IN definit astfel:
x1(t) = x0 +
x2(t) = x0 +
x3(t) = x0 +
.........
xn(t) = x0 +
.........
t
t0 t
t0 t
t0
t
t0
f(τ, x0(τ))dτ;
f(τ, x1(τ))dτ;
f(τ, x2(τ))dτ;
f(τ, xn−1(τ))dτ;
(∀)t ∈ Ih.
Arǎtǎm la început cǎ funct¸iile din acest ¸sir sunt bine definite. Aceasta
revine la a arǎta cǎ pentru orice n ≥ 1 ¸si t ∈ Ih avem (t, xn(t)) ∈ Ω.
Folosim metoda induct¸iei matematice, vom arǎta cǎ pentru orice t ∈ Ih
avem (t, xn(t)) ∈ ∆.
Etapa I (a verificǎrii):
Pentru n = 1 avem:
x1(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x0(τ))dτ;
¸si deci |x1(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀)t ∈ Ih.
Rezultǎ astfel cǎ (t, x1(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.
Pentru n = 2 avem:
x2(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x1(τ))dτ;
,

98 CAPITOLUL 4
¸si deci |x2(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀)t ∈ Ih. Rezultǎ astfel cǎ
(t, x2(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.
Etapa II (a implicat¸iei):
Presupunem cǎ (t,xn(t)) ∈ ∆, (∀) t ∈ Ih ¸si arǎtǎm cǎ (t, xn+1(t)) ∈ ∆,
(∀) t ∈ Ih.
Pentru aceasta calculǎm xn+1(t) ¸si gǎsim
xn+1(t) = x0 +
t
t0
f(τ, xn(τ))dτ
de unde |xn+1(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀) t ∈ Ih. Rezultǎ
(t, xn+1(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.
Astfel am arǎtat cǎ pentru (∀)n ≥ 1 ¸si (∀)t ∈ Ih avem (t, xn(t)) ∈ ∆.
Trecem acum sǎ evaluǎm maximul modulului |xn+1(t) − xn(t)| pe Ih.
Pentru aceasta, t¸inem seamǎ de egalitǎt¸ile:
xn+1(t) = x0 +
xn(t) = x0 +
pe care le scǎdem ¸si obt¸inem:
t
|xn+1(t) − xn(t)| ≤ |K
De aici rezultǎ inegalitatea:
din care deducem:
t0
t
t0
f(τ, xn(τ))dτ
f(τ, xn−1(τ))dτ
t
t0
|xn(τ) − xn−1(τ)|dτ|
max |xn+1(t) − xn(t)| ≤
t∈Ih
K
K + 1 max |xn(τ) − xn−1(τ)|
τ∈Ih
max |xn+1(t) − xn(t)| ≤
t∈Ih
≤
K
K + 1
K
K + 1
n
n
· max
t∈Ih
· M · h ≤
|x1(t) − x0| ≤
K
K + 1
n
· b

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi 99
Scriem acum funct¸ia xn = xn(t) sub forma:
n−1
xn(t) = x0(t) + (xi+1(t) − xi(t))
¸si remarcǎm cǎ, ¸sirul xn(t) este ¸sirul sumelor part¸iale ale seriei de funct¸ii
x0(t) +
i=0
∞
(xn+1(t) − xn(t)).
n=0
n K
Deoarece |xn+1(t) −xn(t)| ≤
·b, (∀) t ∈ Ih, din convergent¸a seriei
K + 1
∞
n K
numerice b ·
, cu teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria de
K + 1
n=0
∞
funct¸ii x0(t) + (xn+1(t) − xn(t)) este absolut ¸si uniform convergentǎ pe
n=0
intervalul Ih, la o funct¸ie x = x(t). Prin urmare ¸sirul sumelor part¸iale, adicǎ
¸sirul xn(t) converge uniform la funct¸ia x(t).
Observǎm în continuare cǎ pentru (∀) t ∈ Ih avem
t
[f(s, xn(s)) − f(s, x(s))]ds
≤ K · h · max |xn(s) − x(s)|
s∈Ih
t0
¸si prin urmare, avem egalitatea:
lim
n→∞
t
t0
f(s, xn(s))ds =
t
Trecem acum la limitǎ în egalitatea
xn+1(t) = x0 +
t0
t
t0
f(s, x(s))ds, (∀)t ∈ Ih.
f(τ, xn(τ))dτ

100 CAPITOLUL 4
¸si obt¸inem egalitatea
x(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x(τ))dτ.
Aceasta aratǎ cǎ funct¸ia x(t) este de clasǎ C 1 ¸si verificǎ ˙x(t) = f(t, x(t));
x(t0) = x0.
Am demonstrat în acest fel cǎ problema cu date init¸iale (4.1) are o solut¸ie
definitǎ pe intervalul Ih. S-ar putea ca problema (4.1) sǎ aibe solut¸ie definitǎ
pe un interval mai mare ca intervalul Ih. Aceasta este motivul pentru care
solut¸ia gǎsitǎ se nume¸ste solut¸ie localǎ.
Teorema 4.1.2 (Cauchy-Lipschitz de unicitate a solut¸iei locale)
Dacǎ sunt îndeplinite condit¸iile din teorema lui Cauchy-Lipschitz de existent¸ǎ
a unei solut¸ii locale a problemei cu date init¸iale (t0, x0), atunci problema (4.1)
nu poate avea douǎ solut¸ii diferite pe un interval J, Ih ⊃ J ∋ t0
Demonstrat¸ie: Presupunem prin absurd cǎ funct¸iile x, y : J ⊂ Ih → IR 1
sunt douǎ solut¸ii locale ale problemei cu date init¸iale. Aceste solut¸ii verificǎ:
x(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x(τ))dτ, y(t) = y0 +
Rezultǎ de aici cǎ, funct¸iile x(t) ¸si y(t) verificǎ inegalitatea:
|x(t) − y(t)| < ε + K
De aici rezultǎ cǎ:
t
t0
|x(t) − y(t)| ≤ ε · e K|t−t0|
t
t0
f(τ, y(τ))dτ.
|x(τ) − y(τ)|dτ
(∀)t ∈ J. (∀)ε > 0.
(∀)t ∈ J, (∀)ε > 0.
Pentru t ∈ J, t fixat, trecem la limitǎ pentru ε → 0 ¸si obt¸inem cǎ
x(t) = y(t), (∀)t ∈ J.
Problema 4.1.1
Se ¸stie cǎ materia radioactivǎ se dezintegreazǎ ¸si viteza de dezintegrare este

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi 101
proport¸ionalǎ, la orice moment, cu cantitatea de materie radioactivǎ rǎmasǎ.
Dacǎ x(t) reprezintǎ cantitatea de materie radioactivǎ rǎmasǎ atunci
˙x = −a · x,
unde a este o constantǎ pozitivǎ.
În cazul dezintegrǎrii carbonului radioactiv C14 , a = 1
¸si deci în acest
8000
caz, ecuat¸ia devine ˙x = − 1
· x.
8000
Arǎtat¸i cǎ, dacǎ la un moment t0 se cunoa¸ste cantitatea de carbon radioactiv
C 14 dintr-o mostrǎ de animal sau plantǎ gǎsitǎ într-un strat geologic,
atunci se poate reconstitui vârsta acelei mostre.
Rezolvare
Fie x0 cantitatea de carbon radioactiv C 14 dintr-o mostrǎ la momentul t0.
Problema cu date init¸iale:
˙x = − 1
· x
8000
x(t0) = x0
are solut¸ie unicǎ ¸si aceasta este datǎ de
1
−
x(t; t0, x0) = x0e 8000 (t−t0)
.
Dacǎ x1 este valoarea normalǎ a cantitǎt¸ii de carbon radioactiv C 14 în starea
vie a animalului sau plantei atunci, egalând
1
−
x1 = x0e 8000 (t−t0)
gǎsim o ecuat¸ie în t, care ne dǎ timpul t în care animalul sau planta erau vii,
iar diferent¸a t − t0 aratǎ vârsta mostrei.
Problema 4.1.2
Un rezervor cilindric are o gaurǎ circularǎ la bazǎ prin care lichidul din
rezervor se poate scurge. O întrebare asemǎnǎtoare cu cea din Problema
4.1.1 este urmatoarea: dacǎ la un moment dat vedem cǎ rezervorul este gol
putem oare sǎ ¸stim dacǎ acesta a fost odatǎ plin ¸si când?
Rǎspunsul este evident nu. Cum se explicǎ?

102 CAPITOLUL 4
Rezolvare:
Fie x(t) înǎlt¸imea lichidului din rezervor la momentul t. Notǎm cu A aria
bazei cilindrului ¸si cu a aria gǎurii. Dupǎ legea lui Toricelli avem:
˙x = − a √
2g · x
A
Dacǎ I este înǎlt¸imea rezervorului, atunci x = I corespunde la situat¸ia când
rezervorul este plin ¸si x = 0 la situat¸ia când rezervorul este gol. Dacǎ la
momentul t = 0 rezervorul este plin, atunci x(0) = I ¸si avem:
2 √ u| x I = − a
A
2g · t
de unde:
√ a 2 x(t) = I − 2g · t .
2A
Timpul de golire este t∗ = 2A
a
I
¸si deci:
2g
⎧
⎪⎨
a
2g · t∗ −
x(t) =
2A
⎪⎩
a
2A · 2 2g · t
0
pentru
pentru
0 ≤ t ≤ t∗
t ≥ t∗
reprezintǎ legea de golire a rezervorului dacǎ acesta a fost plin la
momentul t = 0.
Existǎ o infinitate de solut¸ii x(t) ale ecuat¸iei
˙x = − a √
2g · x
A
care pentru t = t∗ sunt egale cu zero. Acestea sunt date de formula:
⎧
⎪⎨
2g · a
xτ(t) =
⎪⎩
2
4A2 (t∗ − t − τ) 2
pentru − τ ≤ t ≤ t∗ − τ
0 pentru t ≥ t∗ − τ
Solut¸ia xτ(t) reprezintǎ legea de golire a rezervorului care la momentul −τ a
fost plin. Pe lângǎ aceste solut¸ii problema Cauchy
⎧
⎪⎨
˙x = −
⎪⎩
a√2g A · √ x
x(t∗) = 0

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi 103
mai are ca solut¸ie funct¸ia identic nulǎ x(t) = 0. Aceastǎ solut¸ie
corespunde situat¸iei în care rezervorul nu a fost umplut niciodatǎ. Rezultǎ
astfel cǎ solut¸iile problemei Cauchy descriu toate situat¸iile posibile ¸si multitudinea
acestora se manifestǎ prin neunicitatea solut¸iei problemei Cauchy.
Concluzii
1. Dacǎ variabila de stare x(t) a unui proces fizic sau chimic este solut¸ia
unei probleme cu date init¸iale ˙x = f(t, x), x(t0) = x0, atunci aceastǎ
variabilǎ de stare trebuie cǎutatǎ printre solut¸iile acestei probleme
Cauchy.
2. Dacǎ problema cu date init¸iale în cauzǎ are o singurǎ solut¸ie, atunci
gǎsind-o este clar cǎ aceasta este cea care descrie evolut¸ia în timp a
variabilei de stare.
3. Dacǎ problema cu date init¸iale în cauzǎ are mai multe solut¸ii, atunci
gǎsind una din aceste solut¸ii nu avem nici un drept sǎ sust¸inem cǎ
aceasta este aceea care descrie evolut¸ia în timp a variabilei de stare.
Mai precis, avem nevoie de informat¸ii suplimentare care sǎ permitǎ
identificarea acelei solut¸ii care descrie evolut¸ia variabilei de stare.
4.
În caz de neunicitate gǎsirea unei solut¸ii a problemei cu date init¸iale
nu înseamna rezolvarea problemei de fizicǎ.

104 CAPITOLUL 4
4.2 Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru
sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul
întâi neliniare
Definit¸ia 4.2.1 Un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale neliniare de ordinul întâi
explicit este un sistem de n relat¸ii de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ de forma:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
˙x1 = f1(t, x1, x2, ..., xn)
˙x2 = f2(t, x1, x2, ..., xn)
...................................
˙xn = fn(t, x1, x2, ..., xn)
(4.2)
dintre un sistem de n funct¸ii necunoscute x1, x2, ..., xn ¸si derivatele acestora
˙x1, ˙x2, ..., ˙xn.
În sistemul (4.2) funct¸iile f1, f2, ..., fn sunt funct¸ii reale considerate cunoscute
definite pe I × D; I ⊂ IR 1 , I interval deschis ¸si D ⊂ IR n , D domeniu.
Definit¸ia 4.2.2 Un sistem ordonat de n funct¸ii reale x1, x2, ..., xndefinite
pe un interval J ⊂ I, de clasǎ C 1 este o solut¸ie a sistemului (4.2) dacǎ
(t, x1(t), ..., xn(t)) ∈ I × Ω, (∀)t ∈ J ¸si:
pentru orice t ∈ J.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dx1
dt = f1(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
dx2
dt = f2(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
..................................................
dxn
dt = fn(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
Definit¸ia 4.2.3 Fiind date: t0 ∈ I ¸si (x0 1 , ..., x0n ) ∈ D problema determinǎrii
solut¸iei x1(t), ..., xn(t) a sistemului (4.2) care verificǎ xi(t0) = x0 i pentru
i = 1, n, se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ Cauchy.
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (4.2) notǎm F : I ×D → IR n
funct¸ia matricealǎ definitǎ prin
F(t, x1, x2, ..., xn) = (f1(t, x1, ..., xn), f2(t, x1, ..., xn), ..., fn(t, x1, ..., xn)) T

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi105
¸si cu X matricea coloanǎ (x1, x2, ..., xn) T . Cu aceste notat¸ii sistemul (4.2) se
scrie sub forma matricealǎ:
˙X = F(t, X). (4.3)
În aceastǎ problemǎ derivarea funct¸iei matriceale X(t) înseamnǎ derivarea
elementelor matricei.
Observat¸ia 4.2.1 Problema cu date init¸iale (problema Cauchy) se scrie matriceal
sub forma:
⎧
⎨ ˙X = F(t, X)
⎩
X(t0) = X0 (4.4)
¸si constǎ în determinarea funct¸iei matriceale X(t) care verificǎ (4.3) ¸si condit¸ia
init¸ialǎ X(t0) = X 0 .
Observat¸ia 4.2.2 O funct¸ie X : J ⊂ I → IR n de clasǎ C 1 este solut¸ie a
problemei (4.4) dacǎ ˙ X = F(t, X(t)), (∀)t ∈ J ¸si X(t0) = X 0 (se presupune
cǎ t0 ∈ J).
Considerǎm a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul ∆:
sǎ fie inclus în domeniul I × D.
∆ = (t, x) : |t − t0| ≤ a ¸si x − x 0 ≤ b
Teorema 4.2.1 (Cauchy-Lipschitz de existent¸ǎ a unei solut¸ii locale) Dacǎ
funct¸ia F este continuǎ pe ∆ ¸si este lipschitzianǎ în raport cu X pe ∆, atunci
problema cu date init¸iale (4.4) are o solut¸ie localǎ definitǎ pe intervalul
Ih = [t0 − h, t0 + h] unde h = min
K este constanta lui Lipschitz:
a, b
M ,
1
K + 1
; M = max F(t, X) ¸si
(t,x)∈∆
F(t, X ′ ) − F(t, X ′′ ) ≤ K X ′ − X ′′ , (∀) (t, X ′ ), (t, X ′′ ) ∈ ∆.

106 CAPITOLUL 4
Demonstrat¸ie: Construim urmǎtorul ¸sir de funct¸ii:
X 0 (t) = X 0
X 1 (t) = X 0 t
+
t0
X 2 (t) = X 0 t
+
t0
................
X k+1 (t) = X 0 t
+
t0
................
F(τ, X 0 (τ))dτ
F(τ, X 1 (τ))dτ
F(τ, X k (τ))dτ
Funct¸iile din acest ¸sir sunt corect definite, întrucât pentru orice t ∈ Ih
¸si k ∈ IN are loc apartenent¸a (t, X k (t)) ∈ ∆ (demonstrat¸ia se face prin
induct¸ie). Urmând rat¸ionamentul din paragraful precedent evaluǎm diferent¸a
max
t∈Ih
X k+1 (t) − X k (t) ¸si gǎsim:
max X
t∈Ih
k+1 (t) − X k (t) ≤ K
de unde deducem inegalitatea
K + 1 max
t∈Ih
X k (t) − X k−1 (t),
max X
t∈Ih
k+1 (t) − X k k K
(t) ≤
· b.
K + 1
Scriem acum funct¸ia X k (t) sub forma:
X k k−1
i+1 i
(t) = X0(t) + X (t) − X (t)
i=0
¸si remarcǎm cǎ, ¸sirul Xk (t)
este ¸sirul sumelor part¸iale ale seriei de
k∈IN
funct¸ii
X 0 ∞
i+1 i
(t) + X (t) − X (t) .
Deoarece
i=0
X k+1 (t) − X k (t) ≤
k K
· b
K + 1

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi107
pentru orice t ∈ Ih, din convergent¸a seriei numerice b·
teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria de funct¸ii
X 0 ∞
k+1 k
(t) + X (t) − X (t)
k=0
∞
k=0
k K
, folosind
K + 1
este absolut ¸si uniform convergentǎ pe intervalul Ih, la o funct¸ie X(t). Astfel,
¸sirul sumelor part¸iale adicǎ ¸sirul Xk (t), converge uniform la funct¸ia X(t).
Inegalitatea:
t
t0
[F(τ, X k
(τ)) − F(τ, X(τ))]dτ
≤ K · h · max k
X (τ) − X(τ)
τ∈Ih
valabilǎ pentru orice t ∈ Ih ¸si k ∈ IN permite sǎ obt¸inem egalitatea:
lim
k→∞
t
t0
F(τ, X k (τ))dτ =
Trecem acum la limitǎ în egalitatea:
¸si obt¸inem:
X k+1 (t) = X 0 t
+
X(t) = X 0 +
t
t0
t0
t
t0
F(τ, X(τ))dτ.
F(τ, X k (τ))dτ
F(τ, X(τ))dτ.
Aceasta aratǎ cǎ funct¸ia X(t) este de clasǎ C1 ¸si verificǎ
⎧
⎨ ˙X(t) = F(t, X(t))
⎩
X(t0) = X 0
În concluzie, problema cu date init¸iale (4.4) are o solut¸ie definitǎ pe intervalul
Ih. Este posibil ca problema(4.4) sǎ aibe solut¸ie definitǎ pe un interval J
mai mare ca intervalul Ih. Acesta este motivul pentru care solut¸ia gǎsitǎ se
nume¸ste solut¸ie localǎ.
Teorema 4.2.2 (Cauchy-Lipschitz de unicitate a solut¸iei locale)
Dacǎ sunt indeplinite condit¸iile din teorema Cauchy-Lipschitz de existent¸ǎ a
unei solut¸ii locale pentru problema cu date init¸iale (t0, X 0 ), atunci problema
(4.4) nu poate avea douǎ solut¸ii diferite pe un interval J ⊂ Ih, t0 ∈ J.

108 CAPITOLUL 4
Demonstrat¸ie: Presupunem prin absurd cǎ funct¸iile
X ′ , X ′′ : J ⊂ Ih → IR n (t0 ∈ J)
sunt douǎ solut¸ii locale ale problemei cu date init¸iale (4.4). Aceste solut¸ii
verificǎ:
X ′ (t) = X 0 t
+ F(τ, X ′ (τ))dτ, X ′′ (t) = X 0 t
+
t0
De aici rezultǎ cǎ X ′ (t), X ′′ (t) satisfac inegalitatea:
X ′ (t) − X ′′ (t) < ε + K
de unde se obt¸ine:
t
X ′ (τ) − X ′′ (τ)dτ
X ′ (t) − X ′′ (t) < εe K|t−t0|
t0
t0
F(τ, X ′′ (τ))dτ.
(∀) t ∈ J, (∀) ε > 0,
(∀)t ∈ J, (∀)ε > 0.
Trecând la limitǎ pentru ε → 0 se obt¸ine egalitatea X ′ (t) = X ′′ (t),
(∀)t ∈ J, t − fixat.

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 109
4.3 Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor
Considerǎm I ⊂ IR 1 un interval deschis, D ⊂ IR n un domeniu,
F : I × D → IR n o funct¸ie vectorialǎ ¸si sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale de
ordinul întâi scris sub forma matricealǎ:
˙X = F(t, X). (4.5)
Fie X 1 : J1 ⊂ I → D ¸si X 2 : J2 ⊂ I → D douǎ solut¸ii locale ale sistemului
(4.5).
Definit¸ia 4.3.1 Zicem cǎ solut¸ia localǎ X 2 este o prelungire a solut¸iei locale
X 1 ¸si notǎm X 1 ≤ X 2 , dacǎ J1 ⊂ J2 ¸si X 1 (t) = X 2 (t) pentru orice t ∈ J1.
Relat¸ia binarǎ X 1 ≤ X 2 introdusǎ în mult¸imea solut¸iilor locale ale sistemului
(4.5) este o relat¸ie de ordine part¸ialǎ.
Definit¸ia 4.3.2 Orice solut¸ie localǎ a sistemului (4.5) care este element
maximal (i.e. nu mai poate fi prelungitǎ) se nume¸ste solut¸ie saturatǎ.
O solut¸ie saturatǎ este o solut¸ie care nu este prelungibilǎ.
Teorema 4.3.1 Dacǎ funct¸ia F : I ×D → IR n este de clasǎ C 1 pe domeniul
Ω = I × D ¸si (t0, X 0 ) ∈ I × D, atunci problema cu date init¸iale:
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X)
X(t0) = X 0
are solut¸ie saturatǎ X(t; t0, X 0 ) unicǎ.
(4.6)
Demonstrat¸ie: Vom face demonstrat¸ia pentru cazul n = 1, cazul n ≥ 2
fǎcându-se analog.
Considerǎm familia de funct¸ii {xα}α∈Λ, xα : Iα → IR 1 , t0 ∈ Iα, formatǎ
cu toate solut¸iile locale ale problemei:
⎧
⎨ ˙x = f(t, x)
(4.7)
⎩
x(t0) = x0
Teorema Cauchy-Lipschitz de existent¸ǎ ¸si unicitate a solut¸iei locale pentru
problema cu date init¸iale în cazul unei ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi,
asigurǎ faptul cǎ aceastǎ familie de funct¸ii are cel put¸in un element.

110 CAPITOLUL 4
Considerǎm intervalul deschis I =
definitǎ pe I în modul urmǎtor:
α∈Λ
Iα, precum ¸si funct¸ia x = x(t)
”pentru t ∈ I considerǎm α ∈ Λ, astfel ca t ∈ Iα ¸si definim x(t) = xα(t)”.
Aceastǎ definit¸ie este corectǎ dacǎ, pentru orice t ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, avem
xα ′(t) = xα ′′(t). Analizǎm aceastǎ implicat¸ie pentru t > t0 (cazul t < t0
se trateazǎ la fel).
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si presupunem cǎ existǎ
t1 > t0, t1 ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, astfel ca xα ′(t1) = xα ′′(t1). Considerǎm în continuare
¸si remarcǎm cǎ
t∗ = inf{t1 : t1 > t0, t1 ∈ Iα ′ ∩ Iα ′′, xα ′(t1) = xα ′′(t1)}
xα ′(t∗) = xα ′′(t∗) = x∗.
Punctul (t∗, x∗) este în domeniul Ω, (t∗, x∗) ∈ Ω, ¸si putem considera
constantele pozitive a∗, b∗, K∗ astfel ca:
- dreptunghiul ∆∗ = {(t, x): |t − t∗| ≤ a∗, |x − x∗| ≤ b∗} sǎ fie inclus în
Ω (∆∗ ⊂ Ω);
- intervalul [t∗, t∗ + a∗] sǎ fie inclus în intersect¸ia Iα ′ ∩ Iα ′′;
- pentru orice t ∈ [t∗, t∗ + a∗] sǎ avem:
|xα ′(t) − x∗| ≤ b∗ ¸si |xα ′′(t) − x∗| ≤ b∗;
- pentru orice (t, x), (t, y) ∈ ∆∗ sǎ avem:
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ K∗|x − y|.
Fie acum t1 ∈ [t∗, t∗ + a∗], astfel ca xα ′(t1) = xα ′′(t1). Din definit¸ia lui t∗
rezultǎ cǎ, existǎ asemenea puncte t1, oricât de aproape de t∗
Pentru t1 fixat, fie ε > 0 astfel ca ε < |xα ′(t1) − xα ′′(t1)|e −K∗·a∗ .
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t∗, t∗ + a∗] avem:
xα ′(t) = x∗ +
t
t∗
f(s, xα ′(s))ds,

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 111
din care rezultǎ inegalitǎt¸ile:
≤ K∗
xα ′′(t) = x∗ +
|xα ′(t) − xα ′′(t)| ≤
t
t∗
Astfel, obt¸inem cǎ:
t
t∗
t
|xα ′(s) − xα ′′(s)|ds < ε + K∗
t∗
f(s, xα ′′(s))ds,
|f(s, xα ′(s)) − f(s, xα ′′(s))|ds ≤
t
t∗
|xα ′(s) − xα ′′(s))| ds.
|xα ′(t) − xα ′′(t)| < εeK∗a∗ , (∀) t ∈ [t∗, t∗ + a∗].
iar din modul de alegere a lui ε rezultǎ inegalitatea:
|xα ′(t) − xα ′′(t)| < |xα ′(t1) − xα ′′(t1)|, (∀) t ∈ [t∗, t∗ + a∗]
care este o contradict¸ie.
Astfel, rezultǎ în final cǎ funct¸ia x = x(t) este corect definitǎ pe intervalul
I.
Urmeazǎ sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia x = x(t) este solut¸ie a problemei cu date
init¸iale (4.7).
Deoarece pentru orice α ∈ Λ avem xα(t0) = x0, rezultǎ:
x(t0) = x0.
Fie acum t1 ∈ I ¸si α1 ∈ Λ, astfel ca t1 ∈ Iα1. Pentru orice t ∈ Iα1, avem
x(t) = xα1(t) ¸si prin urmare
˙x(t) = ˙xα1(t) = f(t, xα1(t)) = f(t, x(t)), (∀)t ∈ Iα1.
În particular, pentru t = t1 avem
˙x(t1) = f(t, x(t1)).
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia x = x(t) este solut¸ie a problemei cu date
init¸iale (4.7).

112 CAPITOLUL 4
Urmeazǎ sǎ mai arǎtǎm cǎ funct¸ia x = x(t) definitǎ pe intervalul I este
o solut¸ie saturatǎ. Fie în acest scop y : J → IR 1 (J interval deschis, t0 ∈ J)
o solut¸ie localǎ a problemei cu date init¸iale (4.7).
Evident, funct¸ia y apart¸ine familiei {xα}α∈Λ ¸si prin urmare:
J ⊂ I =
Iα ¸si x(t) = y(t).
α∈Λ
Astfel am demonstrat existent¸a ¸si unicitatea solut¸iei saturate a problemei
cu date init¸iale (4.7). Aceastǎ solut¸ie saturatǎ va fi notatǎ cu x = x(t; t0, x0)
iar intervalul deschis pe care este definitǎ aceastǎ solut¸ie saturatǎ va fi notat
cu I0.
În condit¸iile din teorema precedentǎ considerǎm solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 )
a problemei Cauchy (4.6) definitǎ pe intervalul deschis I0 = (α0, β0) ⊂ I.
Teorema 4.3.2 Pentru orice t1 ∈I0 solut¸ia saturatǎ X(t;t1,X(t1;t0,X 0 )) a
problemei cu date init¸iale
˙X = F(t, X), X(t1) = X(t1; t0, X 0 ) = X 1
coincide cu solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 ).
(4.8)
Demonstrat¸ie: Vom face demonstrat¸ia pentru cazul n = 1, analog fǎcânduse
în cazul n ≥ 2.
Notǎm cu I1 = (α1, β1) intervalul de definit¸ie a solut¸iei saturate a problemei
cu date init¸iale:
˙x = f(t, x), x(t1) = x(t1; t0, x0) = x1. (4.9)
Deoarece x(t1; t0, x0) = x1, funct¸ia x = x(t; t0, x0) este solut¸ie localǎ a
problemei cu date init¸iale (4.9).
Rezultǎ cǎ I0 ⊂ I1 ¸si x(t; t0, x0) = x(t; t1, x1), (∀) t ∈ I0.
Pe de altǎ parte, din faptul cǎ x(t; t0, x0) este solut¸ie saturatǎ, rezultǎ cǎ
I0 ⊃ I1 ¸si x(t; t0, x0) = x(t; t1, x1).
Teorema 4.3.3 Dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condit¸ii:
(i) β0 < +∞ (respectiv α0 > −∞);
(ii) ¸sirul de numere {tn}n din I0 converge la β0 (respectiv α0);

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 113
(iii) ¸sirul de vectori {X(tn; t0, X 0 )}n este convergent la un vector Λ,
atunci punctul (β0, Λ) (respectiv (α0, Λ)) apart¸ine frontierei domeniului Ω =
I × D; (β0, Λ) ∈ ∂Ω (respectiv (α0, Λ) ∈ ∂Ω )
Demonstrat¸ie: Facem demonstrat¸ia pentru n = 1 urmând ca pentru n ≥ 2
sǎ se facǎ în mod analog.
Pentru orice t ∈ I0 punctul (t, x(t; t0, x0)) apart¸ine domeniului Ω ¸si, prin
urmare, punctul (β0, λ) apart¸ine aderent¸ei domeniului Ω, (β0, λ) ∈ Ω. Putem
arǎta cǎ (β0, λ) apart¸ine frontierei ∂Ω, arǎtând cǎ (β0, λ) nu apart¸ine domeniului
Ω.
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si presupunem cǎ (β0, λ) ∈ Ω.
Considerǎm a > 0, b > 0, K > 0, M > 0 astfel ca dreptunghiul
∆ = {(t, x) : |t − β0| ≤ a, |x − λ| ≤ b}
sǎ fie inclus în domeniul Ω (∆ ⊂ Ω), funct¸ia f sǎ verifice |f(t, x)| ≤ M pentru
orice (t, x) ∈ ∆, ¸si |f(t, x) −f(t, y)| ≤ K|x −y| pentru orice (t, x), (t, y) ∈ ∆.
b − 2ε
Fie acum ε > 0 astfel ca ε < min a − 2ε,
M ,
1
¸si t1 < β0
K + 1
astfel ca |t1 − β0| < ε ¸si |x(t1; t0, x0) − λ| < ε.
Solut¸ia saturatǎ x = x(t; t1, x(t1; t0, x0)) a problemei cu date init¸iale
este definitǎ cel put¸in pe intervalul
¸si verificǎ
˙x = f(t, x), x(t1) = x(t1; t0, x0)
Iδ = [t1 − δ, t1 + δ] cu δ = min
b − 2ε
a − 2ε,
M ,
1
K + 1
x(t; t1, x(t1; t0, x0)) = x(t; t0, x0), (∀) t ∈ Iδ ∩ I0.
Întrucât t1 + δ > t1 + ε > β0, rezultǎ cǎ solut¸ia saturatǎ x(t; t0, x0) este
prelungibilǎ, ceea ce este absurd.
Teorema 4.3.4 Dacǎ I = IR 1 , D = IR n ¸si β0 < +∞ (respectiv α0 > −∞),
atunci solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 ) este nemǎrginitǎ pe [t0, β0) (respectiv
(α0, t0]).

114 CAPITOLUL 4
Demonstrat¸ie: Pentru cazul n = 1, rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si
presupunem cǎ solut¸ia saturatǎ x = x(t; t0, x0) este mǎrginitǎ pe [t0, β0).
Considerǎm m > 0, astfel ca |x(t; t0, x0)| ≤ m, (∀) t ∈ [t0, β0) ¸si tn ∈ [t0, β0)
astfel încât lim tn = β0. S¸irul {x(tn; t0, x0)}n este mǎrgint ¸si are un sub¸sir
n→∞
convergent la un numǎr λ. Deoarece Ω = IR n punctul (β0, λ) apart¸ine lui Ω,
ceea ce este în contradict¸ie cu teorema precedentǎ.
Pentru cazul n ≥ 2 se rat¸ioneazǎ în mod analog.
Teorema 4.3.5 Dacǎ I = IR 1 , D = IR n ¸si F este lipschitzianǎ pe orice
bandǎ de forma ∆ = J ×IR n , unde J ⊂ IR 1 este un interval compact oarecare,
atunci orice solut¸ie saturatǎ este definitǎ pe IR 1 .
Demonstrat¸ie: Pentru cazul n = 1, rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si
presupunem cǎ intervalul de definit¸ie I0 = (α0, β0) al solut¸iei saturate x =
x(t; t0, x0) este mǎrginit la dreapta: β0 < +∞.
Pentru t ∈ [t0, β0) scriem inegalitatea:
|x(t; t0, x0) − x0| ≤
t
t0
≤Kβ0
|f(s, x(s : t0, x0))−f(s, x0)|ds +
t
t0
t0
t
|f(s, x0)|ds ≤
|x(s; t0, x0)−x0|ds + (β0 − t0) sup |f(s, x0)|.
s∈[t0,β0]
Rezultǎ de aici cǎ pentru orice t ∈ [t0, β0] avem:
|x(t; t0, x0) − x0| ≤ (β0 − t0) · sup
s∈[t0,β0]
|f(s, x0)| · e Kβ (β0−t0)
0 .
Aceastǎ inegalitate aratǎ cǎ funct¸ia x(t; t0, x0) este mǎrginitǎ pe intervalul
[t0, β0), ceea ce este în contradict¸ie cu concluzia din teorema anterioarǎ.
Analog se face rat¸ionamentul pentru cazul n ≥ 2.
Consecint¸a 4.3.1 Dacǎ I = (a, b), D = IR n ¸si β0 < b (respectiv
α0 > a), atunci solut¸ia saturatǎ este nemǎrginitǎ pe intervalul [t0, β) (respectiv
(α0, t0]).
Consecint¸a 4.3.2 Dacǎ I = (a, b), D = IR n ¸si F este lipschitzianǎ în raport
cu X pe orice bandǎ de forma J × I, unde J ⊂ IR 1 este un interval compact
inclus în I, atunci orice solut¸ie saturatǎ este definitǎ pe I.

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 115
Teorema 4.3.6 Dacǎ funct¸ia de clasǎ C 1 , F : IR 1 × IR n → IR n nu depinde
de t, atunci pentru orice X 0 ∈ IR n ¸si t1, t2 ∈ IR 1 , avem:
X(t1 + t2; 0, X 0 ) = X(t2; 0, X(t1; 0, X 0 )) = X(t1; 0, X(t2; 0, X 0 ))
Demonstrat¸ie: Demonstrǎm teorema pentru n = 1.
Se observǎ cǎ pentru t2 = 0 au loc:
x(t1 + t2; 0, x0) = x(t2; 0, x(t1; 0, x0)) = x(t1; 0, x(t2; 0, x0)).
În continuare se remarcǎ faptul cǎ avem egalitatea:
d
dt x(t + t1; 0, x0) = f(x(t + t1; 0, x0))
¸si deducem cǎ x(t+t1; 0, x0) este solut¸ia saturatǎ a problemei cu date init¸iale
Rezultǎ în acest fel egalitatea:
˙x = f(x), x(0) = x(t1; 0, x0).
x(t + t1; 0, x0) = x(t; 0, x(t1 : 0, x0),
pentru orice t. În particular, pentru t = t2, se obt¸ine prima egalitate din
enunt¸.
Pentru cazul n ≥ 2 teorema se demonstreazǎ analog.
Fie I un interval real deschis (I ∈ IR 1 ), Ω un domeniu deschis în IR n
(Ω ∈ IR n ) ¸si F : I ×Ω → IR n , F = F(t, X) o funct¸ie de clasǎ C 1 . Considerǎm
în continuare condit¸ia init¸ialǎ (t0, X 0 ) ∈ I × Ω ¸si solut¸ia maximalǎ
X = X(t; t0, X 0 ) a problemei Cauchy
˙X = F(t, X), X(t0) = X 0 .
Notǎm cu I0 intervalul de definit¸ie al solut¸iei maximale X = X(t; t0, X 0 ).
Teorema 4.3.7 (de dependent¸ǎ continuǎ de ”pozit¸ia” init¸ialǎ X 0 )
Pentru orice interval compact I∗ = [T1, T2], inclus în intervalul I0(I∗ ⊂ I0),
care cont¸ine punctul t0 în interior (t0 ∈ ◦
I∗) ¸si pentru orice ε > 0, existǎ

116 CAPITOLUL 4
δ = δ(ε, I∗), astfel ca, pentru orice X 1 cu X 1 − X 0 < δ, solut¸ia saturatǎ
X 1 = X 1 (t; t0, X 1 ) a problemei Cauchy
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X)
X(t0) = X 1
este definitǎ cel put¸in pe intervalul I∗ ¸si verificǎ inegalitatea:
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε, (∀) t ∈ I∗.
Demonstrat¸ie: Pentru t ∈ I∗, fie at > 0 ¸si bt > 0, astfel ca cilindrul
∆t = {(τ, X) : |τ − t| ≤ at ¸si X − X(t; t0, X0 ) ≤ bt} sǎ fie inclus în
mult¸imea I × Ω ( ∆t ⊂ I × Ω).
Mult¸imea Γ definitǎ prin Γ = {(t, X(t; t0, X0 )) : t ∈ I∗} este compactǎ ¸si
este inclusǎ în mult¸imea ◦
∆t; Γ ⊂ ◦
∆t . Existǎ, prin urmare, un numǎr
t∈I∗
t∈I∗
finit de puncte t1, t2, . . ., tq în I∗, astfel ca Γ ⊂ q
j=1
◦
∆tj .
Considerǎm funct¸ia d(Y, Z) = Y − Z definitǎ pentru Y ∈ Γ ¸si Z de pe
q
q
frontiera mult¸imii ; Z ∈ ∂( ∆tj ).
∆tj
j=1
j=1
Existǎ r > 0, astfel ca d(Y, Z) > r, pentru orice Y ∈ Γ ¸si Z ∈ ∂( q
Tubul de securitate ∆, definit prin:
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗ ¸si X − X(t; t0, X 0 ) ≤ r}
verificǎ urmǎtoarele incluziuni:
∆ ⊂
q
j=1
◦
∆tj
⊂ I × Ω
¸si existǎ K > 0, astfel ca, pentru orice (t, X 1 ), (t, X 2 ) ∈ ∆ sǎ avem:
F(t, X 1 ) − F(t, X 2 ) ≤ K · X 1 − X 2
∆tj
j=1
).
(o funct¸ie local Lipschitzianǎ este global Lipschitzianǎ pe compacte).
Notǎm cu h = max{T2 − t0, t0 − T1} ¸si considerǎm ε, 0 < ε < r. Fie
δ = δ(ε, I∗) = ε · 2 −1 · e −Kh ¸si X 1 , astfel ca X 1 − X 0 < δ. Notǎm cu

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 117
I1 intervalul de definit¸ie a solut¸iei saturate X = X(t; t0, X 1 ) a problemei
Cauchy: ⎧ ⎨
Vom arǎta acum cǎ:
⎩
˙X = F(t, X)
X(t0) = X 1 .
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε
2
pentru orice t ∈ I∗ ∩ I1.
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si admitem cǎ existǎ t1 ∈ I∗ ∩ I1 astfel
ca X(t1; t0, X1 ) − X(t1; t0, X0 ) ≥ ε
. De aici rezultǎ cǎ, cel put¸in pentru
2
unul din numerele α1, α2, definite prin
α1=inf t∈I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε
, (∀) τ ∈ [t, t0] ,
2
α2=sup t∈I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε
2 , (∀) τ ∈ [t0,
t] ,
are loc egalitatea
X(αi; t0, X 1 ) − X(αi; t0, X 0 ) = ε
, i = 1, 2.
2
Sǎ presupunem de exemplu cǎ X(α2; t0, X 1 ) − X(α2; t0, X 0 ) = ε
2 .
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t0, α2] avem:
+K ·
t
t0
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) ≤ X 1 − X 0 +
X(τ; t0, X 1 ) − X(τ; t0, X 0 )dτ ≤ X 1 − X 0 · e K·h < ε
2 .
ceea ce constituie o contradict¸ie ¸si prin urmare:
pentru orice t ∈ I∗ ∩ I1.
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε
2

118 CAPITOLUL 4
Vom arǎta în continuare cǎ α = inf I1 ≤ T1 ¸si cǎ β = sup I1 ≥ T2.
Din nou rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si admitem de exemplu cǎ
β < T2. Pentru orice t ∈ [t0, β) avem inegalitǎt¸ile:
+K ·
t
t0
X(t; t0, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) ≤ X 1 − X 0 +
X(τ; t0, X 1 ) − X(τ; t0, X 0 )dτ ≤ X 1 − X 0 · e K·h < ε
2 .
În plus, pentru orice t ′ , t ′′ cu t0 < t ′ < t ′′ < β avem inegalitatea:
X(t ′ ; t0, X 1 ) − X(t ′′ ; t0, X 1 ) ≤ M · |t ′′ − t ′ |,
unde M = sup F(t, X).
(t,X)∈∆
Acestea demonstreazǎ cǎ existǎ limita:
λ = lim
t→β X(t; t0, X 1 )
¸si (β, λ) ∈ ∆. Contradict¸ie.
Inegalitǎt¸ile stabilite sunt valabile deci pe întreg intervalul I∗ ¸si astfel
teorema este demonstratǎ.
Teorema 4.3.8 (de dependent¸ǎ continuǎ de condit¸ia init¸ialǎ (t0, X 0 ))
Pentru orice interval compact I∗ = [T1, T2], inclus în intervalul I0 (I∗ ⊂ I0),
care cont¸ine punctul t0 în interior (t0 ∈ ◦
I∗) ¸si pentru orice ε > 0, existǎ
δ = δ(ε, I∗), astfel ca, pentru orice condit¸ie init¸ialǎ (t1, X 1 ) cu |t1 − t0| < δ
¸si X 1 − X 0 < δ, solut¸ia saturatǎ
X 1 = X 1 (t; t1, X 1 ) a problemei Cauchy
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X)
X(t0) = X 1
este definitǎ cel put¸in pe intervalul I∗ ¸si verificǎ inegalitatea:
X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε, (∀) t ∈ I∗.

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 119
Demonstrat¸ie: Fie r > 0 ¸si K > 0, astfel ca tubul ∆, definit prin
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗, X − X(t; t0, X 0 ) ≤ r}
sǎ fie inclus în mult¸imea I × Ω (∆ ⊂ I × Ω) ¸si pentru orice
(t, X 1 ), (t, X 2 ) ∈ ∆ sǎ avem
Considerǎm numerele:
F(t, X 1 ) − F(t, X 2 ) ≤ K · X 1 − X 2 .
h1 = min{T2 − t0, t0 − T1}; h2 = max{T2 − t0, t0 − T1};
M = sup F(t, X);
(t,X)∈∆
un numǎr ε, 0 < ε < r ¸si numǎrul δ = δ(ε, I∗), definit astfel:
δ = 2 −1 · min{h1, ε · (M + 1) −1 · e −K(h1+h2) }
Pentru (t1, X 1 ) cu |t1 − t0| < δ ¸si X 1 − X 0 < δ avem inegalitǎt¸ile:
T1 < t1 < T2 ,
X 1 − X(t1; t0, X 0 ) ≤ X 1 − X 0 + X 0 − X(t1; t0, X 0 ) <
< δ · (M + 1) < ε
< r;
2
¸si prin urmare (t1, X 1 ) ∈ ∆ ⊂ I × Ω.
Fie X 1 = X(t; t1, X 1 ) solut¸ia maximalǎ a problemei Cauchy:
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X)
X(t0) = X 1
definitǎ pe intervalul I1.
Vom arǎta cǎ X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε
2
pentru orice
t ∈ I∗ ∩ I1.
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si admitem cǎ existǎ t2 ∈ I∗ ∩I1, astfel
ca X(t2; t1, X 1 ) − X(t2, t0, X 0 ) ≥ ε
2 .
Rezultǎ de aici cǎ cel put¸in pentru unul din numerele α1, α2 definite prin
α1=inf
, (∀) τ ∈ [t, t1]
t ∈ I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε
2

120 CAPITOLUL 4
α2=sup t ∈ I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε
2 , (∀) τ ∈ [t1,
t]
se realizeazǎ egalitatea:
X(αi; t1, X 1 ) − X(αi; t0, X 0 ) = ε
, i = 1, 2.
2
Sǎ presupunem, de exemplu, cǎ avem:
X(α2; t1, X 1 ) − X(α2; t0, X 0 ) = ε
2
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t1, α2] avem inegalitǎt¸ile:
≤ X 1 − X(t1; t0, X 0 ) + K
X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) ≤
t
t1
X(τ; t1, X 1 ) − X(τ; t0, X 0 )dτ ≤
≤ X 1 − X(t1; t0, X 0 ) · e K(h1+h2) < (M + 1) · δ · e K(h1+h2) < ε
2 .
Contradict¸ie.
Prin urmare, X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε
2 , (∀) t ∈ I∗ ∩ I1.
Vom arǎta în continuare cǎ α = inf I1 ≤ T1 ¸si β = sup I1 ≥ T2.
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si presupunem de exemplu cǎ β < T2.
Pentru orice t ∈ [t1, β) avem inegalitatea:
¸si pentru orice t ′ , t ′′ ∈ [t1, β) :
X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε
2
X(t ′ ; t1, X 1 ) − X(t ′′ ; t1, X 1 ) ≤ M · |t ′ − t ′′ |
Aceasta aratǎ cǎ existǎ limita λ = lim
t→β X(t; t1, X 1 ) ¸si (β, λ) ∈ I × Ω.
Contradict¸ie.
Inegalitǎt¸ile stabilite sunt valabile pe I∗ ¸si astfel teorema este demonstratǎ.

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 121
Fie I ⊂ IR 1 un interval deschis, D ⊂ IR n un domeniu, Ω ⊂ IR m un
domeniu, F : I × D × Ω → IR n o funct¸ie vectorialǎ ¸si sistemul de ecuat¸ii
diferent¸iale de ordinul întâi cu parametru scris sub forma matricealǎ:
˙X = F(t, X, µ) t ∈ I, X ∈ D, µ ∈ Ω. (4.10)
Considerǎm un punct (t0, X 0 , µ 0 ) ∈ I × D × Ω ¸si problema Cauchy:
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X, µ 0 )
X(t0) = X 0
(4.11)
Presupunem cǎ funct¸ia F este de clasǎ C 1 în raport cu (t, X) ¸si este continuǎ
în raport cu parametrul µ ¸si considerǎm solut¸ia saturatǎ X(t; t0, X 0 , µ 0 )
a problemei Cauchy (4.11) definitǎ pe intervalul I0.
Teorema 4.3.9 (de dependent¸ǎ continuǎ de parametru)
Pentru orice interval compact I∗ = [T1, T2] ⊂ I0, care cont¸ine punctul t0 în
interior (t0 ∈ ◦
I∗) ¸si pentru orice ε > 0, existǎ δ = δ(ε, I∗) > 0, astfel încât,
dacǎ µ − µ 0 < δ, atunci solut¸ia saturatǎ X = X(t; t0, X 0 , µ) a problemei
Cauchy ⎧ ⎨
⎩
˙X = F(t, X, µ)
X(t0) = X 0
este definitǎ pe intervalul I∗ ¸si verificǎ inegalitatea:
pentru orice t ∈ I∗.
X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 ) < ε
Demonstrat¸ie: Fie r1 > 0 ¸si r2 > 0 astfel ca mult¸imea ∆ ¸si S definite
prin:
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗, ||X − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| ≤ r1}
S = S(µ 0 , r2) = {µ : ||µ − µ 0 || ≤ r2}
sǎ verifice ∆ ⊂ I × Ω, respectiv S ⊂ Ω1.
Existǎ K > 0 astfel încât sǎ avem:
||F(t, X 1 , µ)−F(t, X 2 , µ)|| ≤ K ·||X 1 −X 2 ||, (∀)(t, X 1 , µ), (t, X 2 , µ) ∈ ∆×S

122 CAPITOLUL 4
Notǎm h = max{T2 − t0, t0 − T1} ¸si considerǎm un numǎr ε, cu proprietatea
0 < ε < r. Fie δ = δ(ε, I∗) astfel ca pentru 0 < δ < r2 ¸si ||µ − µ 0 || < δ sǎ
avem:
||F(t, X, µ) − F(t, X, µ0)|| < ε · 2 −1 · e −Kh , (∀) (t, X) ∈ ∆.
Pentru µ cu proprietatea ||µ − µ 0 || < δ considerǎm solut¸ia saturatǎ X =
X(t; t0, X 0 , µ) a problemei Cauchy
definitǎ pe intervalul Iµ.
Vom arǎta cǎ:
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X, µ)
X(t0) = X 0
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 || < ε
2
pentru orice t ∈ I∗ ∩ Iµ.
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si admitem cǎ existǎ t1 ∈ I∗ ∩ Iµ astfel ca
||X(t1; t0, X 0 , µ) − X(t1; t0, X 0 , µ 0 )|| ≥ ε
2 .
Rezultǎ de aici cǎ, cel put¸in pentru unul dintre numerele α1, α2 definite prin:
α1=inf t ∈ I∗∩Iµ : ||X(τ; t0, X 0 , µ)−X(τ; t0, X 0 , µ 0 )||< ε
, (∀)τ ∈ [t, t0]
2
α2=sup t ∈ I∗∩Iµ : ||X(τ; t0, X 0 , µ)−X(τ; t0, X 0 , µ 0 )||< ε
, (∀)τ ∈ [t, t0]
2
are loc egalitatea:
||X(αi; t0, X 0 , µ) − X(αi; t0, X 0 , µ 0 )|| = ε
2
Sǎ admitem de exemplu cǎ avem:
, i = 1, 2.
||X(α2; t0, X 0 , µ) − X(α2; t0, X 0 , µ 0 )|| = ε
2 .
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t0, α2] au loc inegalitǎt¸ile:

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 123
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| ≤
≤
≤
≤
t
t0
t0
t0
t
t
≤ K ·
Contradict¸ie.
Prin urmare:
||F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ), µ)−F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )||dτ ≤
||F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ), µ)−F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ 0 ), µ)||dτ ≤
||F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ 0 ), µ)−F(τ, X(τ; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )||dτ ≤
t
||X(τ; t0X 0 , µ)−X(τ; t0, X 0 , µ 0 )||dτ+ε·2 −1 ·e −K·h ≤
t0
≤ ε·2 −1 ·e −K·h ·e K(t−t0) ε
<
2 .
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| < ε
2 , (∀)t ∈ I∗ ∩ Iµ.
Vom arǎta în continuare cǎ α = inf Iµ ≤ T1 ¸si β = sup Iµ ≥ T2. Rat¸ionǎm
prin reducere la absurd presupunând de exemplu β < T2.
Pentru orice t ∈ [t0, β) are loc inegalitatea:
¸si pentru t ′ , t ′′ ∈ [t0, β] avem:
cu
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| < ε
2
||X(t ′ ; t0, X 0 , µ) − X(t ′′ ; t0, X 0 , µ)|| < M · |t ′ − t ′′ |
M = sup ||F(t, X, µ)||
∆×S

124 CAPITOLUL 4
Rezultǎ de aici cǎ existǎ limita λ = lim
t→β X(t; t0, X 0 , µ) ¸si (β, λ) ∈ I × Ω.
Contradict¸ie.
Calculele fǎcute sunt valabile pe intervalul I∗ ¸si astfel teorema este demonstratǎ.
Consecint¸a 4.3.3 Dacǎ funct¸ia F = F(t, X, µ) este liniarǎ în raport cu
X ∈ IR n , atunci pentru orice interval I∗ (I∗ ⊂ I) care cont¸ine punctul t0
în interior ( ◦
I ∗∋ t0) ¸si pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε, I∗) > 0 astfel încât
dacǎ ||µ − µ 0 || < δ, avem:
pentru orice t ∈ I∗.
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| < ε
Demonstrat¸ie: Cu teorema lui Banach-Steinhaus se obt¸ine cǎ
funct¸ia ||F(t, ·, µ)|| este mǎrginitǎ pe compacte ¸si
lim F(t, X, µ) = F(t, X, µ
µ→µ0
0 ).
Teorema 4.3.10 (de diferent¸iabilitate în raport cu condit¸iile init¸iale) În
condit¸iile Teoremei 4.3.7, funct¸ia (t, t1, X 1 ) → X(t; t1, X 1 ) este diferent¸iabilǎ
în raport cu t1, X 1 ¸si au loc urmǎtoarele egalitǎt¸i:
d
∂X1X(t; t0, X
dt
0 ) = ∂XF(t, X(t; t0, X0 )) · ∂X1X(t; t0, X0 )
∂ X 1X(t0; t0, X 0 ) = I
d
∂t1X(t; t0, X
dt
0 ) = ∂XF(t, X(t; t0, X0 )) · ∂t1X(t; t0, X0 )
∂t1X(t0; t0, X 0 ) = −F(t0, X 0 )
∂t1X(t; t0, X 0 ) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 )

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 125
Demonstrat¸ie: Pentru t ∈ Iδ, X 1 ∈ S(X 0 , δ/2), h ∈ S(0, δ/2) ¸si
Y ∈ IR n considerǎm funct¸ia:
=
H(t, t0, X 1 , h, Y ) =
⎧
1
⎨
⎩
0
∂XF(t, X(t; t0, X 1 )+s·[X(t; t0, X 1 +h)−X(t; t0, X 1 )])ds
⎫
⎬
⎭ ·Y
Funct¸ia H definitǎ în acest mod este continuǎ în raport cu t ¸si este liniarǎ
în raport cu Y. În plus funct¸ia H este continuǎ în raport cu (t, h).
Fie e 1 , e 2 , . . .,e n baza canonicǎ din R n ¸si ξ ∈ R astfel ca |ξ| < δ/2.
Problemele Cauchy:
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
˙Y k
ξ = H(t, t0, X 1 , ξ · e k , Y k
ξ )
Y k
ξ (t0) = e k
˙Y k
ξ = H(t, t0, X 1 , 0, Y k )
Y k (t0) = e k
au solut¸ii definite pe intervalul Iδ pentru k = 1, 2, . . ., n. În plus pentru orice
interval compact I∗ ⊂ Iδ avem lim
ξ→0 Y k
ξ (t) = Y k (t) uniform în raport cu t ∈ I∗.
Pe de altǎ parte pentru ξ = 0 avem:
pentru orice t ∈ Iδ.
Prin urmare, existǎ limita
Y k 1
ξ (t) =
ξ [X(t; t0, X 1 + ξ · e k ) − X(t; t0, X 1 )]
1
lim
ξ→0 ξ [X(t; t0, X 1 + ξ · e k ) − X(t; t0, X 1 )]
¸si este egalǎ cu Y k (t) pentru t ∈ Iδ.
Aceasta demonstreazǎ cǎ funct¸ia X(t; t0, X 1 ) are derivate part¸iale în raport

126 CAPITOLUL 4
cu X 1 în punctele (t, t0, X 1 ) ¸si în plus avem:
d ∂X
dt ∂x1 (t, t0, X
k
1
)
∂X
= H
∂x1 (t0, t0, X
k
1 ) = ek
t, t0, X1 , 0, ∂X
∂x1 (t, t0, X
k
1
)
Funct¸ia H(t, t0, X 1 , 0, Y ) fiind continuǎ în raport cu (t, X 1 ) ¸si liniarǎ în raport
cu Y rezultǎ cǎ solut¸ia problemei Cauchy precedente ∂X
(t, t0, X 1 ) converge
la solut¸ia problemei Cauchy:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dY k
dt = H(t, t0, X 0 , 0, Y k )
Y k (t0) = e k
∂x 1 k
pentru X 1 → X 0 uniform, pe intervale compacte I1 ⊂ Iδ.
Aceasta implicǎ cǎ derivatele part¸iale ale funct¸iei X(t; t0, X 1 ) în raport cu
X 1 sunt funct¸ii continue în raport cu X 1 în punctele (t, t0, X 0 ). Deci funct¸ia
X(t; t1, X 1 ) este diferent¸iabilǎ în raport cu X 1 în punctele (t, t0, X 0 ) ¸si satisfac:
d
∂X1X(t; t0, X
dt
0 ) = ∂XF (t, X(t; t0, X0 )) · ∂X1X(t; t0, X0 )
∂ X 1X(t0; t0, X 0 ) = I.
Fie acum τ ∈ IR 1 astfel ca 0 < |τ| < δ ¸si apoi funct¸ia
Xτ(t) = 1
τ · X(t; t0 + τ, X 0 ) − X(t; t0, X 0 ) pentru t ∈ Iδ.

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 127
Avem egalitǎt¸ile:
τ · Xτ(t) = X(t; t0 + τ, X 0 ) − X(t; t0, X 0 ) =
= X(t; t0, X(t0; t0 + τ, X 0 )) − X(t; t0, X 0 ) =
= ∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · [X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ]+
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||) =
= ∂X 1X(t; t0, X 0 )·[X(t0; t0+τ, X 0 )−X(t0+τ; t0+τ, X 0 )]+
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||) =
= −τ∂ X 1X(t; t0, X 0 ) n
cu 0 < θk < 1 pentru k = 1, n.
Astfel,
Xτ(t) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 )(
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||)
n
k=1
+ O(||X(t0; t0+τ, X 0 )−X 0 ||)
||X(t0; t0+τ, X 0 )−X 0 ||
Fk(t0+θkτ, X(t0+θkτ; t0+τ, X
k=1
0 )·ek +
Fk(t0 + θk · τ, X(t0 + θkτ; t0 + τ, X 0 ))e k )+
· ||X(t0; t0+τ, X0 )−X(t0+τ; t0+τ, X0 )||
.
τ
Deoarece raportul 1
τ · ||X(t0; t0 +τ, X 0 ) −X(t0 +τ, t0 +τ, X 0 )|| este mǎrginit
pentru τ → 0 ¸si ||X(t0; t0 +τ, X 0 ) −X 0 || → 0 pentru τ → 0 uniform pe orice
interval compact I∗ ⊂ Iδ(I∗ ∋ t0) rezultǎ cǎ
lim
τ→0 Xτ(t) = −∂X1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 )
¸si deci funct¸ia X(t; t1, X 1 ) este deiferent¸iabilǎ în raport cu t1 în (t; t0, X 0 ).
În plus,
∂t1X(t; t0, X 0 ) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 ).

128 CAPITOLUL 4
Derivabilitatea în raport cu t a funct¸iei ∂t1X(t; t0, X 0 ) este o consecint¸ǎ a
acestei egalitǎt¸i.
În plus avem egalitǎt¸ile:
d
∂t1X(t; t0, X
dt
0 ) =
= − d
∂X1X(t; t0, X
dt
0 ) F(t0, X 0 ) =
= −∂XF(t, X(t; t0, X 0 )) · (∂ X 1X(t; t0, X 0 )) · F(t0, X 0 ) =
= ∂XF (t, X(t; t0, X 0 )) · ∂t1X(t; t0, X 0 )
∂t1X(t0; t0, X 0 ) = −F(t0, X 0 ).
În acest fel teorema de diferent¸iabilitate în raport cu condit¸iile init¸iale este
complet demonstratǎ.
Teorema 4.3.11 (de diferent¸iabilitate în raport cu parametru).
Dacǎ funct¸ia F = F(t, X, µ) satisface condit¸iile din Teorema 4.3.9 ¸si în plus
este de clasǎ C 1 în raport cu µ, atunci funct¸ia
(t; t0, X 0 , µ) → X(t; t0, X 0 , µ)
este diferent¸iabilǎ în raport cu µ ¸si au loc urmǎtoarele egalitǎt¸i:
d
dt (∂µX(t;t0,X 0 ,µ 0 )) = ∂XF(t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )·∂µX(t; t0, X 0 , µ 0 )+
+ ∂µF(t; X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )
∂µX(t0; t0, X 0 , µ 0 ) = 0.
Demonstrat¸ie: Fie e1 , e2 , ..., em baza canonicǎ în spat¸iul IR m .
Pentru t ∈ Iδ, µ 1 ∈ S(µ 0 , δ
2 ), h ∈ IR1 , |h| < δ,
2 Y ∈ IRn
¸si k = 1, m

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 129
definim funct¸ia Hk = Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , h, Y ) cu formula:
Hk(t, t0, X0 , µ 1 ⎧
, h, Y ) =
1
⎨
= ∂XF(t,X(t;t0,X
⎩
0
0 , µ 1 )+s X(t;t0,X 0 , µ 1 +h·e k )−X(t;t0,X 0 , µ 1 ) ,
µ 1 + h·ek ⎫ ⎡
⎬ 1
)ds Y + ⎣ ∂µF(t, X(t; t0, X
⎭ 0 , µ 1 ), µ 1 + s · h · ek ⎤
)ds⎦
· ek .
0
Funct¸ia Hk este continuǎ în raport cu t ∈ Iδ, lipschitzianǎ în raport cu Y
pe intervale compacte I∗ ⊂ I. În plus, funct¸ia Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , h, Y ) tinde la
Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , 0, Y ) pentru h → 0 uniform pe compacte în raport cu (t, Y ).
Problemele Cauchy:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
au solut¸ii definite pe Iδ ¸si lim
dY k
ξ
dt = Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , Y k
h )
Y k
h (t0) = 0
dY k
dt = Hk(t, t0, X 0 , µ 1 , Y k )
Y k (t0) = 0
Y
h→0 k
h (t) = Y k (t) uniform în raport cu t pe orice
interval J ⊂ I.
Pe de altǎ parte se verificǎ u¸sor cǎ pentru h = 0 avem:
Y k 1
h (t) =
h [X(t; t0, X 0 , µ 1 + h · e k ) − X(t; t0, X 0 , µ 1 )]
¸si deducem cǎ funct¸ia X(t; t0, X0 , µ) are derivate part¸iale în raport cu µk în
(t, t0, X0 , µ 1 ) ¸si
d
dt
∂X
(t, t0, X
∂µk
0 , µ 1 )
∂X
∂µk
= Hk
(t0, t0, X 0 , µ 1 ) = 0
t, t0, X 0 , µ 1 , 0, ∂X
∂µk
(t, t0, X 0 , µ 1
)

130 CAPITOLUL 4
Pe de altǎ parte:
lim
µ 1→µ 0 Hk (t, t0, X 0 , µ 1 , 0, Y ) = H k (t, t0, X 0 , µ 0 , 0, Y )
uniform în raport cu (t, Y ) pe mult¸imi compacte.
Deci ∂X
∂µk
pe orice interval compact I∗ ⊂ I.
(t, t0, X 0 , µ 1 ) tinde la ∂X
∂µk
t, t0, X 0 , µ 0 pentru µ → µ 0 uniform
Aceasta demonstrazǎ cǎ derivatele part¸iale în raport cu µk ale funct¸iei
X(t; t0, X 0 , µ) sunt continue în raport cu µ în (t; t0, X 0 , µ 0 ).
În plus, avem:
d ∂X
dt
(t, t0, X
∂µk
0 , µ 0 )
=
= ∂XF t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 · ∂X
∂X
∂µk
t0; t0, X 0 , µ 0 = 0
∂µk
t; t0, X 0 , µ 0 + ∂F
∂µK
t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0
Prin urmare funct¸ia X = X(t; t0, X 0 , µ) este diferent¸iabilǎ în raport cu µ în
punctul (t, t0, X 0 , µ 0 ) ¸si pentru orice t ∈ Iδ avem:
d
∂µX(t; t0, X
dt
0 , µ 0 ) =
∂XF(t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 ) · ∂µX(t; t0, X 0 , µ 0 ) + ∂µF(t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )
∂µX(t0; t0, X 0 , µ 0 ) = 0.

Metode numerice 131
4.4 Metode numerice
4.4.1 Metoda liniilor poligonale a lui Euler de determinare
numericǎ localǎ a unei solut¸ii neprelungibile
în cazul sistemelor diferent¸iale de ordinul
întâi
Fie I un interval real deschis ¸si nevid I ⊂ IR 1 , D un domeniu nevid în spat¸iul
IR n , D ⊂ IR n ¸si F o funct¸ie de clasǎ C 1 , F : I × D → IR n .
Pentru (t0, X 0 ) ∈ I × D considerǎm solut¸ia neprelungibilǎ X = X(t; t0, X 0 )
a problemei cu date init¸iale
˙X = F(t, X); X(t0) = X 0
¸si notǎm cu I0 = (α0, β0) ⊂ I intervalul de definit¸ie al acestei solut¸ii.
(4.12)
O primǎ metodǎ de determinare numericǎ localǎ a solut¸iei neprelungibile
X = X(t; t0, X0 ) este cea a liniilor poligonale a lui Euler. În cele ce urmeazǎ
vom prezenta aceastǎ metodǎ.
Considerǎm douǎ constante pozitive a ¸si b, a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul
∆ = {(t, X)| |t − t0| ≤ a ¸si X − X 0 ≤ b}
sǎ fie inclus în domeniul Ω = I × D; ∆ ⊂ I × D.
Notǎm cu M maximul funct¸iei F pe cilindrul compact ∆ :
M = max F(t, X)
(t,X)∈∆
cu α numǎrul pozitiv α = min a, b
¸si cu Iα intervalul
M
Iα = [t0 − α, t0 + α].
Considerǎm un numǎr real ¸si pozitiv ε > 0 ¸si alegem δ = δ(ε) astfel ca pentru
orice (t ′ , X ′ ), (t ′′ , X ′′ ) ∈ ∆ care verificǎ inegalitǎt¸ile:
|t ′ − t ′′ | < δ(ε) ¸si X ′ − X ′′ < δ(ε)
sǎ avem F(T ′ , X ′ ) − F(t ′′ , X ′′ ) < ε.

132 CAPITOLUL 4
Funct¸ia F = F(t, X) este uniform continuǎ pe cilindrul compact ∆ ¸si, de
aceea, pentru orice ε > 0, alegerea unui δ(ε) > 0 cu proprietatea ment¸ionatǎ
este posibilǎ.
Considerǎm acum un numǎr pozitiv h > 0 pe care-l vom numi pas ¸si pe
care îl alegem astfel încât sǎ satisfacǎ inegalitatea 0 < h < δ
. Fie q numǎrul
M
natural cu proprietatea:
tq = t0 + q · h ≤ t0 + α ¸si tq+1 = t0 + (q + 1) · h > t0 + α.
Pentru i = 1, q considerǎm numerele ti = t0 + ih ¸si t−i = t0 − ih. Aceste
numere definesc o diviziune a segmentului Iα.
t0 − α ≤ t−q < t−q+1 < · · · < t−1 < t0 < t1 < · · · < tq−1 < tq ≤ t0 + α.
Pe intervalul [t0, t1] definim funct¸ia X 1 = X 1 (t) cu formula
X 1 (t) = X 0 + (t − t0) · F(t0, X 0 )
iar pe intervalul [t−1, t0] funct¸ia X −1 = X −1 (t) datǎ de:
X −1 (t) = X 0 + (t − t0) · F(t0, X 0 ).
Aceste funct¸ii verificǎ urmǎtoarele inegalitǎt¸i:
X 1 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X 1 (t) − F(t, X 1 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t0, t1]
X −1 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X −1 (t) − F(t, X −1 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t 1, t0].
În continuare, pe intervalul [t1, t2] definim funct¸ia X 2 = X 2 (t) cu formula
X 2 (t) = X 1 (t1) + (t − t1) · F(t1, X 1 (t1)).
¸si pe intervalul [t−2, t−1] funct¸ia X −2 = X −2 (t) cu formula
X −2 (t) = X −1 (t−1) + (t − t1) · F(t−1, X −1 (t−1)).
Funct¸iile X 2 (t) ¸si X −2 (t) definite în acest fel verificǎ urmǎtoarele inegalitǎt¸i:
X 2 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X 2 (t) − F(t, X 2 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t1, t2]
X −2 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X −2 (t) − F(t, X −2 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t−2, t−1]

Metode numerice 133
Sǎ presupunem cǎ în acest fel am ajuns sǎ construim funct¸iile
X j = X j (t), respectiv X −j = X −j (t) definite pe intervalul [tj−1, tj], respectiv
[t−j, t−j+1] pentru j = 1, j0, (j0 ≤ q − 1) ¸si ele verificǎ inegalitǎt¸ile:
X j (t)−X 0 ≤b ¸si ˙ X j (t)−F(t, X j (t))

134 CAPITOLUL 4
X ε (t) = X −i (t) dacǎ t ∈ [t−i, t−i+1]
X ε (t) = X q (tq) + (t − tq) · F(tq, X q (tq)) dacǎ t ∈ [tq, t0 + α]
X ε (t) = X −q (t−q) + (t − t−q) · F(t−q, X −q (t−q)) dacǎ t ∈ [t0 − α, t−q]
Funct¸ia X ε (t) definitǎ în acest fel este continuǎ pe intervalul Iα, este derivabilǎ
pe acest interval cu except¸ia eventualǎ a punctelor {ti} i=1,q ¸si {t−i} i=1,q
¸si verificǎ:
X ε (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X ε (t) − F(t, X ε (t)) < ε, t ∈ Iα.
Dacǎ definim funct¸ia θ ε (t) prin:
atunci avem:
θ ε (t) = ˙ X ε (t) − F(t, X ε (t)) pentru t = ti, t−i i = 1, q ¸si
θ ε (t) = 0 pentru t = ti sau t−i i = 1, q,
X ε (t) = X 0 +
t
t0
F(τ, X ε τ ))dτ +
t
pentru orice t ∈ Iα cu θ ε (t) < ε pentru orice t ∈ Iα.
t0
θ ε (τ)dτ,
Inegalitatea X ε (t) − X 0 ≤ b, adevǎratǎ pentru orice t ∈ Iα, aratǎ cǎ
X ε (t) ≤ b + X 0 , (∀) t ∈ Iα. Rezultǎ astfel cǎ familia de funct¸ii
{X ε (t)}ε>0 este egal mǎrginitǎ pe Iα = [t0 − α, t0 + α].
Egalitatea:
X ε (t) = X 0 +
t
t0
împreunǎ cu inegalitatea:
implicǎ:
X ε (t1) − X ε (t2) ≤
F(τ, X ε (τ))dτ +
t
t0
θ ε (τ) < ε. (∀) τ ∈ Iα
t2
t1
F(τ, X ε (τ))dτ +
θ ε (τ)dτ, (∀) t ∈ Iα
t2
t1
θ ε (τ)dτ ≤
≤ M|t2 − t1| + ε|t2 − t1| ≤ (M + ε)|t2 − t1|

Metode numerice 135
ceea ce demonstreazǎ cǎ funct¸iile X ε (t) sunt echicontinue pe Iα.
Cu teorema lui Arzela-Ascoli rezultǎ cǎ existǎ un ¸sir εn → 0, astfel ca
¸sirul {X εn }εn sǎ fie uniform convergent pe intervalul Iα la o funct¸ie continuǎ
X pe intervalul Iα, ¸si aceasta satisface X(t) −X 0 ≤ b, pentru orice t ∈ Iα.
Continuitatea uniformǎ a funct¸iei F pe cilindrul ∆ ¸si convergent¸a uniformǎ
a ¸sirului de funct¸ii X εn la funct¸ia X asigurǎ convergent¸a uniformǎ a
¸sirului de funct¸ii F(τ, X εn (τ)) la funct¸ia F(τ, X(τ)) pe intervalul Iα.
Trecem la limitǎ în egalitatea:
X εn (t) = X 0 +
t
¸si obt¸inem cǎ funct¸ia X(t) verificǎ
X(t) = X 0 +
t0
t
t0
F(τ, X εn (τ))dτ +
t
t0
θ εn (τ)dτ
F(τ, X(τ))dτ, (∀) t ∈ Iα.
Aceasta demonstreazǎ cǎ limita X = X(t) este solut¸ia problemei cu date
init¸iale
˙X = F(t, X), X(t0) = X 0 .
Din teorema de unicitate rezultǎ cǎ funct¸ia X(t) coincide cu solut¸ia saturatǎ
X(t; t0, X0) pe intervalul Iα:
X(t) = X(t; t0, X 0 ), (∀) t ∈ Iα.
Se obt¸ine în acest fel cǎ funct¸ia X ε (t) aproximeazǎ solut¸ia
neprelungibilǎ X(t; t0, X 0 ) pe intervalul Iα.
Valorile funct¸iei X ε (t) în punctele ti se obt¸in cu formula de recurent¸ǎ:
X ε (ti) = X ε (ti−1) + h · F(ti−1, X ε (ti−1)), i = 1, q
iar în punctele t−i cu formula de recurent¸ǎ:
X ε (t−i) = X ε (t−i+1) − h · F(t−i+1, X ε (t−i+1)), i = 1, q
Aceste proceduri de trecere de la (ti−1, Xε i−1 ) la (ti, Xε i
(t−i+1, Xε −i+1 ) la (t−i, Xε −i ) sunt u¸sor de programat.
) ori de la

136 CAPITOLUL 4
Pentru exemplificare, utilizând procedura de iterat¸ie Euler:
ti+1 = ti + h
X i+1 = X i + h · mE cu mE = F(ti, Xi),
vom determina solut¸ia numericǎ pentru o ecuat¸ie diferent¸ialǎ ¸si respectiv
pentru un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi.
Astfel, vom considera ecuat¸ia liniarǎ:
˙x = −x + 2e t
a cǎrei solut¸ie a fost deja determinatǎ prin calcul simbolic în Capitolul 2:
x(t) = e t + e −t .
Programând în Maple ¸si utilizând procedura de iterat¸ie Euler se obt¸ine:
> h:=0.1: n:=10:
> f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t):
> t:=(n,h)->n*h:
> x:=proc(n,h);
> if n=0 then x(0) else
x(n-1,h)+h*f(t(n-1,h),x(n-1,h)) end if;
> end proc:
> x(0):=2:
> x(t):=[seq(x(i,h),i=0..n)];
x (t) := [2, 2.0, 2.021034184, 2.063211317, 2.126861947,
2.212540692, 2.321030877, 2.453351549,
2.610766936, 2.794798428, 3.007239207]
> t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
(4.13)

Metode numerice 137
Pentru a compara valorile numerice ale solut¸iei date de procedura
de iterat¸ie Euler cu cele obt¸inute prin calcul simbolic, vom calcula solut¸ia
(obt¸inutǎ în Capitolul 2) în diferite puncte:
> sol_x(t):=exp(t)+exp(-t):
> eval(sol_x(t),t=0);
eval(sol_x(t),t=0.1); eval(sol_x(t),t=0.2);
eval(sol_x(t),t=0.3);eval(sol_x(t),t=0.9);
2
2.010008336
2.040133511
2.090677029
2.866172771
Se observǎ cǎ rezultatele obt¸inute prin calcul numeric cu procedura de
iterat¸ie Euler sunt apropiate de cele obt¸inute prin calcul simbolic doar pentru
valori ale lui t apropiate de condit¸ia init¸ialǎ (zero) aceasta întrucât domeniul
de convergent¸ǎ este mic.
În concluzie, metoda liniilor poligonale a lui Euler
ne dǎ o bunǎ aproximare a solut¸iei doar pe intervale mici.
În continuare, vom prezenta un alt exemplu în care vom determina numeric
(utilizând procedura de iterat¸ie Euler) solut¸ia sistemului de ecuat¸ii
diferent¸iale:
⎧
⎨
⎩
x1 ˙ = −x1+8x2
x2 ˙ = x1+ x2
solut¸ie care a fost deja determinatǎ prin calcul simbolic în Capitolul 4:
Programând în Maple se obt¸ine:
x1(t) := 5
3 · e3t − 2
3 · e−3t ,
x2(t) := 5
6 · e3t + 1
6 · e−3t .
(4.14)

138 CAPITOLUL 4
> h:=0.1: n:=10:
> f1:=(t,x1,x2)->-x1(t)+8*x2(t): f2:=(t,x1,x2)->x1(t)+x2(t):
> t:=(n,h)->n*h:
> x1:=proc(n,h);
> if n=0 then x1(0) else
x1(n-1,h)+h*f1(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h))end if;
> end proc:
> x2:=proc(n,h)
> if n=0 then x2(0)else
x2(n-1,h)+h*f2(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h))end if;
> end proc:
> x1(0):=1: x2(0):=1:
> x1(t):=[seq(x1(i,h),i=0..n)];
x1 (t) := [1, 1.7, 2.49, 3.433, 4.6001, 6.07617, 7.966249,
10.4031833, 13.55708001, 17.64726322, 22.95758363]
> x2(t):=[seq(x2(i,h),i=0..n)];
x2 (t) := [1, 1.2, 1.49, 1.888, 2.4201, 3.12212, 4.041949,
> t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];
5.2427688, 6.80736401, 8.843808412,11.49291558]
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
Pentru a compara valorile numerice ale solut¸iei cu cele obt¸inute
prin calcul simbolic, vom calcula valorile solut¸iei obt¸inute în Capitolul 4
în câteva puncte:
> sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):
> sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):
> eval(sol_x1(t),t=0);
eval(sol_x1(t),t=0.1);eval(sol_x1(t),t=0.2);

Metode numerice 139
eval(sol_x1(t),t=0.3);eval(sol_x1(t),t=0.9);
1
1.755885866
2.670990243
3.828292078
24.75474919
> eval(sol_x2(t),t=0);
eval(sol_x2(t),t=0.1); eval(sol_x2(t),t=0.2);
eval(sol_x2(t),t=0.3); eval(sol_x2(t),t=0.9);
1
1.248352044
1.609900939
2.117430869
12.41097735
S¸i în acest caz se observǎ cǎ, rezultatele obt¸inute numeric cu procedura
de iterat¸ie Euler sunt apropiate de cele obt¸inute prin calcul simbolic doar pe
un interval mic. Deci, ¸si în cazul sistemelor de ecuat¸ii diferent¸iale, metoda
liniilor poligonale a lui Euler ne dǎ o bunǎ aproximare a solut¸iei doar pe
intervale mici.
4.4.2 Metoda Runge-Kutta de determinare numericǎ
a unei solut¸ii neprelungibile în cazul sistemelor
diferent¸iale de ordinul întâi
Cea mai rǎspânditǎ metodǎ de determinare numericǎ a unei solut¸ii
neprelungibile este metoda lui Runge-Kutta. Ea a fost pusǎ la punct la
sfâr¸situl sec. al XIX-lea de matematicienii germani C. Runge ¸si W. Kutta.
În esent¸ǎ, este tot o aproximare a solut¸iei neprelungibile cu linii poligonale.
Convergent¸a cǎtre solut¸ia saturatǎ este însǎ mult mai rapidǎ decât în cazul
liniilor poligonale a lui Euler. Aceasta datoritǎ modului de alegere a ”pantei”.
În practicǎ, sunt folosite câteva forme particulare ale acestei metode: metoda
Runge-Kutta de ordinul al doilea rk2, al treilea rk3, al patrulea (standard)

140 CAPITOLUL 4
rk4 ¸si repectiv cea de ordinul al cincilea Fehlberg-Runge-Kutta rkf45.
Fǎrǎ a intra în detalii privitoare la convergent¸ǎ, redǎm aici procedura de
iterat¸ie a metodei Runge-Kutta standard rk4:
unde
ti+1 = ti + h
X i+1 = X i + h · mR−K
mR−K = 1
6 (m1 + 2m2 + 2m3 + m4)
m1 = F(ti, X i )
m2 = F(ti + h/2, X i + h/2 · m1)
m3 = F(ti + h/2, X i + h/2 · m2)
m4 = F(ti + h, X i + h · m3).
Aceastǎ procedurǎ de trecere de la (ti, X i ) la (ti+1, X i+1 ) este u¸sor de
programat.
Pentru exemplificare vom considera acelea¸si exemple ca ¸si in cazul metodei
Euler, dupǎ care vom compara rezultatele numerice obt¸inute.
Programând în Maple procedura de iterat¸ie Runge-Kutta standard rk4
corespunzǎtoare ecuat¸iei diferent¸iale (4.13) obt¸inem:
> h:=0.1: n:=10:
> f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t):
> t:=(n,h)->n*h:
> x:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4;
> if n=0 then x(0) else
k1:=f(t(n-1,h),x(n-1,h));
k2:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k1/2);
k3:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k2/2);
k4:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k3);
x(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)

Metode numerice 141
> end if;
> end proc:
> x(0):=2:
> x(t):=[seq(x(i,h),i=0..n)];
x (t) := [2, 2.008211921, 2.036522685, 2.085215637,2.154778115,
2.245906324, 2.359512308, 2.496733074,2.658941974,
2.847762451, 3.065084284]
> t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9,1.0]
> sol_x(t):=exp(t)+exp(-t):
> eval(sol_x(t),t=0);
eval(sol_x(t),t=0.1); eval(sol_x(t),t=0.2);
eval(sol_x(t),t=0.3); eval(sol_x(t),t=0.9);
2
2.010008336
2.040133511
2.090677029
2.866172771
Comparând aceste rezultate numerice cu cele obt¸inute cu metoda Euler
¸si apoi cu cele obt¸inute prin calculul simbolic (din paragraful precedent),
observǎm cǎ metoda lui Runge-Kutta are domeniul de convergent¸ǎ întreg
intervalul considerat, solut¸iile obt¸inute prin rk4 fiind foarte apropiate de cele
obt¸inute prin calcul simbolic.
Programând în Maple procedura de iterat¸ie Runge-Kutta standard
rk4 corespunzǎtoare sistemului de ecuat¸ii diferent¸iale (4.14) obt¸inem:
> h:=0.1: n:=10:
> f1:=(t,x1,x2)->-x1(t)+8*x2(t):f2:=(t,x1,x2)->x1(t)+x2(t):
> t:=(n,h)->n*h:
> x1:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4;
> if n=0 then x1(0) else
k1:=f1(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h));
k2:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k1/2,x2(n-1,h)+h*k1/2);

142 CAPITOLUL 4
k3:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k2/2,x2(n-1,h)+h*k2/2);
k4:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k3,x2(n-1,h)+h*k3);
x1(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
> end if;
> end proc:
> x2:=proc(n,h) local m1,m2,m3,m4;
> if n=0 then x2(0) else
m1:=f2(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h));
m2:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m1/2,x2(n-1,h)+h*m1/2);
m3:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m2/2,x2(n-1,h)+h*m2/2);
m4:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m3,x2(n-1,h)+h*m3);
x2(n-1,h)+h/6*(m1+2*m2+2*m3+m4)
> end if;
> end proc:
> x1(0):=1: x2(0):=1:
> x1(t):=[seq(x1(i,h),i=0..n)];
x1 (t) := [1., 1.75588586516103406, 2.67099024240189342,
3.82829207712650410, 5.33273206041661840,
7.32072833903442266, 9.97254650756094564,
13.5286455567960680, 18.3114819804437801,
24.7547491716790910, 33.4427034511831920]
> x2(t):=[seq(x2(i,h),i=0..n)];
x2 (t) := [1., 1.24835204296884550, 1.60990093931829237,
2.11743086851170714, 2.81696313624160988,
3.77192924966291354, 5.06892269795481632,
6.82555099257945131, 9.20109996691309817,
12.4109773422481773, 16.7462452598074308]
> t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
> sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):
> sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):
> eval(sol_x1(t),t=0);
eval(sol_x1(t),t=0.1);eval(sol_x1(t),t=0.2);

Metode numerice 143
eval(sol_x1(t),t=0.3);eval(sol_x1(t),t=0.9);
1
1.755885866
2.670990243
3.828292078
24.75474919
> eval(sol_x2(t),t=0);
eval(sol_x2(t),t=0.1); eval(sol_x2(t),t=0.2);
eval(sol_x2(t),t=0.3); eval(sol_x2(t),t=0.9);
1
1.248352044
1.609900939
2.117430869
12.41097735
S¸i în cazul sistemului considerat se observǎ o bunǎ convergent¸a a metodei
Runge-Kutta rk4.
4.4.3 Calculul numeric al solut¸iilor unor ecuat¸ii
diferent¸iale ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale
În aceastǎ sect¸iune, utilizând metodele de calcul numeric pe care ni
le oferǎ programul Maple − în care sunt incluse programele procedurilor
de iterat¸ie Euler sau Runge-Kutta, vom determina solut¸iile unor ecuat¸ii
diferent¸iale ¸si respectiv sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale, dupǎ care, vom reprezenta
grafic aceste solut¸ii.
Primul exemplu se referǎ la ecuat¸ia diferent¸ialǎ neliniarǎ de ordinul al
treilea cu coeficient¸i variabili:
t 2...
x + 5t¨x + 4˙x = ln x, x > 0; (4.15)
> eq3:=t^2*diff(x(t),t,t,t)+5*t*diff(x(t),t,t)+4*diff(x(t),t)
=ln(x(t));
2 d3 eq3 := t dt3x (t) + 5 t d2
dt2x(t) + 4 d x (t) = ln (x (t))
dt
> dsolve({eq3,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3});
Deoarece Maple nu afi¸seazǎ nimic înseamnǎ cǎ este incapabil de a gǎsi
o solut¸ie utilizând calculul simbolic; mai precis, nu poate exprima solut¸ia

144 CAPITOLUL 4
problemei cu date init¸iale folosind funct¸ii elementare. În acest caz, vom
rezolva numeric aceastǎ ecuat¸ie folosind o sintaxǎ dsolve care sǎ permitǎ
rezolvarea ecuat¸iei printr-una din metodele numerice clasice: metoda linilor
poligonale a lui Euler, metoda Runge-Kutta de ordin doi, trei sau patru, etc.
Noua sintaxǎ dsolve/numeric/classical (numerical solution of ordinary
differential equations), specificǎ calculului numeric, are una din urmǎtoarele
forme:
dsolve(odesys, numeric, method=classical);
dsolve(odesys, numeric, method=classical[choice], vars, options);
în care:
odesys - ecuat¸ia sau lista de ecuat¸ii ¸si condit¸iile init¸iale
numeric - nume care indicǎ lui dsolve sǎ rezolve prin
metode numerice
method = classical - opt¸ionalǎ, se indicǎ numele metodei numerice:
impoly pentru metoda liniilor poligonale
a lui Euler; rk2, rk3, rk4 pentru metoda
lui Runge-Kutta de ordin doi, trei, patru,etc.
vars - lista de variabile dependente (opt¸ionalǎ)
options - diferite opt¸iuni: output-ul care dorim s,a se
afi¸seze, numǎrul de puncte, etc.
Dacǎ nu folosim opt¸iunea în care sǎ specifiǎm o metodǎ numericǎ atunci, calculatorul
va alege metoda Fehlberg-Runge-Kutta de ordinul cinci
(method=rkf45) − metodǎ cu cea mai rapidǎ convergent¸ǎ.
Ecuat¸ia (4.16) se rezolvǎ numeric cu metoda rk4 astfel:
> a:=dsolve({eq3,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3},numeric,
method=classical[rk4],output=listprocedure):
> sol_x := subs(a,x(t)):
> sol_x(0.2);sol_x(0.4);sol_x(1);sol_x(2);
sol_x(5);sol_x(8);sol_x(10);sol_x(30);

Metode numerice 145
178.442355332346864
52.2875370423634607
6.30572074481224831
2.0
6.08914601990852234
9.31175162767340581
11.0536870708637434
25.1681506399649386
Prin instruct¸iunea dsolve/numeric/classical, Maple a calculat valorile
numerice ale solut¸iei ecuat¸iei considerate în punctele domeniului de defnit¸ie.
Pentru afi¸sarea valorilor solut¸iei x(t) în t = 0.2, 0.4, 1, 2, 5, 8, 10, 30 s-a folosit
funct¸ia subs.
Pentru reprezentarea graficǎ a solut¸iei ecuat¸iei diferent¸iale rezolvatǎ numeric
se utilizeazǎ o funct¸ie de plotare specificǎ metodelor numerice, care
are urmǎtoarea sintaxǎ:
odeplot(dsn, vars, range, options);
în care:
dsn - numele output-ului ecuat¸iei rezolvatǎ numeric
vars - variabila independentǎ ¸si funct¸ia care se ploteazǎ (opt¸ional)
range - opt¸ional
options - numǎrul de puncte, diferite modalitǎt¸i de afi¸sare a solut¸iei.
Folosind aceastǎ instruct¸iune de plotare pentru reprezentarea graficǎ
(Figura 18) a solut¸iei ecuat¸iei (4.16) se obt¸ine:
> with(plots):odeplot(sol_x,t=0.2..30,numpoints=100);

146 CAPITOLUL 4
Figura 18
Al doilea exemplu este ecuat¸ia diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul al doilea:
L · d2i di 1
+ R · +
dt2 dt C i = −E0 · ω · sin ωt, (4.16)
a cǎrei solut¸ie i(t) exprimǎ intensitatea curentului într-un circuit
R-L-C (vezi Capitolul 3). Considerând valori numerice pentru R, L, C, E0
¸si reducând ecuat¸ia la un sistem de douǎ ecuat¸ii diferent¸iale se obt¸ine:
> R:=2: C:=0.1: L:=1: E=10: ω:=Pi/4:
> Eq:=L*diff(i(t),t,t)+R*diff(i(t),t)+(1/C)*i(t)=-E*ω *sin(t*ω):
> sys_Eq1:=diff(x1(t),t)=x2(t):
> sys_Eq2:=diff(x2(t),t)=-10*x1(t)-2*x2(t)-10*Pi/4*sin(t*Pi/4):
Pentru rezolvarea numericǎ a acestui sistem ¸si pentru vizualizarea solut¸iilor
corespunzǎtoare la diferite condit¸ii init¸iale (Figura 19 ¸si Figura 20) se folosesc
funct¸iile:
with(DEtools) : DEplot
with(DEtools) : phaseportrait
with(DEtools) : DEplot3d
> with(DEtools):DEplot({sys_Eq1,sys_Eq2},{x1(t),x2(t)},
t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0],[x1(0)=1,x2(0)=1],
[x1(0)=3,x2(0)=3]],scene=[t,x1(t)],method=classical[rk4]);

Metode numerice 147
Figura 19
> with(DEtools):DEplot({sys_Eq1,sys_Eq2},{x1(t),x2(t)},
t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0],[x1(0)=1,x2(0)=1],
[x1(0)=3,x2(0)=3]],scene=[t,x2(t)],method=classical[rk4]);
Figura 20
În aceste figuri sunt reprezentate solut¸iile (x1(t), x2(t)) pentru trei condit¸ii
init¸iale. Se observǎ cǎ, indiferent de condit¸iile init¸iale, dupǎ un anumit
timp solut¸ia se stabilizeazǎ în jurul unei solut¸ii periodice. Acest fapt,
reiese ¸si din portretele de fazǎ care se obt¸in cu:
> with(DEtools):phaseportrait([sys_Eq1,sys_Eq2],
[x1(t),x2(t)],t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0]],
scene=[x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);

148 CAPITOLUL 4
Figura 21
> with(DEtools):phaseportrait([sys_Eq1,sys_Eq2],
[x1(t),x2(t)],t=0..15,[[x1(0)=1,x2(0)=1]],
scene=[x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);
Figura 22
Portretele de fazǎ (Figura 21 ¸si Figura 22) aratǎ faptul cǎ, solut¸iile sistemului
(intesitatea curentului ¸si variat¸ia acesteia) se stabilizeazǎ dupǎ un
anumit timp, tinzând cǎtre un ciclu limitǎ. Mai precis, folosind condit¸ii
init¸iale din interiorul sau exteriorul ciclului limitǎ solut¸iile se stabilizeazǎ
în jurul unei solut¸ii periodice. Acela¸si fenomen de stabilizare se observǎ
¸si din figura tri-dimensionalǎ (Figura 23):
> with(DEtools):DEplot3d({sys_Eq1,sys_Eq2},
{x1(t),x2(t)},t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0]],
scene=[t,x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);

Metode numerice 149
Figura 23
Un alt exemplu este sistemul lui Lotka-Volterra de douǎ ecuat¸ii diferent¸iale
neliniare care constituie un model matematic utilizat în biologie care descrie
evolut¸ia în timp a douǎ specii pradǎ-prǎdǎtor (de exemplu sardine-rechini):
⎧
⎨
⎩
˙x = x(1 − y)
˙y = 0.3 · y(x − 1),
unde x(t) reprezintǎ numǎrul sardinelor, iar y(t) numǎrul de rechini. Cu
instruct¸iunile with(DEtools) : DEplot (Figura 24 ¸si Figura 25) ¸si respectiv
with(DEtools) : DEplot3d (Figura 26) se obt¸ine evolut¸ia în timp a
celor douǎ specii:
> with(DEtools):DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},
t=0..50,[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,x(t)],
linecolor=t/2,method=rkf45);
(4.17)

150 CAPITOLUL 4
Figura 24
> with(DEtools):DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},
t=0..50,[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,y(t)],
linecolor=t/2,method=rkf45);
Figura 25
> with(DEtools):DEplot3d({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},t=0..50,
[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,x(t),y(t)],
stepsize=.2,linecolor=t/2,method=rkf45);

Metode numerice 151
Figura 26
Portretul de fazǎ a evolut¸iei celor douǎ specii este prezentatǎ în Figurile
27:
> with(DEtools):DEplot([diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)],[x(t),y(t)],t=0..13,
[[x(0)=1.2,y(0)=1.2],[x(0)=1,y(0)=.7],[x(0)=.8,y(0)=.5]],
stepsize=.2,title=‘Lotka-Volterra model‘,
color=[.3*y(t)*(x(t)-1),x(t)*(1-y(t)),.1],
linecolor=t/2,arrows=MEDIUM,method=rkf45);

152 CAPITOLUL 4
Figura 27
Acest sistem are solut¸iile stat¸ionare (0, 0), (1, 1) ¸si solut¸ii periodice (Figura
26). Interpretarea acestora este urmǎtoarea:
i) solut¸ia stat¸ionarǎ (0, 0) reprezintǎ disparit¸ia ambelor specii;
ii) solut¸ia stat¸ionarǎ (1, 1) reprezintǎ situat¸ia de echilibru (numǎrul de
sardine este egal cu numǎrul de rechini);
iii) solut¸iile periodice care înconjoarǎ solut¸ia stat¸ionarǎ (1, 1) reprezintǎ
variat¸ii ale numǎrului de sardine ¸si respectiv rechini între douǎ limite.
Aceste variat¸ii (cre¸steri sau descre¸steri) descriu lipsa sau abundent¸a
de hranǎ (sardine) care duce la mic¸sorarea sau cre¸sterea numǎrului de
prǎdǎtori (rechini).
Un alt portret de fazǎ interesant este al sistemului:
⎧
⎨
⎩
˙x = y − z
˙y = z · x
˙z = x − 2y,
(4.18)

Metode numerice 153
care aratǎ cǎ, din orice punct ar pleca solut¸iile, toate vor evolua cǎtre
zero (Figura 28):
> with(DEtools):phaseportrait([D(x)(t)=y(t)-z(t),
D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)=x(t)-y(t)*2],[x(t),y(t),z(t)],
t=-10..50,[[x(0)=3,y(0)=3,z(0)=3]],stepsize=.05,
scene=[z(t),y(t)],linecolour=sin(t*Pi/2),
method=classical[rk4]);
Figura 28

154 CAPITOLUL 4
4.5 Integrale prime
Considerǎm sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale neliniare de ordinul întâi explicit:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x1 ˙ = f1(t, x1, x2, ..., xn)
x2 ˙ = f2(t, x1, x2, ..., xn)
....................................
xn ˙ = fn(t, x1, x2, ..., xn)
(4.19)
în care funct¸iile f1, f2, ..., fn sunt funct¸ii reale de clasǎ C 1 definite pe I × D;
I ⊂ IR 1 , I - interval deschis ¸si D ⊂ IR n - domeniu.
Definit¸ia 4.5.1 Se nume¸ste integralǎ primǎ a sistemului (4.19) o funct¸ie
U : I × D → IR 1 de clasǎ C 1 care nu este constantǎ, dar este constantǎ pe
solut¸iile sistemului (4.19).
Teorema 4.5.1 Condit¸ia necesarǎ ¸si suficientǎ pentru ca o funct¸ie
U : I × D → IR 1 de clasǎ C 1 neconstantǎ sǎ fie integralǎ primǎ este ca U
sǎ verifice:
∂U
∂t +
n ∂U
· fi = 0 (∀) (t, x1, ..., xn) ∈ I × D.
∂xi
i=1
Demonstrat¸ie: Fie (t0, x 0 1, ..., x 0 n) ∈ I×D ¸si x1(t), ..., xn(t) solut¸ia sistemului
(4.19) care verificǎ xi(t0) = x 0 i , i = 1, n ¸si U(t, x1(t), ..., xn(t)) o integralǎ
primǎ. Deoarece U(t, x1(t), ..., xn(t)) este constantǎ, rezultǎ cǎ
De aici avem cǎ
∂U
∂t (t,x1(t), ..., xn(t)) +
dU
dt (t, x1(t), ..., xn(t)) ≡ 0.
n ∂U
(t, x1(t), ..., xn(t))·fi(t, x1(t), ..., xn(t))=0,
∂xi
i=1
Pentru t = 0, rezultǎ de aici egalitatea:
∂U
∂t (t0, x 0 1 , ..., x0n ) +
n ∂U
i=1
∂xi
(∀) t ∈ I.
(t0, x 0 1 , ..., x0n ) · fi(t0, x 0 1 , ..., x0n ) = 0

Integrale prime 155
Întrucât (t0, x0 1 , ..., x0n ) este un punct oarecare din mult¸imea I × D rezultǎ
∂U
∂t +
n
i=1
∂U
∂t · fi = 0, (∀)(t, x1, ..., xn) ∈ I × D.
Sǎ arǎtǎm acum implicat¸ia reciprocǎ, adica: dacǎU :I×D →IR 1 este o funct¸ie
de clasǎ C1 , care nu este constantǎ ¸si verificǎ
∂U
∂t +
n ∂U
∂t · fi = 0
i=1
atunci U este constantǎ pe solut¸iile sistemului (4.19).
În acest scop considerǎm o solut¸ie oarecare x1(t), ..., xn(t) a
sistemului (4.19) ¸si funct¸ia ϕ(t) = U(t, x1(t), ..., xn(t)). Pentru a arǎta cǎ
funct¸ia ϕ(t) este constantǎ calculǎm derivata ei ¸si gǎsim:
dϕ
dt
∂U
=
∂t (t, x1(t), ..., xn(t)) +
+
n ∂U
(t, x1(t), ..., xn(t)) · fi(t, x1(t), ..., xn(t)) = 0,
∂xi
(∀) t ∈ I.
i=1
Astfel, rezultǎ cǎ funct¸ia ϕ(t) este constantǎ.
Observat¸ia 4.5.1 Pentru ca o funct¸ie U : D → IR 1 de clasǎ C 1 neconstantǎ
care nu depinde de t sǎ fie integralǎ primǎ este necesar ¸si suficient ca U sǎ
n ∂U
verifice fi = 0.
∂xi
i=1
Definit¸ia 4.5.2 Sistemul (4.19) se zice autonom dacǎ funct¸iile fi nu depind
de t; fi : D → IR n , fi = ˙ fi(x1, x2, ..., xn), i = 1, n.
Observat¸ia 4.5.2 Problema determinǎrii mi¸scǎrii unui punct material de
masǎ m într-un câmp de fort¸e potent¸ial având potent¸ialul V , revine la determinarea
solut¸iilor sistemului canonic a lui Hamilton:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dxi
dt
dpi
dt
= ∂H
∂pi
= −∂H
∂xi
i = 1, 2, 3
(4.20)

156 CAPITOLUL 4
unde
H(x1, x2, x3, p1, p2, p3) = 1
2m (p2 1 + p 2 2 + p 2 3) + V (x1, x2, x3)
este funct¸ia Hamilton asociatǎ punctului material.
Sistemul (4.20) este autonom, iar condit¸ia ca o funct¸ie U(x1, x2, x3, p1, p2, p3)
sǎ fie integralǎ primǎ pentru (4.20) este ca U sǎ verifice
3
∂U
i=1
∂xi
· ∂H
−
∂pi
∂U
·
∂pi
∂H
=0.
∂xi
În particular, rezultǎ cǎ funct¸ia lui Hamilton este integralǎ primǎ pentru
sistemul canonic.
Revenim la cazul general al sistemelor autonome:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x1 ˙ = f1(x1, ..., xn)
x2 ˙ = f2(x1, ..., xn)
............................
xn ˙ = fn(x1, ..., xn)
(4.21)
fi : D ⊂ IR n → IR 1 , i = 1, n pentru care considerǎm integrale prime Uj,
j = 1, m care nu depind de variabila independentǎ t; Uj = Uj(x1, ..., xn).
Definit¸ia 4.5.3 Un sistem de m ≤ n integrale prime ale sistemului (4.19)
se zice independent dacǎ rangul matricei:
⎛
∂U1 ∂U1
⎜
...
∂x1 ∂x2 ⎜
⎝
∂U1
∂xn
∂U2 ∂U2
...
∂x1 ∂x2
∂U2
∂xn
..............................
∂Um ∂Um
...
∂x1 ∂x2
∂Um
⎞
⎟
⎠
∂xn
este egal cu m.
În continuare vom arǎta important¸a integralelor prime.

Integrale prime 157
Teorema 4.5.2 Dacǎ se cunosc m < n integrale prime ale sistemului (4.19)
atunci problema determinǎrii solut¸iilor sistemului (4.19) revine la problema
determinǎrii solut¸iilor unui sistem de n − m ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul
întâi.
Dacǎ se cunosc n integrale prime atunci problema determinǎrii solut¸iilor
sistemului (4.19) revine la rezolvarea unui sistem de ecuat¸ii implicite.
Demonstrat¸ie: Considerǎm la început m < n integrale prime U1, ..., Um independente
ale sistemului (4.19). Independent¸a asigurǎ faptul cǎ din sistemul
de ecuat¸ii: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
U1(t, x1, ..., xn) − c1 = 0
U2(t, x1, ..., xn) − c2 = 0
............................
Um(t, x1, ..., xn) − cm = 0
(4.22)
putem exprima m dintre necunoscutele x1, ..., xn în funct¸ie de celelalte necunoscute,
¸si în funct¸ie de t ¸si de constantele c1, ..., cm.
Pentru a face o alegere presupunem cǎ x1, ..., xm se exprimǎ în funct¸ie de
t, xm+1, ..., xn: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
x1 = ϕ1(t, xm+1, ..., xn, c1, ..., cm)
x2 = ϕ2(t, xm+1, ..., xn, c1, ..., cm)
....................................................
xm = ϕm(t, xm+1, ..., xn, c1, ..., cm)
Dacǎ x1(t), ..., xn(t) este o solut¸ie a sistemului (4.19), atunci avem:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x1(t) = ϕ1(t, xm+1(t), ..., xn(t), c1, ..., cm)
x2(t) = ϕ2(t, xm+1(t), ..., xn(t), c1, ..., cm)
..............................................................
xm(t) = ϕm(t, xm+1(t), ..., xn(t), c1, ..., cm)
Rezultǎ în acest fel cǎ primele m componente ale solut¸iei x1(t), ..., xm(t)
se construiesc cu restul componentelor xm+1(t), ..., xn(t) ¸si a constantelor
c1, ..., cm prin intermediul funct¸iilor ϕ1, ϕ2, ..., ϕm.
Prin înlocuire în sistemul (4.19) rezultǎ cǎ xm+1(t), ..., xn(t) verificǎ urmǎtorul
sistem de ecuat¸ii diferent¸iale:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dxm+1
dt =fm+1(t, ϕ1(t, xm+1,...,xn, c1,...,cm),...,ϕm(t, xm+1,...,xn, c1,...,cm), xm+1,...,xn)
....................................................................................................................
dxn
=fn(t, ϕ1(t, xm+1,...,xn, c1,...,cm),...,ϕm(t, xm+1,...,xn, c1,...,cm), xm+1,...,xn)
dt

158 CAPITOLUL 4
Astfel, rezultǎ cǎ funct¸iile xm+1, ..., xn verificǎ un sistem de n −m ecuat¸ii
diferent¸iale de ordinul întâi.
Dacǎ m = n atunci sistemul algebric (4.22) este
din care obt¸inem:
Uk(t, x1, x2, ..., xn) − ck = 0, k = 1, n
xk = ϕ(t, c1, ..., cm) k = 1, n.
Imprecis, dar sugestiv putem spune, cu cât avem mai multe integrale
prime cu atât mai mult se reduce dimensiunea sistemului diferent¸ial. Dacǎ
m = n problema rezolvǎrii sistemului diferent¸ial se reduce la rezolvarea unui
sistem algebric.
Vom relua în continuare câteva exemple în cazul unei singure ecuat¸ii n = 1
când este nevoie doar de o singurǎ integralǎ primǎ.
Exemple:
1. Arǎtat¸i cǎ dacǎ f : (a, b) → IR 1 este funct¸ie continuǎ, atunci funct¸ia
U(t, x) = x −
t
t∗
f(τ)dτ
este integralǎ primǎ pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ ˙x = f(t). Deducet¸i în
acest fel cǎ solut¸iile acestei ecuat¸ii diferent¸iale sunt solut¸iile ecuat¸iei
algebrice
x −
t
t∗
f(τ)dτ − c = 0.
2. Arǎtat¸i cǎ dacǎ g : (c, d) → IR 1 este o funct¸ie continuǎ care nu se
anuleazǎ, atunci funct¸ia
U(t, x) = t −
x
x∗
du
g(u)
este integralǎ primǎ pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ ˙x = g(x).
Deducet¸i astfel cǎ solut¸iile acestei ecuat¸ii diferent¸iale sunt solut¸iile
ecuat¸iei algebrice x
du
t − − c = 0.
g(u)
x∗

Integrale prime 159
3. Arǎtat¸i cǎ dacǎ f : (a, b) → IR 1 ¸si g : (c, d) → IR 1 sunt funct¸ii continue
¸si funct¸ia g nu se anuleazǎ, atunci funct¸ia
U(t, x) =
t
t∗
f(τ)dτ −
x
x∗
du
g(u)
este integralǎ primǎ pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ ˙x = f(t)·g(x). Deducet¸i
de aici cǎ solut¸iile acestei ecuat¸ii diferent¸iale sunt solut¸iile ecuat¸iei algebrice.
Revenind la cazul general n > 1, problema naturalǎ care se pune este:
care este numǎrul maxim de integrale prime independente pentru sistemul
(4.19)?
Rǎspunsul la aceastǎ întrebare este datǎ de urmǎtoarea teoremǎ.
Teorema 4.5.3 Pentru orice punct (t0, x0 1 , ..., x0n ) ∈ I×D existǎ o vecinǎtate
deschisǎ V ⊂ I × D astfel ca pe V sistemul (4.19) are n integrale prime
independente ¸si orice integralǎ primǎ definitǎ pe V se exprimǎ ca funct¸ie de
cele n integrale prime independente.
Demonstrat¸ie: Fie X(t; t0, X 0 ) solut¸ia saturatǎ a sistemului (4.19) care
verificǎ X(t0) = X 0 ¸si I0 intervalul ei de definit¸ie. Considerǎm un interval
compact [T1, T2] inclus în I0 care cont¸ine punctul t0 în interior.
Conform teoremei de continuitate în raport cu condit¸iile init¸iale existǎ o
vecinǎtate U0 a lui x 0 = (x 0 1 , ..., x0 n ) astfel încât pentru orice X′ = (x1 ′ , ..., xn ′ ) ∈
U0 solut¸ia sistemului (4.19) care coincide cu X ′ în t = t0 este definitǎ pe
[T1, T2]; notǎm cu X(t; t0, X ′ ) aceastǎ solut¸ie saturatǎ.
Funct¸ia (t, X ′ ϕ
) −→ X(t; t0, X ′ ) este de clasǎ C1 pe baza teoremei de
diferent¸iabilitate în raport cu condit¸iile init¸iale. Din aceea¸si teoremǎ rezultǎ
cǎ matricea ∂
∂X ′[X(t; t0, X ′ )] este nesingularǎ ¸si prin urmare aplicat¸ia X
′ ϕ
−→
X(t; t0, X ′ ) este local inversabilǎ. Existǎ deci douǎ vecinǎtat¸i deschise W1, W2
ale punctului (t0, X0 ) ¸si o funct¸ie ψ de clasǎ C1 , ψ : W2 → W1 cu proprietǎt¸ile:
ψ(t, X(t; t0, X ′ )) ≡ (t, X ′ ) ¸si X(t; t0, ψ(t, X ′′ )) ≡ X ′′ (∀) (t, X ′ ) ∈
W1 ¸si (t, X ′′ ) ∈ W2.
Componentele scalare ψk ale funct¸iei ψ rǎmân constante atunci când
x1, ..., xn se înlocuie¸ste cu o solut¸ie a sistemului definitǎ în vecinǎtatea consideratǎ,
deci ψk sunt integrale prime. În plus ψ(t0, X ′ ) = (t0, X ′ ) de unde
∂ψk
rezultǎ cǎ rang = n. Adicǎ integrabile prime ψ1, ..., ψn sunt inde-
pendente.
∂x ′ r

160 CAPITOLUL 4
Fie acum U o integralǎ primǎ oarecare a sistemului (4.1). Conform
definit¸iei U(t, X(t; t0, X ′ )) nu depinde de t ¸si putem scrie
U(t, X(t; t0, X ′ )) = h(X ′ ).
Înlocuind X ′ cu ψ(t, X ′′ ) ¸si t¸inând seama de egalitatea
obt¸inem:
X(t; t0, ψ(t, X ′′ )) ≡ X ′′
U(t, X ′′ ) = h(ψ(t, X ′′ )).
Aceastǎ din urmǎ egalitate aratǎ cǎ integrala primǎ U este o funct¸ie h de
cele n integrale prime independente ψ1, ..., ψn.
O metodǎ de determinare a integralelor prime este datǎ de ecuat¸ia:
∂U
∂t +
n ∂U
· fi = 0
∂xi
i=1
În aceastǎ ecuat¸ie U este funct¸ie necunoscutǎ ¸si intervine în ecuat¸ie prin intermediul
derivatelor part¸iale de ordinul întâi. De aceea ecuat¸ia aceasta se
nume¸ste ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi. Orice solut¸ie a acestei
ecuat¸ii este o integralǎ primǎ.
Observǎm cǎ dacǎ funct¸iile µ0, µ1, ..., µn sunt astfel ca
µ0 +
n
µi · fi = 0
1
¸si existǎ o funct¸ie U cu proprietatea ∂U
∂t = µ0 ¸si ∂U
= µi, atunci funct¸ia U
∂xi
este integralǎ primǎ pentru sistemul (4.19).

Integrale prime 161
Exercit¸ii:
1. Fie sistemul de ecuat¸ii: ⎧ ⎨
2.
⎩
Sǎ se determine o integralǎ primǎ.
⎧
⎪⎨
µ0 = 0, µ1 = x1, µ2 = x2
R:
⎪⎩ U(x1, x2) = 1
2 (x21 + x 2 2)
x1 ˙ = x2
x2 ˙ = −x1
În descrierea mi¸scǎrii solidului rigid intervine sistemul:
⎧
⎨
⎩
A · ˙p = (B − C)g · r
B · ˙q = (C − A)r · p
C · ˙r = (A − B)p · q
Sǎ se determine douǎ integrale prime pentru sistemul considerat.
R: U1(p, q, r) = Ap 2 +Bq 2 +cr 2 ¸si U2(p, q, r) = A 2 p 2 +B 2 q 2 +C 2 r 2 .
3. Sǎ se determine douǎ integrale prime pentru sistemul:
a) dx
x
= −dy
2y
= dz
−z
R:U1(x, y, z) = x √ y ¸si U2(x, y, z) = xz.
b)
dx
z − y
= dy
x − z
= dz
y − x
R: U1(x, y, z) = x + y + z ¸si U2(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 .
c)
dx
x 2 (y + z) =
dy
−y 2 (z + x) =
dz
z 2 (y − x)
R: U1(x, y, z) = xyz ¸si U2(x, y, z) = 1 1 1
+ +
x y z .

162 CAPITOLUL 4
d)
dx dy
=
xy2 x2y =
dz
z(x 2 + y 2 )
R: U1(x, y, z) = x 2 − y 2 ¸si U2(x, y, z) = xy
z .

Capitolul 5
Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de
ordinul întâi
5.1 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi
liniare
Definit¸ia 5.1.1 O ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniarǎ este
o relat¸ie de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ de forma:
n ∂u
· fi(x0, x1, . . .,xn) = 0 (5.1)
∂xi
i=0
între derivatele part¸iale de ordinul întâi ale funct¸iei necunoscute
u = u(x0, x1, . . .,xn).
Funct¸iile f0, f1, . . .,fn în ecuat¸ia (5.1) fi : Ω ⊂ IR n+1 → IR 1 se considerǎ
cunoscute ¸si sunt presupuse funct¸ii de clasǎ C 1 pe Ω.
Definit¸ia 5.1.2 O solut¸ie a ecuat¸iei (5.1) este o funct¸ie
u : Ω ′ ⊂ Ω → IR 1
de clasǎ C1 astfel încât în toate punctele (x0, x1, . . .,xn) ∈ Ω sǎ avem verificatǎ
identitatea:
n ∂u
(x0, x1, . . .,xn) · fi(x0, x1, . . .,xn) ≡ 0
∂xi
i=0
163

164 CAPITOLUL 5
Fie ξ = (ξ0, ξ1, . . .,ξn) ∈ Ω astfel încât
n
i=0
f 2 i (ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0.
Existent¸a unui punct ξ ∈ Ω cu aceastǎ proprietate poate fi admisǎ pentru
cǎ, în caz contrar, toate funct¸iile fi ar fi identic nule pe Ω de unde ar rezulta
cǎ ecuat¸ia (5.1) este verificatǎ, oricare ar fi funct¸ia u de clasǎ C 1 pe Ω.
Putem admite de asemenea cǎ f0(ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0. Aceasta întrucât din
n
ipoteza fi(ξ0, ξ1, . . .,ξn) = 0 rezultǎ cǎ existǎ i0 ∈ {0, 1, . . ., n} astfel ca
i=0
fi0(ξ) = 0. Ceea ce presupunem noi în plus este faptul cǎ i0 = 0, adicǎ
f0(ξ) = 0.
Dacǎ f0(ξ) = 0, atunci se face rat¸ionamentul pentru fi0.
Revenim deci la f0(ξ) = 0 ¸si deoarece f0 este continuǎ, existǎ o vecinǎtate
Vξ a punctului ξ astfel ca f0(x) = 0 pentru orice x ∈ Vξ. Considerǎm acum
sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale:
unde
˙xi = gi(t, x1, . . .,xn), i = 1, n (5.2)
gi(t, x1, . . .,xn) = fi(t, x1, . . ., xn)
f0(t, x1, . . .,xn)
t fiind componenta x0 a vectorului x = (x0, x1, . . .,xn) ∈ Vξ, t = x0. Sistemul
(5.2) este definit pentru (t, x1, . . .,xn) ∈ Vξ,iar funct¸iile gi sunt de clasǎ C 1
pe Vξ.
Teorema 5.1.1 Solut¸iile ecuat¸iei (5.1) definite pe V ⊂ Vξ sunt integrale
prime ale sistemului (5.2) ¸si reciproc.
Demonstrat¸ie: Fie u : V → R 1 o solut¸ie a ecuat¸iei (5.1). Cu notat¸iile
introduse avem:
k=1
∂u
∂t (t, x1, . . .,xn) · f0(t, x1, . . .,xn)+
n ∂u
(t, x1, . . .,xn) · fk(t, x1, . . ., xn) ≡ 0
∂xk

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniare 165
deci
∂u
∂t (t, x1, . . .,xn) +
¸si prin urmare:
∂u
∂t (t, x1, . . .,xn) +
n
k=1
k=1
∂u
∂xk
(t, x1, . . .,xn) · fk(t, x1, . . ., xn)
f0(t, x1, . . .,xn)
≡ 0
n ∂u
(t, x1, . . .,xn) · gk(t, x1, . . .,xn) ≡ 0
∂xk
ceea ce aratǎ cǎ u este integralǎ primǎ a sistemului (5.2).
Cu un rat¸ionament asemǎnǎtor se aratǎ cǎ dacǎ u este integralǎ primǎ pentru
sistemul (5.2) atunci este solut¸ie pentru ecuat¸ia (5.1).
Prin urmare, problema determinǎrii solut¸iilor ecuat¸iei (5.1) revine la problema
determinǎrii integralelor prime pentru sistemul (5.2).
T¸inând seama de cele demonstrate pentru integralele prime ale unui sistem,
rezultǎ cǎ solut¸iile ecuat¸iei cu derivate part¸iale (5.1) au urmǎtoarele proprietǎt¸i:
i) oricare ar fi (x0 0 , x01 , . . ., x0n ) ∈ Ω, dacǎ f0(x0 0 , x01 , . . ., x0n ) = 0, atunci
existǎ o vecinǎtate deschisǎ V ⊂ Ω a punctului (x0 0, x0 1, . . .,x 0 n) ¸si n
funct¸ii u1, . . .,un : V → R1 de clasǎ C1 astfel încât:
a) u1, u2, . . .,un sunt solut¸ii ale ecuat¸iei (5.1);
b) uk(x 0 0 , x1, . . .,xn) = xk;
∂uk
c) det = 0, k, l = 1, 2, . . ., n.
∂xl
ii) dacǎ u este o solut¸ie oarecare a ecuat¸iei (5.1) definitǎ pe V ⊂ V ,
) ¸si o funct¸ie
atunci existǎ o vecinǎtate deschisǎ D a lui (x0 1 , . . .,x0 n
γ : D ⊂ IR n → R1 astfel ca
u(x0, x1, . . .,xn) =
= γ(u1(x0, x1, . . .,xn), u2(x0, x1, . . .,xn), . . ., un(x0, x1, . . .,xn)).
Definit¸ia 5.1.3 (Problema Cauchy pentru ecuat¸ia (5.1))
Se nume¸ste problemǎ Cauchy pentru ecuat¸ia (5.1) problema determinǎrii unei
solut¸ii u a ecuat¸iei (5.1) astfel ca
u(x 0 0 , x1, . . .,xn) = h(x1, . . .,xn), (∀)(x1, . . .,xn) ∈ D ′ ⊂ D,
unde x 0 0 ¸si funct¸ia h : D ⊂ IRn → R 1 de clasǎ C 1 sunt date; D fiind o
vecinǎtate deschisǎ a lui (x 0 1 , . . .,x0 n ).

166 CAPITOLUL 5
Teorema 5.1.2 Dacǎ în (x0 0 , x01 , . . ., x0n ) ∈ Ω avem
f0(x 0 0 , x01 , . . ., x0n ) = 0
atunci pentru h de clasǎ C 1 definitǎ într-o vecinǎtate deschisǎ D a lui (x 0 1 , . . .,x0 n )
problema Cauchy are solut¸ie unicǎ.
Demonstrat¸ie: Considerǎm solut¸iile u1, u2, . . .,un ale ecuat¸iei (5.1) definite
în vecinǎtatea deschisǎ V a lui (x0 0 , x01 , . . .,x0 n ) cu proprietatea
uk(x 0 0 , x1, . . .,xn) = xk, k = 1, . . .,n.
Existǎ o vecinǎtate V ⊂ V a lui (x0 0 , x01 , . . .,x0 n ) astfel ca pentru
(x0, x1, . . .,xn) ∈ V sǎ avem
Fie
(u1(x0, x1, . . ., xn), . . .,un(x0, x1, . . .,xn)) ∈ D.
u(x0, x1, . . .,xn) = h(u1(x0, x1, . . .,xn), . . ., un(x0, x1, . . .,xn)).
Funct¸ia u(x0, x1, . . ., xn) definitǎ astfel este de clasǎ C 1 ¸si verificǎ ecuat¸ia
(5.1):
∂u
∂x0
În plus,
· f 0 0 +
n
k=1
∂u
∂xk
· fk =
=
n ∂h
·
∂yl l=1
∂ul
n n ∂h
· f0 +
·
∂x0 ∂yl
k=1 l=1
∂ul
· fk =
∂xk
n
n
∂h ∂ul ∂ul
· f0 + · fk = 0.
∂yl ∂x0 ∂xk
l=1
u(x 0 0 , x1, . . .,xn) = h(u1(x 0 0 , x1, . . .,xn), . . .,un(x 0 0 , x1, . . .,xn)) =
= h(x1, . . ., xn)
deci u este solut¸ia problemei Cauchy.
Pentru unicitate sǎ presupunem cǎ u este o altǎ solut¸ie a problemei Cauchy
definitǎ pe V . Rezultǎ cǎ existǎ γ astfel ca
u(x0, x1, . . .,xn) = γ(u1(x0, x1, . . .,xn), . . ., un(x0, x1, . . .,xn)).
k=1

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniare 167
De aici rezultǎ cǎ
h(x1, . . ., xn) = u(x 0 0 , x1, . . ., xn) = γ(x1, . . ., xn);
¸si deci u coincide cu u.
Dacǎ în punctul (x0 0 , x01 , . . .,x0 n ) avem
fk(x 0 0 , x01 , . . .,x0 n ) = 0,
atunci se poate formula un rezultat analog pentru o funct¸ie h definitǎ pe o
vecinǎtate deschisǎ a punctului (x 0 0, x 0 1, . . ., x 0 k−1 , x0 k+1 , . . .,x0 n).
Problema 5.1.1
O funct¸ie u = u(x1, x2, . . .,xn) se zice funct¸ie omogenǎ de grad zero în sens
Euler dacǎ pentru orice λ ∈ IR 1 + avem
u(λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn) = u(x1, x2, . . .,xn).
Arǎtat¸i cǎ funct¸ia u = u(x1, x2, . . .,xn) de clasǎ C1 este omogenǎ de grad
zero în sens Euler dacǎ ¸si numai dacǎ existǎ γ = γ(ξ1, ξ2, . . ., ξn−1) astfel ca:
x1
u(x1, x2, . . .,xn) = γ ,
xn
x2
, . . .,
xn
xn−1
.
xn
Rezolvare: Din
u(λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn) = u(x1, x2, . . .,xn)
rezultǎ cǎ d
dλ [u(λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn)] = 0 adicǎ:
∂u
x1 (λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn) + . . .+
∂x1
∂u
xn (λ · x1, λ · x2, . . .,λ · xn) = 0, (∀)λ > 0.
∂xn
Pentru λ = 1 rezultǎ:
∂u
∂u
x1 (x1, x2, . . .,xn) + . . . + xn (x1, x2, . . .,xn) = 0, (∀)(x1, x2, . . .,xn),
∂x1
∂xn
de unde avem cǎ:
u(x1, x2, . . .,xn) = γ
x1
xn
, x2
, . . .,
xn
xn−1
.
xn

168 CAPITOLUL 5
Exercit¸ii:
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniare:
a) y · ∂u ∂u
− x ·
∂x ∂y
b) x · ∂u ∂u
+ y ·
∂x ∂y
= 0
R: u(x, y) = γ(x 2 + y 2 )
= 0
R: u(x, y) = γ
c) x · ∂u ∂u ∂u
− 2y · − z ·
∂x ∂y ∂z
y
x
= 0
R: u(x, y, z) = γ x √ y, xz
d) xy · ∂u
∂x − 1 − y2
y · ∂u
∂u
− z · = xy ·
∂y ∂z
∂u
∂z
R: u(x, y, z) = γ
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme Cauchy:
a) x · ∂u ∂u
+ y ·
∂x ∂y
= 0; u(x, 1) = x
2yz + x( y + 1 − y2
arcsin y , x · e
R: u(x, y) = x
y

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniare 169
b) √ x · ∂u
∂x + √ y · ∂u
∂y + √ z · ∂u
∂z
c) (1 + x2 ) · ∂u ∂u
+ xy ·
∂x ∂y
= 0; u(1, y, z) = y − z
R: u(x, y, z) = y + z − 2 √ yz
= 0; u(0, y) = y2
R: u(x, y) = y2
1 + x 2

170 CAPITOLUL 5
5.2 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi
cvasiliniare
Definit¸ia 5.2.1 O ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi cvasiliniarǎ
este o relat¸ie de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ de forma:
n ∂u
· fi(x1, . . .,xn, u) − g(x1, . . .,xn, u) = 0 (5.3)
∂xi
i=1
dintre funct¸ia necunoscutǎ u = u(x1, . . .,xn) ¸si derivatele part¸iale
∂u
,i = 1, n ale acesteia.
∂xi
Funct¸iile f1, . . ., fn ¸si g în ecuat¸ia (5.3) se considerǎ date:
fi, g : Ω ⊂ IR n+1 −→ R 1
¸si sunt presupuse de clasǎ C1 .
Ecuat¸ia (5.3) se nume¸ste cvasiliniarǎ pentru cǎ este liniarǎ în derivatele
part¸iale ∂u
, dar nu este liniarǎ în general în u.
∂xk
Definit¸ia 5.2.2 O solut¸ie a ecuat¸iei (5.3) este o funct¸ie:
u : D ⊂ R n −→ R 1
de clasǎ C 1 care are proprietatea cǎ pentru orice (x1, . . ., xn) ∈ D punctul
(x1, . . ., xn, u(x1, . . .,xn)) ∈ Ω ¸si
în D.
n ∂u
(x1, . . .,xn) · fi(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))−
∂xi
i=1
g(x1, . . ., xn, u(x1, . . .,xn)) ≡ 0
Pentru determinarea solut¸iilor ecuat¸iei (5.3) considerǎm ecuat¸ia cu derivate
part¸iale de ordinul întâi liniarǎ:
n
i=1
∂v
∂xi
cu (x1, . . ., xn, u) ∈ Ω
· fi(x1, . . .,xn, u) + ∂v
∂u · g(x1, . . .,xn, u) = 0 (5.4)

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi cvasiliniare 171
Teorema 5.2.1 Dacǎ v este solut¸ie a ecuat¸iei (5.4) defintǎ pe Ω ′ ⊂ Ω, iar
(x 0 1, . . .,x 0 n, u 0 ) ∈ Ω ′ ¸si
∂v
∂u (x0 1, . . .,x 0 n, u 0 ) = 0
atunci funct¸ia u = u(x1, . . .,xn) definitǎ implicit prin ecuat¸ia
este o solut¸ie a ecuat¸iei (5.3).
v(x1, . . .,xn, u) − v(x 0 1 , . . .,x0 n , u0 ) = 0
Demonstrat¸ie: Fie u = u(x1, . . .,xn) funct¸ia definitǎ implicit prin ecuat¸ia
Avem:
v(x1, . . .,xn, u) − v(x 0 1 , . . .,x0 n , u0 ) = 0.
v(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) − v(x 0 1 , . . .,x0 n , u0 ) ≡ 0
¸si prin derivare în raport cu xk gǎsim:
∂v
(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))+
∂xk
∂v
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . ., xn)) · ∂u
(x1, . . .,xn) ≡ 0
∂xk
pentru k = 1, 2, . . ., n.
Înmult¸ind pe rând aceste egalitǎt¸i cu fk(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) ¸si adunândule
gǎsim:
n ∂v
(X, u(X)) · fk(X, u(X))+
∂xk
k=1
∂v
(X, u(X)) ·
∂u
n ∂u
(X, u(X)) · fk(X, u(X)) ≡ 0
∂xk
k=1
unde X = (x1, . . .,xn).
Dar v fiind solut¸ie a ecuat¸iei (5.4) are loc
n ∂v
(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) · fk(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))+
∂xk
k=1

172 CAPITOLUL 5
+ ∂v
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) · g(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) ≡ 0
¸si prin urmare:
∂v
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) · g(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) =
∂v
∂u (x1, ..., xn, u(x1, ..., xn))·
n ∂u
(x1, ..., xn)·fk(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)).
∂xk
k=1
T¸inem seamǎ de faptul cǎ ∂v
∂u (x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)) = 0 deducem egalitatea:
n ∂u
(x1, ..., xn) · fi(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn))=g(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)).
∂xk
k=1
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia u = u(x1, . . .,xn) este solut¸ie a ecuat¸iei (5.3).
Teorema aratǎ cǎ rezolvarea ecuat¸iilor cvasiliniare cu derivate part¸iale de
ordinul întâi se reduce la rezolvarea ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul
întâi liniare.
Definit¸ia 5.2.3 Pentru (x0 1 , . . .,x0 n ) ∈ Ω problema gǎsirii unei solut¸ii
u(x1, . . .,xn) a ecuat¸iei (5.3) astfel încât
u(x 0 1 , x2, . . .,xn) = ξ(x2, . . .,xn),
ξ fiind o funct¸ie datǎ de clasǎ C 1 se nume¸ste problemǎ Cauchy pentru ecuat¸ia
(5.3).
Teorema 5.2.2 Dacǎ f1(x 0 1, . . .,x 0 n, ξ(x 0 2, . . .,x 0 n)) = 0, atunci existǎ o
vecinǎtate deschisǎ V a punctului (x 0 1 , . . .,x0 n ) ¸si o solut¸ie u=u(x1, ..., xn)
a ecuat¸iei (5.3) definitǎ pe V astfel încât
u(x 0 1 , x2, . . .,xn) = ξ(x2, . . .,xn).
Demonstrat¸ie: Existǎ n solut¸ii v1, v2, . . .,vn ale ecuat¸iei (5.4) definite pe o
vecinǎtate a punctului (x 0 1, . . .,x 0 n, ξ(x 0 2, . . .,x 0 n)) astfel încât
vk(x 0 1 , x2, . . .,xn, u) = xk+1, k = 1, 2, . . ., n − 1

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi cvasiliniare 173
¸si
Funct¸ia v definitǎ prin:
vn(x 0 1, x2, . . .,xn, u) = u.
v(x1, . . .,xn, u) = vn(x1, . . .,xn, u)−
−ξ(v1(x1, . . .,xn, u), . . ., vn−1(x1, . . .,xn, u))
este solut¸ie a ecuat¸iei (5.4) (este obt¸inutǎ ca funct¸ie de cele n integrale prime
independente) ¸si
v(x 0 1 , x2, . . .,xn, u) = u − ξ(x2, . . ., xn).
Din teorema funct¸iilor implicite rezultǎ cǎ existǎ o vecinǎtate V a punctului
(x 0 1, . . .,x 0 n) ¸si o funct¸ie u = u(x1, . . ., xn) de clasǎ C 1 definitǎ pe aceastǎ
vecinǎtate astfel încât
v(x1, . . ., xn, u(x1, . . ., xn)) ≡ 0.
Deoarece
∂v
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) = 0
din teorema precedentǎ rezultǎ cǎ u = u(x1, . . .,xn) este solut¸ie a ecuat¸iei
(5.3).
Avem:
v(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))−
−ξ(v1(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)), . . ., vn−1(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)) ≡ 0
deci în xi avem:
u(x 0 1, x2, . . .,xn) − ξ(x2, . . .,xn) ≡ 0.
Observat¸ia 5.2.1 O ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi de forma:
n ∂u
· fi = g (5.5)
∂xi
i=1
se nume¸ste ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniarǎ ¸si neomogenǎ.
Aceastǎ denumire se datoreazǎ faptului cǎ pentru g = 0 ecuat¸ia (5.5) este o
ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi liniarǎ (¸si omogenǎ). În ecuat¸ia
(5.5), funct¸iile f1, . . .,fn ¸si g sunt funct¸ii de clasǎ C1 ¸si depind de variabilele
(x1, . . .,xn) ∈ Ω.
Ecuat¸ia (5.5) se rezolvǎ ca ¸si ecuat¸iile cu derivate part¸iale de ordinul întâi
cvasiliniare.

174 CAPITOLUL 5
Exercit¸ii:
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi cvasiliniare:
a) ∂u
∂x · (1 + √ u − x − y) + ∂u
∂y
b)
n
i=1
xi · ∂u
∂xi
= 2
R: γ(u − 2y, y + 2 √ u − x − y) = 0
R: γ
= m · u
x1
xn
, x2
xn
, . . ., xn−1
xn
c) xy · ∂u
∂x − y2 · ∂u
∂y + x(1 + x2 ) = 0
R: γ
xy u + x2
2
d) 2y4 · ∂u ∂u
− xy ·
∂x ∂y = x√u2 + 1
, u
xm
= 0
n
x2
+ , xy = 0
4
R: γ x 2 + y 4 , y u + √ u 2 + 1 = 0
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme Cauchy:
a) ∂u ∂u
−
∂x ∂y
b) xy · ∂u
∂x − y2 · ∂u
∂y
y − x
= , u(1, y) = y2
u
R: u 2 (x, y, z) = (x + y − 1) 4 + 2xy − 2(x + y − 1)
= x, u(1, y) = 3
2y
R: u(x, y) = x2 + 2
2xy

Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi cvasiliniare 175
c) u · ∂u
∂x + (u2 − x 2 ) · ∂u
∂y + x = 0, u(x, x2 ) = 2x
R: y 2 + u 2 (x, y) = 5 (x · u(x, y) − y)

176 CAPITOLUL 5
5.3 Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor
cu derivate part¸iale de ordinul întâi
Pentru calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de
ordinul întâi Maple folose¸ste funct¸ia pdsolve (find solutions for partial
differential equations (PDEs) and systems of PDEs) cu una din urmǎtoarele
sintaxe :
pdsolve(PDE, f, INTEGRATE, build);
pdsolve(PDE system, funcs, other options);
în care:
PDE - ecuat¸ia cu derivate part¸iale pe care dorim sǎ o rezolvǎm
f - numele funct¸iei necunoscute (implicǎ existent¸a derivatelor
part¸iale ale mai multor funct¸ii)
INTEGRATE -(opt¸ional) indicǎ integrarea automatǎ a ecuat¸iilor
diferent¸iale ordinare care intervin atunci când PDE este
rezolvatǎ cu metoda separǎrii variabilelor
build - (opt¸ional) indicǎ afi¸sarea unei forme explicite (dacǎ
este posibil) a solut¸iei
Pentru exemplificare, considerǎm ecuat¸ia cu derivate part¸iale de ordinul întâi
liniarǎ:
y · ∂u ∂u
− x ·
∂x ∂y
= 0 (5.6)
Cu instruct¸iunea pdsolve se obt¸ine solut¸ia generalǎ (toate solut¸iile) a
ecuat¸iei:
> PDE1 := y*diff(u(x,y),x)-x*diff(u(x,y),y) = 0;
PDE1 := y ∂
∂ u (x, y) − x u (x, y) = 0
∂x ∂y
> pdsolve(PDE1);
u (x, y) = F1 (x 2 + y 2 )

Calculul simbolic al solut¸iilor ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul întâi 177
Se observǎ cǎ, solut¸ia generalǎ este afi¸satǎ cu ajutorul unei funct¸ii F1 care
poate fi orice funct¸ie de clasǎ C 1 . Pentru determinarea unei anumite solut¸ii
avem nevoie de o condit¸ie init¸ialǎ, dar în sintaxa funct¸iei pdsolve prezentatǎ
anterior nu existǎ nici un parametru care sǎ specifice utilizarea acesteia.
În cele ce urmeazǎ, vom mai determina solut¸ia generalǎ pentru o ecuat¸ie
cu derivate part¸iale de ordinul întâi în care funct¸ia necunoscutǎ este de trei
variabile x, y, z:
√ ∂u
x ·
∂x + √ y · ∂u
∂y + √ z · ∂u
= 0 (5.7)
∂z
> PDE3 :=sqrt(x)*diff(u(x,y,z),x)+sqrt(y)*diff(u(x,y,z),y)+
sqrt(z)*diff(u(x,y,z),z) = 0;
PDE3 := √ x ∂
∂xu (x, y, z) + √ y ∂
∂
u (x, y, z) + sqrtz u (x, y, z) = 0
∂y ∂z
> pdsolve(PDE3);
u (x, y, z) = F1 √ x − √ y, √ z − √ y

Capitolul 6
Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de
ordinul al doilea liniare
6.1 Clasificarea ecuat¸iilor cu derivate part¸iale
de ordinul al doilea liniare (clasificarea
problemelor de fizicǎ - matematicǎ)
Definit¸ia 6.1.1 O ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul al doilea liniarǎ
este o relat¸ie de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ de forma:
n n
aij · ∂2 n u
+ bi ·
∂xi∂xj
∂u
+ c · u + f = 0 (6.1)
∂xi
i=1
j=1
i=1
dintre funct¸ia necunoscutǎ u = u(x1, . . .,xn), derivatele part¸iale de ordinul
întâi ¸si de ordinul al doilea ale acesteia.
Funct¸iile aij, bi, c, f : Ω ⊂ IR n → IR 1 din ecuat¸ia (6.1) se considerǎ cunoscute
¸si sunt presupuse cel put¸in continue pe Ω.
Definit¸ia 6.1.2 O solut¸ie clasicǎ a ecuat¸iei (6.1) este o funct¸ie
u : D ⊂ Ω → IR 1 de clasǎ C 2 care are proprietatea cǎ pentru orice (x1, . . .,xn) ∈
D avem:
n
i=1
+
n
aij(x1, . . ., xn) · ∂2u (x1, . . ., xn)+
∂xi∂xj
j=1
n
bi(x1, . . .,xn) · ∂u
(x1, . . .,xn)+
∂xi
i=1
178

Clasificarea ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul al doilea liniare 179
+c(x1, . . ., xn) · u(x1, . . .,xn) + f(x1, . . .,xn) = 0.
Fie T : Ω → Ω ′ un difeomorfism de clasǎ C 2 de componente
ξk = ξk(x1, . . ., xn), k = 1, n ¸si u = u(x1, . . .,xn) o solut¸ie a ecuat¸iei (6.1).
Considerǎm funct¸ia v = u ◦T −1 ¸si din derivarea funct¸iilor compuse obt¸inem:
∂ 2 u
∂xi∂xj
=
n
k=1
n
l=1
∂u
∂xi
∂ 2 v
=
∂ξk∂ξl
n
k=1
· ∂ξk
∂xi
∂v
∂ξk
· ∂ξk
∂xi
· ∂ξl
∂xj
Înlocuind derivatele în ecuat¸ia (6.1) obt¸inem:
unde:
n
k=1
n
l=1
b =
akl ·
∂ 2 v
∂xk∂xl
akl =
n
i=1
n
i=1
bi · ∂ξk
∂xi
+
n
k=1
n
j=1
+
bk · ∂v
∂ξk
aij · ∂ξk
∂xi
n
i=1
n
j=1
+
n
k=1
∂v
∂ξk
· ∂2ξk .
∂xi∂xj
+ c · v + f = 0 (6.2)
· ∂ξl
∂xj
aij · ∂2ξk .
∂xi∂xj
Ecuat¸ia (6.2) este echivalentǎ cu ecuat¸ia (6.1), solut¸iile u ale ecuat¸iei (6.1)
obt¸inându-se din solut¸iile v ale ecuat¸iei (6.2) cu formula u = v ◦ T.
Pe de altǎ parte într-un punct oarecare, fixat (x0 1, . . .,x 0 n) ∈ Ω putem considera
forma pǎtraticǎ
n n
i=1
j=1
a 0 ij · yi · yj
unde a0 ij = aij(x0 1 , . . .,x0 n ). Prin schimbarea de variabile
k=1
l=1
i=1
j=1
yi =
n ∂ξk
k=1
∂xk
forma pǎtraticǎ consideratǎ se transformǎ în forma pǎtraticǎ:
n n
n n
a 0 ∂ξk
ij · ·
∂xi
∂ξl
n n
ηkηl = akl · ηkηl.
∂xj
· ηk
k=1
l=1

180 CAPITOLUL 6
Prin urmare, coeficient¸ii derivatelor part¸iale de ordinul al doilea se schimbǎ
la fel cu coeficient¸ii formei pǎtratice sub act¸iunea transformǎrii liniare:
yj =
n ∂ξk
· ηk.
∂xi
k=1
Se ¸stie cǎ, prin alegerea unei transformǎri liniare adecvate, forma pǎtraticǎ se
poate fi adusǎ la forma diagonalǎ:
aduce la forma canonicǎ (adicǎ matricea a 0 ij
|a 0 ii| = 1 sau 0 ¸si, a 0 ij = 0 dacǎ i = j). Aceasta înseamnǎ cǎ alegând în mod
adecvat transformarea ξk = ξk(x1, ..., xn), k = 1, n, coeficient¸ii derivatelor
part¸iale ∂2 v
∂ξ 2 k
în punctul ξk = ξk(x0 1 , ..., x0n ), k = 1, n vor fi egali cu +1, −1 sau
0, iar coeficient¸ii derivatelor part¸iale ∂2v vor fi nuli.
∂ξk∂ξl
Conform legii inert¸iei, numǎrul coeficient¸ilor a0 ii pozitivi, negativi sau nuli
nu depinde de transformarea liniarǎ care aduce forma pǎtraticǎ la forma
canonicǎ. Aceasta permite sǎ dǎm urmǎtoarea definit¸ie:
Definit¸ia 6.1.3
i) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este elipticǎ în punctul (x0 1 , . . .,x0 n ) dacǎ tot¸i
cei n coeficient¸i a0 ii sunt de acela¸si semn.
ii) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este hiperbolicǎ în punctul (x 0 1 , . . .,x0 n
) dacǎ
(n − 1) coeficient¸i a 0 ii au acela¸si semn ¸si unul din coeficient¸i are
semn contrar.
iii) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este ultra-hiperbolicǎ în punctul (x 0 1 , . . .,x0 n )
dacǎ printre coeficient¸ii a 0 ii existǎ m coeficient¸i de un semn ¸si n − m
coeficient¸i de semn contrar.
iv) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este parabolicǎ dacǎ cel put¸in unul din coeficient¸ii
a 0 ii este nul.
Observat¸ia 6.1.1 În acord cu definit¸ia anterioarǎ, ecuat¸ia (6.1) are una
dintre urmǎtoarele forme standard:
i) Ecuat¸ie de tip eliptic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):
∂ 2 v
∂ξ 2 1
+ ∂2 v
∂ξ 2 2
+ . . . + ∂2v + Φ = 0; (6.3)
∂ξn

Clasificarea ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul al doilea liniare 181
ii) Ecuat¸ie de tip hiperbolic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):
∂2v =
∂ξ1 n
i=2
∂ 2 v
∂ξ 2 i
iii) Ecuat¸ie de tip ultra-hiperbolic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):
m
i=1
iii) Ecuat¸ie de tip parabolic:
n−m
i=1
∂ 2 v
∂ξ 2 i
=
n
i=m+1
+ Φ; (6.4)
∂ 2 v
∂ξ 2 i
+ Φ; (6.5)
± ∂2v ∂ξ2
+ Φ = 0, (m > 0). (6.6)
i
Tipul ecuat¸iei (6.1) în (x0 1 , . . ., x0n ) se determinǎ prin aducerea formei pǎtratice:
n
i=1
n
j=1
a 0 ij yi yj
la forma canonicǎ. Ecuat¸ia poate fi adusǎ la una din formele standard prezentate
alegând transformarea ξk = ξk(x1, . . .,ξn), k = 1, n astfel încât transformarea
liniarǎ:
yi =
n ∂ξk
k=1
∂xi
(x 0 1 , . . .,xi n ) · ηk
sǎ aducǎ forma pǎtraticǎ la forma canonicǎ.
Sǎ examinǎm în continuare problema posibilitǎt¸ii aducerii ecuat¸iei (6.1)
la ”forma canonicǎ” (una din formele prezentate) într-o vecinǎtate a unui
punct (x1, . . .,xn), în condit¸iile în care în toate punctele acestei vecinǎtǎt¸i
ecuat¸ia apart¸ine aceluia¸si tip.
Pentru a aduce ecuat¸ia (6.1) la forma canonicǎ într-un anumit domeniu ar
trebui, în primul rând, sǎ impunem funct¸iilor ξk(x1 . . .,xn), k = 1, n condit¸iile
n(n − 1)
diferent¸iale akl = 0 pentru k = l. Numǎrul acestor condit¸ii este
2
¸si este mai mic decât n (n reprezintǎ numǎrul funct¸iilor ξk, k = 1, n) dacǎ
n < 3. De aceea pentru n > 3 ecuat¸ia (6.1) nu poate fi adusǎ la forma

182 CAPITOLUL 6
canonicǎ în vecinǎtatea unui punct (x1, . . .,xn).
Pentru n = 3 elementele nediagonale ar putea fi anulate în general, însǎ elementele
diagonale ar putea fi diferite de ±1,0. Deci, nici în acest caz, ecuat¸ia
(6.1) nu poate fi adusǎ la forma canonicǎ în vecinǎtatea unui punct.
Doar pentru n = 2, putem anula unicul coeficient nediagonal ¸si satisface
condit¸ia de egalitate a celor doi coeficient¸i diagonali. Aceasta înseamnǎ
cǎ doar în cazul n = 2 putem aduce ecuat¸ia cu derivate part¸iale la forma
canonicǎ pe o vecinǎtate.
Exercit¸ii
1. Aducet¸i la forma canonicǎ ecuat¸ia:
a11 · ∂2u ∂x2 + 2a12 · ∂2u ∂x∂y + a22 · ∂2u ∂y2 + b1 · ∂u
∂x + b2 · ∂u
+ c · u + f(x, y) = 0
∂y
unde aij, bi, c sunt constante.
R: Scriind ecuat¸ia caracteristicǎ asociatǎ:
a11
2 dy
− 2a12
dx
dy
+ a22 = 0
dx
se obt¸ine discriminantul: ∆ = (a12) 2 − a11 · a22.
- dacǎ ∆ > 0 (cazul ecuat¸iei hiperbolice), atunci ecuat¸ia caracteristicǎ
are douǎ rǎdǎcini reale:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dy
dx = a12 + (a12) 2 − a11 · a22
a11
dy
dx = a12 − (a12) 2 − a11 · a22
a11
Se rezolvǎ aceste ecuat¸ii diferent¸iale ordinare ¸si se obt¸ine
f(x, y) = c1, respectiv g(x, y) = c2.
Schimbarea de variabile care ne va duce la forma canonicǎ va fi:
ξ(x, y) = f(x, y)
η(x, y) = g(x, y).

Clasificarea ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul al doilea liniare 183
- dacǎ ∆ = 0 (cazul ecuat¸iei parabolice), atunci ecuat¸ia caracteristicǎ are
douǎ rǎdǎcini reale egale:
dy
dx
a12
= .
a11
Rezolvând aceastǎ ecuat¸ie diferent¸ialǎ ordinarǎ se obt¸ine
f(x, y) = c1 care ne va conduce la schimbarea de variabilǎ
ξ(x, y) = f(x, y). Pentru η(x, y) se alege convenabil o funct¸ie g(x, y)
astfel încât sǎ fie îndeplinite proprietǎt¸ile schimbǎrii de variabile, de
exemplu:
ξ(x, y) = f(x, y)
η(x, y) = x
ξ(x, y) = f(x, y)
η(x, y) = y.
- dacǎ ∆ < 0 (cazul ecuat¸iei eliptice), atunci ecuat¸ia caracteristicǎ are
douǎ rǎdǎcini complexe:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dy
dx
dy
dx
a12
= + i
a11
a11 · a22 − (a12) 2
a12
= − i
a11
a11 · a22 − (a12) 2
Rezolvând aceste ecuat¸ii diferent¸iale ordinare se obt¸in
α(x, y) ± iβ(x, y) = τ care ne va conduce la schimbarea de variabilǎ:
ξ(x, y) = α(x, y)
η(x, y) = β(x, y).
2. Sǎ se gǎseascǎ domeniile de elipticitate, hiperbolicitate ¸si parabolicitate
ale ecuat¸iei:
y · ∂2 u
∂x2 + x · ∂2u ∂y
R: Deoarece ∆ = b 2 − ac = −xy avem cǎ:
2 = 0
- ecuat¸ia este de tip hiperbolic (∆ > 0) în cadranele II ¸si IV;
- ecuat¸ia este de tip eliptic (∆ < 0) în cadranele I ¸si III.

184 CAPITOLUL 6
3. Sǎ se aducǎ la forma canonicǎ ecuat¸iile:
a) ∂2 u
∂x 2 + 2 · ∂2 u
∂x∂y + ∂2u = 0
∂y2 R: Ecuat¸ia este de tip parabolic (∆ = 0); forma canonicǎ este: ∂2v = 0;
∂η2 b) x2 · ∂2u ∂x2 − 4 · y2 · ∂u
∂y
= 0, x, y > 0
2
R: Ecuat¸ia este de tip hiperbolic (∆ > 0); forma canonicǎ este:
∂2v 3 ∂v 1 ∂v
− · − · = 0;
∂ξ∂η 8 ∂ξ 8 ∂η
c) x2∂2u = 0, x, y > 0
2
R: Ecuat¸ia este de tip eliptic (∆ < 0); forma canonicǎ este:
∂2v ∂ξ2 + ∂2v ∂v 1 ∂v
− + · = 0;
∂η2 ∂ξ 2 ∂η
∂x2 + 4 · y2 · ∂2u ∂y

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 185
6.2 Formulele lui Green ¸si formule
de reprezentare în douǎ dimensiuni
În acest paragraf prezentǎm câteva rezultate de calcul diferent¸ial ¸si integral
pentru funct¸ii de douǎ variabile, care intervin frecvent în rezolvarea E.D.P
în douǎ dimensiuni.
Teorema 6.2.1 (legǎtura dintre integrala dublǎ pe un domeniu mǎrginit în
IR 2 ¸si integrala curbilinie pe frontiera acestuia)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ), iar funct¸iile P, Q : Ω → IR 1 sunt continue pe Ω ¸si de clasǎ C 1 în Ω,
atunci are loc urmǎtoarea egalitate:
∂P
+
Ω ∂x1
∂Q
dx1dx2 =
∂x2
∂Ω
(P · cosα1 + Q · cosα2)ds (6.7)
în care: αi este unghiul dintre versorul n al normalei exterioare la ∂Ω ¸si axa
ei, iar ds este mǎsura elementului de arc pe curba ∂Ω.
Demonstrat¸ie: Aceastǎ teoremǎ este obiectul cursului de analizǎ matematicǎ
din anul I. Aici redǎm doar cîteva idei din demonstrat¸ia acestei teoreme.
Mai întâi, reamintim cǎ egalitatea (6.7) se obt¸ine prin adunarea egalitǎt¸ilor:
∂P
dx1dx2 = P · cosα1 · ds
Ω∂x1
∂Ω
(6.8)
∂Q
dx1dx2 = Q · cosα2 · ds
∂x2
Ω
∂Ω
¸si prin urmare demonstrat¸ia egalitǎt¸ii (6.7) revine la demonstrat¸ia egalitǎt¸ilor
(6.8).
Prima dintre egalitǎt¸ile (6.8) se obt¸ine calculând integrala dublǎ ca o
integralǎ iteratǎ ¸si interpretând apoi cele obt¸inute ca o integralǎ curbilinie.
Astfel avem:
Ω
=
∂P
dx1dx2 =
∂x1
d
c
d
c
x +
1 (x2)
x −
1 (x2)
∂P
dx1 dx2 =
∂x1
P(x + 1 (x2), x2) − P(x − 1 (x2), x2) dx2

186 CAPITOLUL 6
în care intervin curbele:
Γ + :
x1 = x + 1 (x2)
x2 = x2
Γ − :
x1 = x − 1 (x2)
x2 = x2
Figura 29. Ilustrarea elementelor ce intervin in formula lui Green
Pe figurǎ se vede cǎ avem
¸si rezultǎ astfel în continuare:
=
cosα1 = cos∢(τ, Ox2) =
d
c
1
+
dx 1
1 +
dx2
2
P(x + 1 (x2), x2) − P(x − 1 (x2), x2) dx2 =
d
P(x
c
+ 1 (x2), x2) · cosα1 ·
+
dx 1
1 +
dx2
2
dx2+

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 187
+
d
P(x
c
− 1 (x2), x2) · cosα1 ·
−
dx1 1 +
dx2
A doua egalitate din (6.8) se obt¸ine asemǎnǎtor.
2
dx2 =
∂Ω
P cosα1ds
Teorema 6.2.2 (de integrare prin pǎrt¸i)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 ¸si frontiera ∂Ω a lui Ω este netedǎ
(part¸ial netedǎ), iar P, Q : Ω → IR 1 sunt funct¸ii continue pe Ω ¸si de clasǎ C 1
în Ω atunci au loc egalitǎt¸ile:
∂P
· Qdx1dx2 = P · Q · cosαids −
Ω∂xi
∂Ω
Demonstrat¸ie: Pe de o parte avem:
∂
∂P
· (P · Q)dx1dx2 = · Qdx1dx2 +
Ω∂xi
Ω∂xi
iar pe de altǎ parte avem:
∂
· (P · Q)dx1dx2 =
∂xi
Prin egalare rezultǎ egalitatea:
∂P
· Qdx1dx2 +
∂xi
Ω
Ω
de unde rezultǎ (6.9).
Ω
∂Ω
Ω
∂Q
· Pdx1dx2 =
∂xi
P ∂Q
dx1dx2, i = 1, 2 (6.9)
∂xi
Ω
P · Q · cosαi · ds.
∂Ω
∂Q
· Pdx1dx2,
∂xi
P · Q cosαi · ds
Teorema 6.2.3 (prima formulǎ a lui Green)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 ¸si frontiera ∂Ω a lui Ω este netedǎ
(part¸ial netedǎ), iar funct¸iile P, Q : Ω → IR 1 sunt de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de
clasǎ C2 în Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate:
P∆Qdx1dx2 = P ·
Ω
∂Ω
∂Q
ds − ∇P · ∇Qdx1dx2
∂n Ω
Demonstrat¸ie:
adicǎ:
(6.10)
În formula (6.10): ∆Q reprezintǎ Laplacianul funct¸iei Q
∆Q = ∂2 Q
∂x 2 1
+ ∂2Q ∂x2 ,
2

188 CAPITOLUL 6
iar ∂Q
∂n
este derivata normalǎ definitǎ pe ∂Ω prin:
∂Q
∂n
∂Q
= · n1 +
∂x1
∂Q
∂x2
· n2 =
= ∂Q
· cosα1 +
∂x1
∂Q
∂x2
· cosα2
cosαi =< n, ei >= ni, i = 1, 2; ∇P ¸si ∇Q sunt funct¸iile vectoriale (gradient¸ii
funct¸iilor P ¸si Q) definite prin:
∇P = ∂P
∂x1
∇Q = ∂Q
∂x1
· e1 + ∂P
∂x2
· e1 + ∂Q
∂x2
Pentru demonstrat¸ie se calculeazǎ membrul stâng al egalitǎt¸ii (6.10) t¸inând
seama de formula de integrare prin pǎrt¸i (6.9) ¸si se obt¸ine:
∂ ∂Q
P · ∆Qdx1dx2 = P
Ω
Ω ∂x1 ∂x1
= P · cosα1 ·
∂Ω
∂Q
∂x1
+ P · cosα2 ·
∂Ω
∂Q
∂x2
∂Q
= P ·
∂x1
· e2
· e2.
+ ∂
∂x2
ds −
ds −
∂Q
dx1dx2 =
∂x2
Ω
Ω
∂P
∂x1
· ∂Q
dx1dx2 +
∂x1
∂P
·
∂x2
∂Q
dx1dx2 =
∂x2
· cosα2 ds −
· cos α1 +
∂Ω
∂Q
∂x2
∂P
− ·
Ω ∂x1
∂Q
dx1dx2 +
∂x1
∂P
·
∂x2
∂Q
dx1dx2 =
∂x2
∂Q
= P · · cos α1 +
∂Ω ∂x1
∂Q
· cosα2 ds−
∂x2
− ∇P · ∇Qdx1dx2 =
Ω

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 189
=
∂Ω
P · ∂Q
ds − ∇P · ∇Qdx1dx2.
∂n Ω
Teorema 6.2.4 (cea de-a doua formulǎ a lui Green)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ), iar funct¸iile P, Q : Ω → IR 1 sunt de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de clasǎ C 2 în
Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate:
(P∆Q − Q∆P)dx1dx2 =
Ω
∂Ω
P · ∂Q
∂P
− Q · ds. (6.11)
∂n ∂n
Demonstrat¸ie: Egalitatea (6.11) se obt¸ine scriind egalitatea (6.10) pentru
funct¸iile P · ∇Q ¸si Q · ∇P dupǎ care se face diferent¸a acestora.
Teorema 6.2.5 (de reprezentare a unei funct¸ii de douǎ variabile)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si funct¸ia u : Ω → IR 1 este de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de clasǎ C 2 în Ω
atunci pentru orice X = (x1, x2) ∈ Ω are loc urmǎtoarea egalitate:
u(X) = − 1
1
ln
2π Ω X − Y · ∆u(Y )dy1dy2 +
+ 1
1 ∂u
ln · (Y )dsY −
2π ∂Ω X − Y ∂nY
− 1
u(Y ) ·
2π
∂
1
ln dsY . (6.12)
∂nY X − Y
Demonstrat¸ie: Funct¸ia
∂Ω
E(X) = − 1 1
ln
2π X
definitǎ pentru orice X ∈ IR 2 , X = 0 este de clasǎ C 2 pe IR 2 \ {0} ¸si are
proprietatea ∆E = 0. Pentru X ∈ IR 2 , X-fixat considerǎm funct¸ia:
E(X − Y ) = − 1
2π ln
1
X − Y
definitǎ pentru orice Y ∈ IR 2 \ {X}. Aceastǎ funct¸ie de Y este de clasǎ C 2
¸si are proprietatea ∆Y E(X − Y ) = 0. De asemenea, pentru orice Y ∈ IR 2 ,

190 CAPITOLUL 6
Y -fixat funct¸ia E(X − Y ) = − 1
2π ln
1
X − Y
definitǎ pentru orice X ∈
IR 2 , X = Y este de clasǎ C 2 ¸si verificǎ ∆XE(X − Y ) = 0.
Considerǎm X ∈ Ω, X-fixat ¸si ε > 0 astfel ca, pentru orice Y cu X−Y ≤ ε,
sǎ avem Y ∈ Ω. Notǎm cu B(X, ε) discul centrat în X de razǎ ε:
B(X, ε) = {Y : X − Y ≤ ε}
¸si domeniul Ωε = Ω − B(X, ε). Considerǎm funct¸iile
Y ↦−→ u(Y ) ¸si Y ↦−→ − 1
2π ln
1
X − Y
= E(X − Y ).
Pe domeniul Ωε, ambele funct¸ii sunt de clasǎ C 2 , iar pe Ωε sunt de clasǎ C 1 .
Scriem cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funct¸ii ¸si obt¸inem:
− 1
1
ln
2π Ωε X − Y · (∆u)(Y )dy1dy2 =
= − 1
1 ∂u
ln · (Y )dsY +
2π ∂Ωε X − Y ∂nY
1
u(Y ) ·
2π ∂Ωε
∂
∂nY
1
ln
· dsY .
X − Y
Frontiera ∂Ωε a mult¸imii Ωε are douǎ pǎrt¸i: ∂Ωε = ∂Ω ∪ Sε unde Sε =
{Y : Y −X = ε}, astfel cǎ integralele din membru drept al acestei egalitǎt¸i
se pot scrie dupǎ cum urmeazǎ:
− 1
2π
= − 1
2π
= − 1
2π
∂Ωε
∂Ω
∂Ω
1 ∂u
ln · (Y )dsY =
X − Y ∂nY
1 ∂u
ln · dsY −
X − Y ∂nY
1
1 ∂u
ln · dsY =
2π Sε X − Y ∂nY
1 ∂u
ln · (Y )dsY +
X − Y ∂nY
1 ∂n
lnε · 2πε · (Y
2π ∂nY
∗ ).

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 191
1
u(Y ) ·
2π ∂Ωε
∂
∂nY
= 1
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂
∂nY
+ 1
u(Y ) ·
2π Sε
∂
∂nY
= 1
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂
∂nY
+ 1
u(Y ) ·
2π Sε
= 1
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂
∂nY
+ 1
u(Y ) ·
2π Sε
1
ln dsY =
X − Y
1
ln dsY +
X − Y
1
ln dsY =
X − Y
1
ln
· dsY +
X − Y
x1 − y1
X − Y 2 · cosα1 + x2
− y2
· cos α2 dsY =
X − Y 2
ln
1
· dsY +
X − Y
(x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2
X − Y 3
dsY =
= 1
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂
1
ln dsY +
∂n X − Y
1
1
u(Y ) ·
2π Sε X − Y dsY =
= 1
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂
∂nY
Pentru ε ↦−→ 0 rezultǎ:
lim
ε→0
1
ln dsY +
X − Y
1
u(Y )dsY
2πε Sε
− 1
2π
= − 1
2π
∂Ωε
ln
∂Ω
1 ∂u
· u(Y )dsY =
X − Y ∂nY
ln
1 ∂u
· u(Y )dsY .
X − Y ∂nY

192 CAPITOLUL 6
lim
ε→0
1
u(Y ) ·
2π ∂Ωε
∂
1
ln dsY =
∂nY X − Y
= 1
2π
∂Ω
u(Y ) · ∂
1
ln dsY + u(X).
∂nY X − Y
Rezultǎ de aici cǎ avem:
− 1
1
ln
2π Ω X − Y · (∆u)(Y )dy1dy2 =
= − 1
1 ∂u
ln · (Y )dsY +
2π ∂Ω X − Y ∂nY
1
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂
1
ln dsY + u(X),
∂nY X − Y
sau
u(X) = − 1
1
ln · (∆u)(Y )dy1dy2+
2π Ω X − Y
+ 1
1 ∂u
ln · (Y )dsY −
2π ∂Ω X − Y ∂nY
− 1
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂
∂nY
1
ln dsY
X − Y
Comentariu: Aceastǎ formulǎ de reprezentare permite determinarea funct¸iei
u în toate punctele lui Ω cunoscând urmǎtoarele elemente: Laplacianul
funct¸iei u pe Ω, valorile derivatei normale ∂u
pe frontiera ∂Ω ¸si valorile
funct¸iei u pe frontiera ∂Ω.
Vom arǎta în continuare important¸a acestei formule de reprezentare pentru
cazul funct¸iilor armonice.
∂n

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 193
Definit¸ia 6.2.1 Zicem cǎ o funct¸ie u : Ω → IR 1 este armonicǎ în Ω dacǎ
funct¸ia u este de clasǎ C2 ¸si ∆u = 0, (∀)(x1, x2) ∈ Ω unde ∆u reprezintǎ
Laplacianul funct¸iei u:
∆u = ∂2u ∂x2 +
1
∂2u ∂x2 .
2
Observat¸ia 6.2.1 În condit¸iile din teorema de reprezentare (6.2.5) dacǎ
funct¸ia u este armonicǎ în Ω ¸si de clasǎ C1 pe ¯ Ω atunci avem:
u(X) = 1
1 ∂u
ln · (Y )dsY −
2π ∂Ω X − Y ∂nY
− 1
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂
1
ln dsY
∂nY X − Y
Teorema 6.2.6 (de reprezentare a funct¸iilor armonice)
Dacǎ u : Ω ⊂ IR 2 → IR 1 este o funct¸ie armonicǎ pe domeniul Ω atunci
(∀)X ∈ Ω ¸si (∀)r > 0 pentru care discul:
este inclus în Ω, are loc egalitatea:
B(X, r) = {Y : Y − X ≤ r}
u(X) = 1
2πr
∂B(X,r)
u(Y )dsY
(6.13)
Demonstrat¸ie: Scriind formula de reprezentare (6.12) pentru funct¸ia armonicǎ
u pe B(X, r) se obt¸ine egalitatea:
u(X) = 1
ln
2π
1 ∂u
· (Y )dsY +
r ∂nY
1
u(Y ) ·
2π
1
r dsY
sau
∂B(X,r)
∂B(X,r)
u(X) = 1
u(Y )dsY +
2πr ∂B(X,r)
1
1
· ln
2π r ∂B(X,r)
Arǎtǎm în continuare cǎ
∂B(X,r)
∂u
(Y )dsY = 0.
∂nY
∂u
(Y )dsY .
∂nY

194 CAPITOLUL 6
Pentru aceasta, considerǎm pe discul B(X, r) funct¸iile P ≡ 1 ¸si Q = u ¸si
aplicǎm prima formulǎ a lui Green:
P · ∆Qdy1dy2 = P ·
B(X,r)
∂B(X,r)
∂Q
dsY − ∇P · ∇Qdy1dy2
∂nY B(X,r)
de unde se obt¸ine:
0 =
∂B(X,r)
P · ∂Q
dsY =
∂nY ∂B(X,r)
∂u
dsY .
∂nY
Observat¸ia 6.2.2 Din demonstrat¸ie rezultǎ cǎ integrala derivatei normale
a unei funct¸ii armonice pe un cerc este zero:
∂u
(Y )dsY = 0.
∂B(X,r) ∂nY
Acest rezultat se poate generaliza.
Consecint¸a 6.2.1 Dacǎ u este o funct¸ie armonicǎ de clasǎ C 2 pe Ω ¸si este
de clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea:
∂Ω
∂u
(Y )dsY = 0.
∂nY
Demonstrat¸ie: Pentru a demonstra aceastǎ egalitate se aplicǎ prima formulǎ
a lui Green în cazul funct¸iilor P ≡ 1 ¸si Q = u:
P · ∆Qdx1dx2 = P ·
Ω
∂Ω
∂Q
dsY − ∇P · ∇Qdx1dx2
∂nY Ω
adicǎ
0= 1 · ∆udx1dx2= 1 ·
Ω
∂Ω
∂u
∂u
dsY − ∇1 · ∇udx1dx2= dsY .
∂nY Ω
∂Ω ∂nY
O altǎ proprietate importantǎ a funct¸iilor armonice se referǎ la localizarea
punctelor în care aceste funct¸ii î¸si ating extremele:
Teorema 6.2.7 (teorema de extrem a funct¸iilor armonice)
Dacǎ Ω ∈ IR 2 este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ ¸si funct¸ia
armonicǎ u : Ω → IR 1 este de clasǎ C 1 pe Ω, atunci u este constantǎ pe Ω
sau î¸si atinge extremele pe frontiera ∂Ω.

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 195
Demonstrat¸ie: Presupunem cǎ funct¸ia u nu este constantǎ pe Ω ¸si dorim
sǎ arǎtǎm cǎ u î¸si atinge extremele pe ∂Ω. Rat¸ionǎm prin reducere la absurd
¸si admitem cǎ, existǎ X 0 ∈ Ω astfel încât oricare ar fi X ∈ Ω avem
u(X) ≤ u(X 0 ).
Considerǎm r0 > 0 astfel încât
B(X 0 , r0) = {Y : Y − X 0 ≤ r0} ⊂ Ω
¸si arǎtǎm cǎ u este constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r0).
Dacǎ u nu ar fi constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r0) atunci ar exista
X 1 ∈ B(X 0 , r0) astfel încât u(X 1 ) < u(X 0 ). Pentru X 1 , existǎ r1 > 0 astfel
încât pentru orice X ∈ B(X 1 , r1) avem:
u(X) < 1
0 1
u(X ) + u(X ) .
2
Putem admite cǎ r1 < min{r0 − X 1 − X 0 , X 1 − X 0 } ¸si considerǎm
numǎrul ρ = X 1 − X 0 > 0. Aplicǎm formula de reprezentare a lui u(X 0 )
pe ∂B(X 0 , ρ) ¸si gǎsim:
u(X 0 ) = 1
2πρ
∂B(X 0 ,ρ)
Frontiera ∂B(X 0 , ρ) se descompune astfel:
u(Y )dsY .
∂B(X 0 , ρ) = ∂B(X 0 , ρ) ∩ B(X 1 , r1) ∪ B(X 0 , ρ) ∩ (Ω \ B(X 1 , r1)) = σ1 ∪ σ2
¸si cu aceastǎ descompunere formula de reprezentare devine:
u(X0 ) = 1
2πρ ds
u(Y )dsY + 1
2πρ
u(Y )dsY <
σ1
σ2
< 1
1
0 1
· u(X ) + u(X ) · dsY +
2πρ 2
σ1
1
2πρ · u(X0
) · dsY <
σ2
< 1
2πρ · u(X0 ) · 2πρ = u(X 0 ) absurd.
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia u este constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r).
Pentru a arǎta în continuare cǎ pentru orice X ∈ Ω avem u(X) = u(X 0 ) fie

196 CAPITOLUL 6
X∗ ∈ Ω oarecare, X∗ fixat ¸si P o linie poligonalǎ cont¸inutǎ în Ω care leagǎ
punctele X0 ¸si X∗ . Fie de asemenea un sens de parcurs pe linia poligonalǎ
P de la X0 la X∗ . Mult¸imile P ¸si ∂Ω sunt compacte ¸si nu au nici un punct
comun. Prin urmare existǎ r > 0 astfel încât pentru orice X ∈ P discul
închis: B(X, r) = {Y : Y − X ≤ r0} este inclus în Ω; B(X, r) ⊂ Ω. Fie
X2 punctul de intersect¸ie dintre linia poligonalǎ P ¸si frontiera bilei B(X0 , r0)
primul întâlnit pe direct¸ia de parcurs de la X0 la X∗ . În X2 avem
u(X2 ) = u(X0 ) ¸si rezultǎ de aici cǎ pentru orice X ∈ B(X2 , r) avem
u(X) = u(X0 ). Astfel se obt¸ine egalitatea u(X) = u(X0 ) pentru orice
X ∈ B(X0 , r0) ∪ B(X2 , r).
În continuare se considerǎ punctul de intersect¸ie X3 dintre P ¸si ∂B(X 2 , r)
primul întâlnit pe direct¸ia de parcurs X2 , X∗ . În X3 avem u(X3 ) = u(X0 )
¸si rezultǎ u(X) = u(X 0 ) pentru orice X ∈ B(X 3 , r).
În acest fel, dupǎ un
numǎr finit de pa¸si se ajunge la punctul X ∗ capǎtul liniei poligonale P ¸si la
egalitatea u(X ∗ ) = u(X 0 ). Dar aceasta înseamnǎ cǎ funct¸ia u este constantǎ
pe Ω ceea ce este absurd.
S-a demonstrat în acest fel cǎ dacǎ funct¸ia armonicǎ u pe Ω î¸si atinge maximul
într-un punct X 0 ∈ Ω, atunci u este constantǎ pe Ω.
Prin urmare: dacǎ o funct¸ie armonicǎ nu este constantǎ pe Ω, atunci î¸si
atinge extremele pe ∂Ω.
Consecint¸a 6.2.2 Dacǎ funct¸ia u este armonicǎ pe Ω ¸si u/∂Ω = 0 atunci
u ≡ 0.
Consecint¸a 6.2.3 Existǎ cel mult o funct¸ie u de clasǎ C 2 în Ω ¸si de clasǎ
C 1 pe Ω care verificǎ: ∆u = F
u/∂Ω = f.
unde F ¸si f sunt funct¸ii date: F : Ω → IR 1 continuǎ pe Ω, iar
f : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω.
Demonstrat¸ie: Se rat¸ioneazǎ prin reducere la absurd.

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în dimensiunea n ≥ 3 197
6.3 Formulele lui Green ¸si formule de
reprezentare în dimensiunea n ≥ 3
În acest paragraf prezentǎm câteva rezultate de calcul diferent¸ial ¸si de calcul
integral pentru funct¸ii de n variabile (n ≥ 3), care intervin în rezolvarea
ecuat¸iilor cu derivate part¸iale în dimensiunea n.
Teorema 6.3.1 (de legǎturǎ între integrala pe un domeniu mǎrginit ¸si integrala
pe frontiera acestuia)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si f1, f2, ..., fn sunt n funct¸ii f1, f2, ..., fn : ¯ Ω → IR 1 continue pe ¯ Ω
¸si de clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea:
Ω
n
∂fi
dx1 · · ·dxn =
∂xi
i=1
∂Ω i=1
n
fi · cos(¯n, ēi)dS. (6.14)
Demonstrat¸ie: Semnificat¸ia simbolurilor din formula (6.14) este aceea¸si ca
¸si în cazul n = 2, iar demonstrat¸ia teoremei se face în mod analog.
Teorema 6.3.2 (de integrare prin pǎrt¸i)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si f, g sunt douǎ funct¸ii f, g : ¯ Ω → IR 1 , continue pe ¯ Ω ¸si de clasǎ C 1
pe Ω, atunci are loc egalitatea:
Ω
∂f
·g dx1 · · ·dxn =
∂xi
∂Ω
f ·g·cos(¯n, ēi)dS −
Demonstrat¸ie: Analoagǎ cu cea din cazul n = 2.
Ω
f · ∂g
dx1 · · ·dxn (6.15)
∂xi
Teorema 6.3.3 (prima formulǎ a lui Green)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si f, g sunt douǎ funct¸ii f, g : ¯ Ω → IR 1 , de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si de clasǎ
C 2 în Ω, atunci are loc egalitatea:
Ω
f ·∆g dx1 · · ·dxn =
∂Ω
f · ∂g
dS − ∇f ·∇g dx1 · · ·dxn
∂¯n Ω
(6.16)

198 CAPITOLUL 6
Demonstrat¸ie: Simbolurile din formula (6.16) au urmǎtoarele semnificat¸ii:
∆g =
n
i=1
∂2g ∂x2 ,
i
∂g
∂¯n =
n ∂g
cos(¯n, ēi), ∇f =
∂xi
i=1
Teorema se demonstreazǎ ca ¸si în cazul n = 2.
Teorema 6.3.4 (a doua formulǎ a lui Green)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si f, g sunt douǎ funct¸ii f, g : ¯ Ω → IR 1 , de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si de clasǎ
C2 în Ω, atunci are loc egalitatea:
(f ·∆g − g·∆f) dx1 · · ·dxn =
Ω
∂Ω
n
i=1
∂f
∂xi
f · ∂g
− g·∂f dS (6.17)
∂¯n ∂¯n
Demonstrat¸ie: Teorema se demonstreazǎ ca ¸si în cazul n = 2.
Teorema 6.3.5 (de reprezentare a unei funct¸ii de n variabile)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si de clasǎ C 2 în Ω,
atunci are loc urmǎtoarea formulǎ de reprezentare:
1 1
u(X) = −
(n − 2)σn Ω X − Y n−2 ∆u(Y ) dy1 · · ·dyn +
1 1
+
(n − 2)σn ∂Ω X − Y n−2 ∂u
(Y ) dSY − (6.18)
∂¯nY
1
−
u(Y )
(n − 2)σn
∂
1
∂¯nY X − Y n−2
dSY
∂Ω
unde σn reprezintǎ aria suprafet¸ei bilei
¯B(0, 1) = {Y = (y1, . . ., yn) ∈ IR n | Y ≤ 1}
∂
iar indicele Y la aratǎ cǎ se calculeazǎ derivata normalǎ a funct¸iei
∂¯nY
1
Y ↦→
X − Y n−2; analog dSY .
Demonstrat¸ie: Se face analog cu cazul n = 2.
ēi

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în dimensiunea n ≥ 3 199
Comentariu Formula (6.18) permite construct¸ia funct¸iei u din valorile
Laplacianului ∆u al funct¸iei în Ω, valorile derivatei normale ∂u
a lui u pe
∂¯n
∂Ω ¸si valorile lui u pe ∂Ω.
Vom arǎta ce devine aceastǎ formulǎ de reprezentare în cazul funct¸iilor
armonice.
Definit¸ia 6.3.1 Zicem cǎ funct¸ia u : Ω ⊂ IR n → IR 1 este armonicǎ în Ω
dacǎ funct¸ia este de clasǎ C 2 în Ω ¸si dacǎ
∆u =
n
i=1
∂ 2 u
∂x 2 i
= 0, (∀)(x1, . . .,xn) ∈ Ω.
Observat¸ia 6.3.1 În condit¸iile din Teorema 6.3.5 (de reprezentare), dacǎ
funct¸ia u este armonicǎ în Ω, atunci avem:
u(X) =
−
1
1
(n − 2)σn ∂Ω X − Y n−2 ∂u
(Y ) dSY −
∂¯nY
u(Y ) ∂
1
∂¯nY X − Y n−2
dSY .
∂Ω
Teorema 6.3.6 (de reprezentare a funct¸iilor armonice)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie armonicǎ în Ω
(∆u = 0), atunci pentru orice x ∈ Ω ¸si orice r > 0 astfel încât bila închisǎ
¯B(0, r) = {Y ∈ IR n | Y ≤ r} este inclusǎ în Ω are loc egalitatea:
u(X) =
1
σn r n−2
∂ ¯ B(X,r)
u(Y ) dSY
Demonstrat¸ie: Demonstrat¸ia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2.
(6.19)
Observat¸ia 6.3.2 Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω
netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si este
armonicǎ în Ω (∆u = 0 în Ω), atunci:
∂Ω
∂u
dS = 0.
∂¯n

200 CAPITOLUL 6
Teorema 6.3.7 (de extrem a funct¸iilor armonice)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie continuǎ pe ¯ Ω ¸si armonicǎ în Ω (∆u = 0
în Ω), atunci funct¸ia u este constantǎ sau î¸si atinge extremele pe frontiera
∂Ω.
Demonstrat¸ie: Demonstrat¸ia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2.
Consecint¸a 6.3.1 Dacǎ ∆u = 0 ¸si u|∂Ω = 0 atunci u = 0.
Consecint¸a 6.3.2 Existǎ cel mult o funct¸ie u de clasǎ C 2 în Ω ¸si de clasǎ
C 1 pe ¯ Ω care verificǎ ∆u = F
u|∂Ω = f
unde F ¸si f sunt douǎ funct¸ii date, F : ¯ Ω → IR 1 este continuǎ pe ¯ Ω ¸si
f : ∂Ω → IR 1 este continuǎ pe ∂Ω.

Probleme la limitǎ pentru ecuat¸ia lui Poisson 201
6.4 Probleme la limitǎ pentru
ecuat¸ia lui Poisson
Fie Ω ⊂ IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si
f o funct¸ie f : ¯ Ω → IR 1 de clasǎ C 1 pe Ω.
Definit¸ia 6.4.1 Ecuat¸ia lui Poisson este o relat¸ie de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ
de forma
−∆u = f(X), (∀)X = (x1, . . ., xn) ∈ Ω (6.20)
dintre o funct¸ie necunoscutǎ u : Ω → IR 1 ¸si funct¸ia datǎ f de clasǎ C 1 pe ¯ Ω.
n
∂
În ecuat¸ia (6.20) ∆u înseamnǎ
i=1
2u ∂x2 (adicǎ Laplacianul funct¸iei u) iar
i
funct¸ia u : ¯ Ω → IR 1 este solut¸ie clasicǎ dacǎ este continuǎ pe ¯ Ω, de clasǎ C2 în Ω ¸si satisface egalitatea:
n
i=1
∂2u ∂x2 (x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn), (∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω.
i
Definit¸ia 6.4.2 Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Poisson este problema
determinǎrii acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.20) care verificǎ condit¸ia la
frontierǎ
u|∂Ω = h (6.21)
unde h este o funct¸ie h : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω consideratǎ cunoscutǎ.
Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Poisson se noteazǎ tradit¸ional:
−∆u = f,
u|∂Ω = h
(∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω
. (6.22)
Definit¸ia 6.4.3 Problema Neumann pentru ecuat¸ia lui Poisson este problema
determinǎrii acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.20) care verificǎ condit¸ia la
frontierǎ
∂u
= g (6.23)
∂¯n
∂Ω
unde g este o funct¸ie g : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω consideratǎ cunoscutǎ ¸si
¯n este versorul normalei exterioare.

202 CAPITOLUL 6
Problema Neumann pentru ecuat¸ia lui Poisson se noteazǎ tradit¸ional:
⎧
⎨
⎩
−∆u = f, (∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω
∂u
= g
∂¯n
∂Ω
. (6.24)
Teorema 6.4.1 (de unicitate a solut¸iei Problemei Dirichlet)
Dacǎ Problema Dirichlet (6.22) are solut¸ie, aceastǎ solut¸ie este unicǎ.
Demonstrat¸ie: Fie u1 ¸si u2 douǎ solut¸ii ale Problemei Dirichlet (6.22).
Considerǎm funct¸ia u = u1 − u2 pentru care avem:
∆u = 0 ¸si u|∂Ω = 0.
Rezultǎ de aici, pe baza principiului de maxim a funct¸iilor armonice, cǎ
u ≡ 0. Prin urmare u1 = u2.
Teorema 6.4.2 (de neunicitate a solut¸iei Problemei Neumann)
Dacǎ u este o solut¸ie a Problemei Neumann (6.24), atunci ¸si u + C este
o solut¸ie a Problemei Neumann, unde C este o constantǎ. Dacǎ u, v sunt
solut¸ii ale Problemei Neumann (6.24), atunci u − v = const.
Demonstrat¸ie: Fie u o solut¸ie a problemei (6.24) ¸si v = u + C. Întrucât
∆v = ∆u ¸si ∂v
∂¯n =
∂Ω
∂u
∂¯n = g, rezultǎ cǎ v este solut¸ie a problemei (6.24).
∂Ω
Dacǎ u, v sunt solut¸ii ale problemei (6.24) atunci w = u − v verificǎ:
∆w = 0 ¸si
∂w
∂¯n
∂Ω
= 0.
În baza formulelor de reprezentare rezultǎ w = const.
Teorema 6.4.3 Condit¸ia necesarǎ pentru ca Problema Neumann (6.24) sǎ
aibǎ solut¸ie este ca funct¸iile f ¸si g sǎ verifice egalitatea:
g(Y ) dSY + f(Y ) dY = 0. (6.25)
∂Ω
Ω

Probleme la limitǎ pentru ecuat¸ia lui Poisson 203
Demonstrat¸ie: Sǎ presupunem cǎ Problema Neumann (6.24) are o solut¸ie
u. Considerând funct¸iile u ¸si 1, aplicǎm cea de-a doua formulǎ a lui Green
acestor funct¸ii:
∂u
(∆u · 1 − u ∆1) dY =
Ω
∂Ω ∂¯nY
T¸inând seama de egalitǎt¸ile −∆u = f, ∂u
∂¯nY
obt¸inem relat¸ia (6.25).
∂Ω
− u ∂1
dSY .
∂¯nY
= g, ∆1 = 0 ¸si ∂1
∂¯nY
= 0
Din cele prezentate pânǎ acum nu rezultǎ cǎ Problema Dirichlet (6.22)
sau Problema Neumann (6.24) are solut¸ie. În paragrafele urmǎtoare vom
prezenta metoda funct¸iilor Green pentru a arǎta cǎ în anumite condit¸ii aceste
probleme au solut¸ie ¸si apoi vom reprezenta aceste solut¸ii.

204 CAPITOLUL 6
6.5 Funct¸ia Green pentru Problema
Dirichlet
Considerǎm un domeniu Ω ⊂ IR n mǎrginit, cu frontiera netedǎ (part¸ial
netedǎ), funct¸ia f : ¯ Ω → IR 1 de clasǎ C1 pe ¯ Ω ¸si funct¸ia h : ∂Ω → IR 1
continuǎ pe ∂Ω. Aceste elemente definesc Problema Dirichlet:
−∆u = f, (∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω
. (6.26)
u|∂Ω = h
Definit¸ia 6.5.1 Numim funct¸ie Green pentru o Problemǎ Dirichlet o funct¸ie
G de forma:
G(X, Y ) = E(X, Y ) − v(X, Y ) (6.27)
în care
⎧
⎪⎨
1
2π
E(X, Y )=
⎪⎩
ln
1
, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n=2
X −Y
1 1
·
(n−2)σn X −Y n−2, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n>2
iar funct¸ia v(X, Y ) are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
(6.28)
a) Y ↦→ v(X, Y ) este funct¸ie armonicǎ în Ω ¸si continuǎ pe ¯ Ω pentru orice
X = (x1, . . .,xn) ∈ Ω, X fixat.
b) pentru X ∈ Ω, X fixat, G(X, Y ) = 0, (∀)Y = (y1, . . .,yn) ∈ ∂Ω.
Propozit¸ia 6.5.1 Dacǎ existǎ funct¸ia Green G(X, Y ) pentru Problema
Dirichlet, atunci ea este unicǎ.
Demonstrat¸ie: Dacǎ G1, G2 sunt douǎ funct¸ii Green pentru Problema
Dirichlet, atunci pentru orice X ∈ Ω fixat,
v(X, Y ) = v1(X, Y ) − v2(X, Y )
este funct¸ie armonicǎ în Ω ¸si identic nulǎ pe ∂Ω. Rezultǎ v(X, Y ) = 0,
(∀)Y ∈ Ω, ¸si (∀)X ∈ Ω, fixat. Aceasta aratǎ cǎ v(X, Y ) ≡ 0, adicǎ
v1(X, Y ) = v2(X, Y ).

Funct¸ia Green pentru Problema Dirichlet 205
Propozit¸ia 6.5.2 Dacǎ pentru orice X ∈ ¯ Ω funct¸ia Y ↦→ v(X, Y ) este de
clasǎ C 1 pe ¯ Ω, atunci funct¸ia Green este simetricǎ, adicǎ:
G(X1, X2) = G(X2, X1), (∀)X1, X2 ∈ Ω ¸si X1 = X2. (6.29)
Demonstrat¸ie: Se considerǎ funct¸iile P(Y )=G(X1, Y) ¸si Q(Y )=G(X2, Y) ¸si se
aplicǎ cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funct¸ii pe domeniul
Ωε =Ω \ (B(X1,ε) ∪ B(X2,ε)), unde B(Xi,ε)={X : X −Xi

206 CAPITOLUL 6
întrucât funct¸ia G(X, Y ) definitǎ prin
G(X, Y ) =
1
4πX − Y −
r
4πX ∗ − Y
(6.32)
unde X ∗ este conjugatul lui X fat¸ǎ de sfera ∂Ω (adicǎ X, X ∗ sunt coliniare
¸si X · X ∗ = r) este funct¸ia Green pentru aceastǎ Problemǎ Dirichlet.
Observat¸ia 6.5.2 Determinarea funct¸iei Green pentru Problema
Dirichlet revine la determinarea funct¸iei v = v(X, Y ) ceea ce revine, conform
definit¸iei funct¸iei Green, la rezolvarea Problemei Dirichlet:
−∆Y v(X, Y ) = 0
(6.33)
v(X, Y )|Y ∈∂Ω = E(X, Y )|Y ∈∂Ω
Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ decât Problema Dirichlet (6.26)
dar în realitate ea este rezolvatǎ pentru domenii Ω particulare, prin metode
geometrice. Din acest motiv demonstrat¸ia existent¸ei solut¸iei Problemei Dirichlet
(6.26) prin folosirea funct¸iei Green se poate face doar pentru domenii Ω
particulare pentru care se ¸stie cǎ existǎ funct¸ia Green.
Exercit¸ii
1. Determinat¸i solut¸ia Problemei Dirichlet:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ 2 u
∂x 2 1
+ ∂2 u
∂x 2 2
+ ∂2 u
∂x 2 3
= 0, în Ω = {(x1, x2, x3) | x 2 1 + x2 2 + x2 3 < r2 }
u(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) 2 , pentru (x1, x2, x3) ∈ ∂Ω.
2. Determinat¸i funct¸ia Green a Problemei Dirichlet pentru cerc ¸si rezolvat¸i
o Problemǎ Dirichlet pentru cerc.

Funct¸ia Green pentru Problema Neumann 207
6.6 Funct¸ia Green pentru Problema
Neumann
Considerǎm Problema Neumann
⎧
⎪⎨
−∆u = f, (∀)(x1, . . .,xn) ∈ Ω
⎪⎩
∂u
= g
∂¯n
∂Ω
(6.34)
în care f : Ω → IR 1 este funct¸ie de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si g : ∂Ω → IR 1 este funct¸ie
continuǎ.
Presupunem cǎ funct¸iile f ¸si g verificǎ:
f(Y ) dY + g(Y ) dSY = 0. (6.35)
Ω
∂Ω
Definit¸ia 6.6.1 Numim funct¸ia Green pentru Problema Neumann (6.34)
orice funct¸ie G de forma
G(X, Y ) = E(X, Y ) − v(X, Y ) (6.36)
care verificǎ
∂G
(X, Y ) = 0, (∀)Y = (y1, . . .,yn) ∈ ∂Ω (6.37)
∂¯nY
unde v : Ω × Ω → IR 1 ¸si pentru orice Y ∈ Ω fixat funct¸ia Y ↦→ v(X, Y ) este
armonicǎ pe Ω, iar E(X, Y ) este definitǎ pentru orice X, Y ∈ Ω, X = Y ¸si
este datǎ de:
⎧
⎪⎨
1
E(X, Y )=
2π
⎪⎩
ln
1
, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n=2
X −Y
1 1
(6.38)
·
(n−2)σn X −Y n−2, (∀)X,Y ∈ Ω, X =Y, n>2
Observat¸ia 6.6.1 Dacǎ G1 ¸si G2 sunt funct¸ii Green pentru Problema
Neumann, atunci G1 − G2 = const.
Propozit¸ia 6.6.1 Dacǎ pentru orice X ∈ ¯ Ω funct¸ia Y ↦→ v(X, Y ) este de
clasǎ C 1 pe ¯ Ω, atunci funct¸ia Green pentru Problema Neumann este
simetricǎ:
G(X1, X2) = G(X2, X1), (∀)X1, X2 ∈ Ω ¸si X1 = X2. (6.39)

208 CAPITOLUL 6
Demonstrat¸ie: Analoagǎ cu cea din cazul funct¸iei Green pentru Problema
Dirichlet.
Teorema 6.6.1 Dacǎ G este o funct¸ie Green pentru Problema Neumann
(6.34) ¸si u este o solut¸ie a acestei probleme, atunci existǎ o constantǎ C
astfel ca sǎ aibe loc egalitatea:
u(X) = − G(X, Y ) · f(Y ) dY + E(X, Y ) · g(Y ) dSY + C. (6.40)
Ω
Demostrat¸ie: Analoagǎ cu cea de la cazul solut¸iei Problemei Dirichlet.
Observat¸ia 6.6.2 Determinarea funct¸iei Green pentru Problema Neumann
revine la determinarea funct¸iei v(X, Y ) ceea ce înseamnǎ, conform definit¸iei
funct¸iei Green pentru Problema Neumann, rezolvarea Problemei Neumann
⎧
−∆Y ⎪⎨
v(X, Y ) = f, (∀)(x1, . . ., xn) ∈ Ω
⎪⎩
∂v
∂¯nY
∂Ω
= ∂E
∂¯nY
∂Ω
∂Ω
(6.41)
Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ decât Problema Neumann
(6.34), dar în realitate este complexǎ. De aceea demonstrat¸ia existent¸ei
solut¸iei Problemei Neumann (6.34) prin folosirea funct¸iei Green se poate
face doar pentru cazuri pentru care se ¸stie cǎ existǎ funct¸ia Green.

Probleme pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 209
6.7 Problemele Dirichlet ¸si Neumann
pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc.
Separarea variabilelor.
Considerǎm mult¸imea Ω = {(x1, x2) ∈ IR 2 | x 2 1 + x 2 2 < R 2 } care va fi numitǎ
disc centrat în origine ¸si de razǎ R.
Ecuat¸ia lui Poisson pe Ω este ecuat¸ia:
∂ 2 u
∂x 2 1
+ ∂2 u
∂x 2 2
= −f(x1, x2) (6.42)
unde f este o funct¸ie de clasǎ C 1 pe ¯ Ω.
Dacǎ funct¸ia f este identic nulǎ, atunci ecuat¸ia lui Poisson devine:
∂ 2 u
∂x 2 1
+ ∂2 u
∂x 2 2
¸si se nume¸ste ecuat¸ia lui Laplace pe discul Ω de razǎ R.
= 0 (6.43)
Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe discul de razǎ R înseamnǎ
determinarea acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.43) care pe frontiera discului ∂Ω
coincid cu o funct¸ie continuǎ h dinainte datǎ, adicǎ
⎧
⎨ ∂
⎩
2u ∂x2 +
1
∂2u ∂x2 = 0, (∀)(x1, x2) ∈ Ω
(6.44)
2
u |∂Ω= h
Solut¸ia acestei Probleme Dirichlet se poate determina folosind funct¸ia
Green pentru Problema Dirichlet.
Problema Neumann pentru ecuat¸ia lui Laplace pe discul de razǎ R înseamnǎ
determinarea acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.43) ale cǎror derivatǎ dupǎ direct¸ia
versorului normalei exterioare la ∂Ω coincide cu o funct¸ie continuǎ g dinainte
datǎ pe ∂Ω, adicǎ:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ 2 u
∂x 2 1
∂u
∂n
+ ∂2 u
∂x 2 2
∂Ω
= g
= 0, ∀(x1, x2) ∈ Ω
(6.45)

210 CAPITOLUL 6
Pentru ca problema (6.45) sǎ aibe solut¸ie este necesar ca
g(Y )dsY = 0 (6.46)
∂Ω
¸si dacǎ aceastǎ condit¸ie este îndeplinitǎ, atunci, folosind funct¸ia Green pentru
Problema Neumann, se pot determina solut¸iile prolemei (6.45), (care diferǎ
printr-o constantǎ aditivǎ).
Scopul nostru în acest paragraf este sǎ prezentǎm o altǎ metodǎ, numitǎ
”separarea variabilelor”, cu care se pot determina solut¸iile problemelor (6.44)
¸si (6.45). Deoarece s-a considerat Ω ca fiind un domeniu circular vom face
mai întâi o schimbare de coordonate, mai exact vom scrie problemele (6.44)
¸si (6.45) în coordonate polare:
x1 = r cos ϕ
, r > 0, ϕ ∈ [0, 2π). (6.47)
x2 = r sin ϕ
Notǎm cu T transformarea (r, ϕ) → (x1, x2) definitǎ de (6.47). Dacǎ u este
o funct¸ie care satisface ecuat¸ia (6.43) atunci notǎm cu u funct¸ia u = u ◦ T.
Folosind regulile de derivare ale funct¸iilor compuse deducem cǎ u verificǎ
ecuat¸ia:
∂2u 1
+
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u
+
∂ϕ2 r ∂r
= 0 (6.48)
care se nume¸ste ecuat¸ia lui Laplace în coordonate polare.
Metoda separǎrii variabilelor constǎ în cǎutarea unor solut¸ii u(r, ϕ) de
forma:
u(r, ϕ) = P(r) · Q(ϕ) (6.49)
adicǎ solut¸ii care sunt produse de funct¸ii ce depind fiecare de câte o variabilǎ
r, respectiv ϕ. Impunând la (6.49) sǎ verifice (6.48) rezultǎ:
r 2P′′
P
+ rP′
P
= −Q′′ . (6.50)
Q
Membrul stâng în aceastǎ egalitate depinde doar de r iar membrul drept de
ϕ. Cum r ¸si ϕ sunt variabile independente rezultǎ cǎ fiecare membru este
constant. Dacǎ notǎm cu λ aceastǎ constantǎ atunci deducem din (6.50)
egalitǎt¸ile:
r 2 P ′′ + rP ′ − λP = 0 (6.51)

Probleme pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 211
Q ′′ + λQ = 0 (6.52)
Deoarece funct¸ia u este de clasǎ C 2 solut¸ia ecuat¸iei (6.52) trebuie sǎ verifice
Q(0) = Q(2π). De aici rezultǎ cǎ λn = n 2 , n ∈ IN.
Pentru λn = n 2 avem:
Qn(ϕ) = An cosnϕ + Bn sin nϕ (6.53)
în care An ¸si Bn sunt constante arbitrare.
Ecuat¸ia (6.51) este liniarǎ de tip Euler ¸si se rezolvǎ fǎcându-se schimbarea
de variabilǎ r = e t . Pentru λ = n 2 solut¸ia generalǎ este:
Pn(r) = Cnr n + Dnr −n , dacǎ n = 1, 2, ... (6.54)
P0(r) = A0 + B0 ln r, dacǎ n = 0. (6.55)
Rezultǎ în acest fel cǎ (6.48) admite urmǎtoarea familie de solut¸ii:
⎧
⎨
un(r, ϕ) =
⎩
A0 + B0 ln r, n = 0
r n (An cosnϕ + Bn sin nϕ), n = 1, 2, ...
r −n (A−n cosnϕ + B−n sin nϕ), n = 1, 2, ...
în care A0, B0, An, Bn, A−n, B−n sunt constante oarecare.
(6.56)
Observat¸ia 6.7.1 Orice sumǎ finitǎ de solut¸ii de forma (6.48) este solut¸ie
pentru ecuat¸ia (6.48).
Definit¸ia 6.7.1 O solut¸ie formalǎ a ecuat¸iei lui Laplace în coordonate polare
este o ”funct¸ie” u(r, ϕ) de forma:
u(r, ϕ)=A0+B0 lnr+
∞
n=1
[(Anr n +A−nr −n ) cosnϕ+(Bnr n +B−nr −n ) sin nϕ]
(6.57)
Denumirea de solut¸ie formalǎ provine de la faptul cǎ nu avem informat¸ii
relative la convergent¸a seriei (6.57). Ceea ce este clar este cǎ, termenii seriei
(6.57) sunt solut¸ii ¸si cǎ, dacǎ seria are doar un numǎr finit de termeni diferit¸i
de zero, atunci suma este o funct¸ie care este solut¸ie a ecuat¸iei lui Laplace.

212 CAPITOLUL 6
Pentru determinarea solut¸iei Problemei Dirichlet (6.44), mai întâi sriem
problema în coordonate polare:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂2u 1
+
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u
+
∂ϕ2 r ∂r
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
lim | u(r, ϕ) |< +∞
r→0
u(R, ϕ) = h(ϕ)
= 0, r < R, ϕ ∈ [0, 2π)
unde h(ϕ) = h(R cosϕ, R sin ϕ).
Considerǎm dezvoltarea funct¸iei h în serie Fourier în L 2 [0, 2π)
h(ϕ) = a0 +
(6.58)
∞
(an cos nϕ + bn sin nϕ) (6.59)
n=1
¸si impunem solut¸iei formale u(r, ϕ) datǎ de (6.57) sǎ verifice condit¸iile (6.58).
Deducem:
A0 = a0, An = an
Rn ¸si Bn = bn
Rn care înlocuite, conduc la solut¸ia formalǎ:
u(r, ϕ) = a0 +
∞
n=1
r n
R n(an cos nϕ + bn sin nϕ). (6.60)
Pentru a demonstra cǎ aceastǎ solut¸ie formalǎ este solut¸ia problemei vom
presupune cǎ funct¸ia h este de clasǎ C2 ¸si h(0) = h(2π). În aceste condit¸ii
pentru coeficient¸ii Fourier an, bn ai funct¸iei h putem scrie:
an = − 1
n bn ′ = − 1
n 2an ′′ ¸si bn = 1
n an ′ = − 1
n 2bn ′′ . (6.61)
unde a ′ n, b ′ n ¸si a ′′ n, b ′′ n sunt coeficient¸ii Fourier ai funct¸iei h ′ , respectiv h ′′ .
Din apartenent¸a h ′′ ∈ L2 ∞
[0, 2π) avem
(|an ′′ | 2 + |bn ′′ | 2 ) < +∞ de unde
n=1
rezultǎ cǎ existǎ M > 0 astfel încât sǎ avem |an ′′ | ≤ M ¸si |bn ′′ | ≤ M pentru

Probleme pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 213
orice n ∈ IN. De aici ¸si din (6.61) se obt¸ine inegalitatea:
∞
n=1
(|an| 2 + |bn| 2 ) ≤ 2M
∞
n=1
1
< +∞
n2 Cu criteriul lui Weierstrass rezultǎ de aici cǎ seria (6.60) este absolut ¸si
uniform convergentǎ pe [0, R] × [0, 2π], deci funct¸ia u(r, ϕ) definitǎ de (6.60)
este corect definitǎ ¸si este continuǎ pe [0, R] × [0, 2π].
Derivabilitatea u(r, ϕ) rezultǎ din derivabilitatea termenilor seriei (6.60)
¸si din faptul cǎ seriile obt¸inute prin derivare termen cu termen sunt absolut
¸si uniform convergente fiind majorate de serii de forma
∞
n=1
n p
r
n [| an | + | bn |], p = 1, 2, ...
R
Calculând suma seriei obt¸inem formula:
u(r, ϕ) = 1
2π
2π
0
R 2 − r 2
h(θ) r2 − 2Rr cos(ϕ − θ) + R2dθ (6.62)
numitǎ formula lui Poisson.
Pentru determinarea solut¸iei Problemei Neumann se procedeazǎ
asemǎnǎtor.
Exercit¸ii
1.Gǎsit¸i solut¸ia Problemei Dirichlet:
⎧
⎨ ∂2u + ∂2u ⎩
R: u(x1, x2) = R 2 + 2x1x2
2.Gǎsit¸i solut¸ia Problemei Dirichlet:
⎧
⎨ ∂2u + ∂2u ∂x2 1 ∂x2 = 0, x
2
2 1 + x2 2 < R2 u(x1, x2) = (x1 + x2) 2 , x2 1 + x2 2 = R2 ⎩
∂x2 1 ∂x2 = 0, x
2
2 1 + x22 u(x1, x2) = x1 · x2, x2 1 + x22 < 1
= 1

214 CAPITOLUL 6
R: u(x1, x2) = x1x2
3.Gǎsit¸i solut¸ia Problemei Neumann:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ 2 u
∂x2 = 0, x
1
2 1 + x22 < R2
∂u
∂n = x1 + x 2 1 − x22 , x21 + x2 2 = R2
+ ∂2 u
∂x 2 2
R: u(x1, x2) = A0 + Rx1 + R
2 (x2 1 − x 2 2)

Calculul simbolic al solut¸iei Problemei Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 215
6.8 Calculul simbolic al solut¸iei Problemei
Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace
pe disc
Cosiderǎm Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe discul de
razǎ R:
⎧
⎨
⎩
∂ 2 u
∂x2 + ∂2u ∂y
u |∂Ω= h
2 = 0, (∀)(x, y) ∈ Ω
(6.63)
Funct¸ia pdsolve nu poate gǎsi direct, prin calcul simbolic solut¸ia corespunzǎtoare
unei astfel de probleme. Astfel, pe baza not¸iunilor teoretice
prezentate în paragraful precedent (formula pentru solut¸ia formalǎ), vom
prezenta un program in Maple care sǎ afi¸seze expresia analiticǎ a solut¸iei
Problemei Dirichlet (6.63).
Scriind problema în coordonate polare:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂2u 1
+
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u
+
∂ϕ2 r ∂r
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
lim | u(r, ϕ) |< +∞
r→0
u(R, ϕ) = h(ϕ)
= 0, r < R, ϕ ∈ [0, 2π)
¸si dezvoltând funct¸ia h în serie Fourier, se obt¸ine solut¸ia formalǎ:
u(r, ϕ) = a0 +
∞
n=1
în care a0, an, bn sunt coeficient¸ii Fourier:
a0 = 1
2π
π
−π
(6.64)
r n
R n(an cosnϕ + bn sin nϕ). (6.65)
h(ϕ)dϕ an = 1
π
bn = 1
π
π
−π
π
−π
h(ϕ) · sin nϕdϕ
h(ϕ) · cos nϕdϕ

216 CAPITOLUL 6
Aceastǎ solut¸ie formalǎ se obt¸ine în Maple cu ajutorul procedurii DirichletInt:
> restart;
> DirichletInt:=proc(f,R)
local a0,a,b;
> a0:=(1/(2*Pi))*Int(f,phi=-Pi..Pi);
> a:=n->1/Pi*Int(f*cos(n*phi),phi=-Pi..Pi);
> b:=n->1/Pi*Int(f*sin(n*phi),phi=-Pi..Pi);
> a0+add(r^n/R^n*(a(n)*cos(n*phi)+b(n)*sin(n*phi)),n=1..Order);
> RETURN(map(simplify,value(%)));
> end:
Apelarea acestei proceduri se realizeazǎ cu instruct¸iunea DirichletInt(f, R)
în care f este funct¸ia h din problema (6.64), dupǎ cum se poate observa din
urmǎtoarele exemple:
Exemplul 1:
⎧
⎨
⎩
∂2u + ∂2u > f:=(x1+x2)^2: R:=R:
∂x2 1 ∂x2 = 0, x
2
2 1 + x22 < R2
u(x1, x2) = (x1 + x2) 2 , x2 1 + x22 = R2
> f:=subs(x1=r*cos(phi),x2=r*sin(phi),r=R,f);
> sol1:=DirichletInt(f,R);
Exemplul 2:
⎧
⎨
⎩
f := (R cos (φ) + R sin (φ)) 2
sol1 := R 2 + r 2 sin (2 φ)
∂2u + ∂2u ∂x2 1 ∂x2 = 0, x
2
2 1 + x22 u(x1, x2) = x1 · x2, x2 1 + x22 < 1
= 1

Calculul simbolic al solut¸iei Problemei Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 217
> f:=x1*x2: R:=1:
> f:=subs(x1=r*cos(phi),x2=r*sin(phi),r=R,f);
f := cos (φ) sin (φ)
> sol2:=DirichletInt(f,R);
Exemplul 3:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
sol2 := 1/2 r 2 sin (2 φ)
∂2u 1
+
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u
+
∂ϕ2 r ∂r
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
lim | u(r, ϕ) |< +∞
r→0
u(1, ϕ) = sin 3 ϕ
> f:=sin(phi)^3: R:=1:
> sol3:=DirichletInt(f,R);
Exemplul 4:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
= 0, r < 1, ϕ ∈ [0, 2π)
sol3 := 3/4 r sin (φ) − 1/4 r 3 sin (3 φ)
∂2u 1
+
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u
+
∂ϕ2 r ∂r
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
lim | u(r, ϕ) |< +∞
r→0
u(1, ϕ) = sin 6 ϕ + cos 6 ϕ
> f:=sin(phi)^6+cos(phi)^6: R:=1:
> sol4:=DirichletInt(f,R);
= 0, r < 1, ϕ ∈ [0, 2π)
sol4 := 5/8 + 3/8 r 4 cos (4 φ)

Capitolul 7
Solut¸ii generalizate.
Metode variat¸ionale
În capitolul anterior ne-am ocupat de rezolvarea Problemei Dirichlet ¸si a
Problemei Neumann în cazul ecuat¸iei lui Poisson. Particularitatea acestei
ecuat¸ii constǎ în aceea cǎ ecuat¸ia elipticǎ este definitǎ de Laplacianul △.
În cele ce urmeazǎ vom considera ecuat¸ii eliptice mai generale, numite
ecuat¸ii eliptice de tip divergent¸ǎ pentru care vom formula conceptul de Problemǎ
Dirichlet. Pe lângǎ conceptul de solut¸ie clasicǎ introducem ¸si conceptul
de solut¸ie generalizatǎ ¸si prezentǎm condit¸ii în care solut¸ia generalizatǎ existǎ
¸si este unicǎ.
Deasemenea , în acest capitol introducem Problema Cauchy-Dirichlet
pentru ecuat¸ii parabolice ¸si hiperbolice, ¸si prezentǎm condit¸ii în care solut¸ia
generalizatǎ a acestor probleme existǎ.
218

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 219
7.1 Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si
Problema Dirichlet pentru aceastǎ ecuat¸ie
Considerǎm un domeniu mǎrginit Ω ⊂ IR n cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si funct¸iile reale aij, c ¸si F definite pe Ω (i, j = 1, n) având urmǎtoarele
proprietǎt¸i:
1) aij sunt de clasǎ C 1 pe Ω ¸si existǎ µ0 > 0 astfel încât pentru orice
X = (x1, ..., xn) ∈ Ω ¸si orice (ξ1, ξ2, . . .,ξn) ∈ IR n avem
n
aij(X) · ξi · ξj ≥ µ0 ·
i,j=1
n
i=1
ξ 2 i ¸si aij(X) = aji(X)
2) funct¸ia c este continuǎ pe Ω ¸si c(X) ≥ 0, (∀)X ∈ Ω.
3) funct¸ia F este continuǎ pe Ω.
Definit¸ia 7.1.1 Se nume¸ste ecuat¸ie cu derivate part¸iale elipticǎ de tip divergent¸ǎ
o relat¸ie de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ de forma
n
n
∂
− aij(X) ·
∂xi
∂u
+ c(X) · u = F(X), (∀) X ∈ Ω (7.1)
∂xj
i=1
j=1
dintre funct¸ia necunoscutǎ u ¸si derivatele sale part¸iale de ordinul întâi ¸si de
ordinul al doilea.
În ecuat¸ia (7.1) funct¸iile aij, c ¸si F se considerǎ cunoscute.
Definit¸ia 7.1.2 O funct¸ie realǎ u de clasǎ C2 pe Ω care verificǎ
n
n
∂
− aij(X) ·
∂xi
∂u
(X) + c(X) · u(X) = F(X), (∀) X ∈ Ω
∂xj
i=1
j=1
se nume¸ste solut¸ie clasicǎ a ecuat¸iei (7.1).
Definit¸ia 7.1.3 Problema determinǎrii acelor solut¸ii u ale ecuat¸iei (7.1)
care sunt continue pe Ω ¸si verificǎ condit¸ia la frontierǎ
se numeste Problemǎ Dirichlet pentru ecuat¸ia (7.1).
u|∂Ω = h (7.2)

220 CAPITOLUL 7
În egalitatea (7.2), h este o funct¸ie realǎ continuǎ pe ∂Ω, consideratǎ cunoscutǎ.
Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia cu derivate part¸iale elipticǎ de tip divergent¸ǎ
se noteazǎ cu
⎧
n
n
∂
⎪⎨ − aij(X) ·
∂xi i=1 j=1
⎪⎩
∂u
+ c(X) · u=F(X), (∀) X ∈ Ω
∂xj
(7.3)
u|∂Ω = h.
Observat¸ia 7.1.1 Dacǎ existǎ o funct¸ie H : Ω ′ ⊃ Ω → IR ′ de clasǎ C 2
astfel încât H|∂Ω = h atunci u este solut¸ie a Problemei Dirichlet (7.3) dacǎ
¸si numai dacǎ funct¸ia v = u − H este solut¸ia Problemei Dirichlet:
⎧
n
n
∂
⎪⎨ − aij(X) ·
∂xi
∂v
+ c(X) · v=G(X), (∀) X ∈ Ω
∂xj
⎪⎩
i=1
v|∂Ω = 0
j=1
unde G(X) = F(X) − c(X) · H(X) +
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂H
.
∂xj
i=1
j=1
(7.4)
Astfel, printr-o schimbare de funct¸ie Problema Dirichlet cu condit¸ii pe frontierǎ
neomogene se reduce la o Problemǎ Dirichlet cu condit¸ii pe frontierǎ
omogene.
Datoritǎ acestui fapt, în cele ce urmeazǎ vom considera Probleme
Dirichlet în care funct¸ia h datǎ pe frontierǎ este identic nulǎ.
Observat¸ia 7.1.2 Dacǎ se considerǎ spat¸iul vectorial al funct¸iilor reale u
continue pe Ω de clasǎ C 2 în Ω ¸si nule pe frontierǎ :
D = u | u : Ω → IR 1 , u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0},
¸si operatorul diferent¸ial A definit pe acest spat¸iu vectorial D cu formula:
n
n
∂
(Au)(X) = − aij(X) ·
∂xi
∂u
+ c(X) · u (7.5)
∂xj
i=1
j=1

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 221
atunci Problema Dirichlet :
⎧
n
n
∂
⎪⎨ − aij(X) ·
∂xi
∂u
+ c(X) · u = F(X), (∀) X ∈ Ω
∂xj
⎪⎩
i=1
u|∂Ω = 0
j=1
este echivalentǎ cu problema urmǎtoare :
Sǎ se determine u ∈ D astfel încât sǎ avem :
unde
Au = F,
D= u | u : Ω → IR 1 , u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0 .
(7.6)
(7.7)
În aceastǎ formulare a Problemei Dirichlet condit¸ia la limitǎ nu mai apare
separat pentru cǎ este inclusǎ în definit¸ia spat¸iului vectorial D (adicǎ domeniul
de definit¸ie a lui A).
Problema unicitǎt¸ii solut¸iei clasice a Problemei Dirichlet revine la
injectivitatea operatorului A : D → C(Ω) iar problema existent¸ei solut¸iei
clasice revine la surjectivitatea operatorului A.
În cele ce urmeazǎ vom pune în evident¸ǎ proprietǎt¸i ale operatorului
A pentru a rǎspunde la problema existent¸ei ¸si unicitǎt¸ii solut¸iei Problemei
Dirichlet (7.6)
Teorema 7.1.1 Operatorul A definit pe spat¸iul de funct¸ii D cu formula (7.5)
are urmatoarele proprietat¸i:
i) domeniul de definit¸ie D al operatorului A este un subspat¸iu dens în
spat¸iul Hilbert L 2 (Ω);
ii) operatorul A este liniar ;
iii) pentru
orice u, v
∈ D are loc egalitatea
Au · vdX = Av · udX
Ω
Ω
Demonstrat¸ie:
i) Presupunem cunoscut faptul cǎ spat¸iul vectorial D(Ω) format cu funct¸iile

222 CAPITOLUL 7
reale u de clasǎ C ∞ pe Ω ¸si cu suport compact inclus în Ω:
D(Ω) = {u | u : Ω → IR 1 , u ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω}
este dens în L2 (Ω). Întrucât spat¸iul de funct¸ii D include spat¸iul vectorial
D(Ω) rezultǎ cǎ spat¸iul D este dens în L2 (Ω).
ii) Pentru a demonstra cǎ A este liniar, vom arǎta cǎ
Într-adevǎr,
A(u + v) = Au + Av
A(α · u) = α · Au
(∀) u, v ∈ D, (∀) α ∈ IR 1 .
A(u + v) =
n
n
∂
∂(u + v)
= − aij(X) · + c(X) · (u + v) =
∂xi
∂xj
i=1 j=1
n
n
∂
= − aij(X) ·
∂xi
∂u
n
n
∂
+ c(X) · u − aij(X) ·
∂xj
∂xi
∂v
+
∂xj
i=1
j=1
+ c(X) · v = Au + Av.
¸si
A(α · u)=−
i=1
i=1
j=1
n
n
∂
∂(α · u)
aij(X) · + c(X) · (α · u)=α · Au,
∂xi
∂xj
j=1
ceea ce demonstreazǎ liniaritatea lui A.
iii) Pentru u, v ∈ D calculǎm Au · vdX ¸si gǎsim :
Ω
Au·v dX = −
Ω
= −
∂Ω
i=1
Ω
n
n
∂
aij(X)·
∂xi
∂u
·v dX + c(X)·u·v dX
∂xj
Ω
n
i=1
j=1
n
aij(X)· ∂u
·cos(u, ei)·v dS+
∂xj
j=1

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 223
+
=
n
Ω i=1 j=1
n
Ω i=1 j=1
Calculând în continuare
n
aij(X)· ∂u
∂xj
n
aij(X)· ∂u
Ω
∂xj
· ∂v
∂xi
Av·u dX gǎsim:
dX+ c(X)·u·v dX
Ω
· ∂v
dX+ c(X)·u·v dX
∂xi Ω
n n
Av·u dX = aij(X)·
Ω
Ω i=1 j=1
∂v
·
∂xj
∂u
dX+ c(X)·u·v dX.
∂xi Ω
Deoarece aij(X) = aji(X) rezultǎ Au · vdX = Av · udX
Ω
Teorema 7.1.2 Existǎ γ > 0 astfel încât pentru orice u ∈ D sǎ avem
Au · udX ≥ γ u 2 dX (7.8)
Demonstrat¸ie: Calculǎm
Ω
Au · udX =
≥
Ω
n
Ω
Ω i=1 j=1
Rǎmâne sǎ evaluǎm
µ0
Ω i=1
Ω
Ω
Au · udX ¸si obt¸inem :
n
aij(X) ∂u
∂u
dX +
∂xi ∂xj
n
∂u
∂xi
n
∂u
∂xi
2
2
dX +
Ω
Ω
c(X)u 2 (X) dX
c(X)u 2 (X) dX ≥
dX pentru u ∈ D. Aceastǎ evaluare con-
Ω i=1
stitue cont¸inutul unei teoreme care poartǎ numele lui Friedrichs. Conform
acestei teoreme existǎ o constantǎ k > 0, astfel încât pentru orice u ∈ C1 ( ¯ Ω)
cu u|∂Ω = 0 avem:
Ω
|u(X)| 2
dX ≤ k
Ω
n
∂u 2
∂xi
dX.
i=1

224 CAPITOLUL 7
Admit¸ând pentru moment cǎ aceastǎ evaluare este adevǎratǎ putem continua
evaluarea deja stabilitǎ
n
Au · udX ≥ µ0
∂u 2
∂xi
dX + c(X)u 2 (X)dX,
Ω
¸si gǎsim:
Au · udX ≥ µ0
k ·
Ω
Ω
Ω i=1
|u(X)| 2
dX +
Ω
Ω
c(X)u 2 (X)dX ≥ µ0
k
Ω
|u(X)| 2 dX
Astfel inegalitatea (7.8) a fost demonstratǎ.
Rǎmâne sǎ demonstrǎm acum teorema folositǎ în demonstrat¸ia teoremei
(7.1.2) denumitǎ inegalitatea lui Friedrichs.
Teorema 7.1.3 (inegalitatea lui Friedrichs) Existǎ o constantǎ k > 0, astfel
încât pentru orice u ∈ C 1 ( ¯ Ω) cu u| ∂Ω = 0 sǎ avem:
Ω
|u(X)| 2
dX ≤ k
Ω
n
∂u
∂xi
i=1
2
dX. (7.9)
Demonstrat¸ie: Domeniul Ω fiind mǎrginit existǎ o translat¸ie
T : IR n → IR n , (TX = X + X0 ) astfel încât pentru orice X ′ ∈ Ω ′ = TΩ
sǎ avem x ′ i ≥ 0. Deoarece
Ω ′
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′ =
Ω
|u(X)| 2 dX ¸si
Ω ′
∂u
′
∂x ′ i
2
dX ′
=
Ω
∂u
∂xi
unde u ′ (X ′ ) = u(TX) ¸si X ′ = TX, rezultǎ cǎ este suficient sǎ se demonstreze
inegalitatea (7.9) pe Ω ′ . Mai mult, Ω ′ fiind domeniu mǎrginit existǎ a > 0
astfel ca Ω ′ ⊂ Γa = {X ′ | 0 ≤ x ′ i ≤ a} ¸si prelungind cu 0 funct¸ia u′ pe ΓaΩ ′
rezultǎ cǎ, are loc:
Ω ′
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′ =
Γa
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′
¸si
Ω ′
∂u
′
∂x ′ i
2
dX ′
=
Γa
2
∂u
′
Astfel, ajungem la concluzia cǎ, este suficient sǎ demonstrǎm inegalitatea
(7.9) doar pentru Ω = Γa. Pentru aceasta folosim formula lui Leibnitz-
Newton
u(x1, x2, ...xn) =
xi
0
∂u
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ...xn)dξ
∂xi
∂x ′ i
2
dX
dX ′

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 225
din care utilizând Cauchy-Buniakovski rezultǎ:
|u(X)| ≤
xi
0
De aici obt¸inem:
∂u
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ..., xn)dξ ≤
∂xi
xi 1/2
xi
≤ dξ
∂u
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ..., xn)
0
0 ∂xi
≤ a 1/2
a
2
1/2
∂u
|(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ...xn)
dξ .
0 ∂xi
Γa
Γa
|u(X)| 2 dX ≤ a 2
|u(X)| 2 dX ≤ a2
n
Γa
Γa
2
∂u
dX
∂xi
n
2
∂u
dX.
∂xi
i=1
2
dξ
1/2
Astfel rezultǎ astfel cǎ pentru k = a2
are loc inegalitatea (7.9).
n
Teorema 7.1.4 (de
Au = F).
caracterizare variat¸ionalǎ a solut¸iei ecuat¸iei
Funct¸ia u0 ∈ D este solut¸ie a ecuat¸iei Au = F (F ∈ C(Ω)) dacǎ ¸si numai
dacǎ u0 este punct de minim pentru funct¸ionala:
ΦF : D → IR 1
, ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX. (7.10)
Ω
Demonstrat¸ie: Dacǎ u0 ∈ D este solut¸ie a ecuat¸iei Au = F atunci Au0 = F
¸si pentru orice u ∈ D avem:
ΦF(u) − ΦF(u0)= Au·udX −2 F ·udX − Au0·u0dX+2 F ·u0dX =
=
=
=
Ω
Ω
Au·udX −2 Au0·u− Au0·u0dX+2
Ω
Ω
Ω
Au· udX −
Ω
Ω
Ω
Au0· u −
A(u − u0) · (u − u0)dX ≥ γ
Ω
u0 ·AudX+
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Au0·u0dX =
Au0· u0dX =
|u − u0| 2 dX ≥ 0.
≤

226 CAPITOLUL 7
Rezultǎ astfel cǎ u0 este minim absolut pentru funct¸ionala ΦF.
Reciproc, dacǎ presupunem cǎ u0 ∈ D este punct de minim absolut pentru
funct¸ionala ΦF, atunci pentru orice u ∈ D avem
ΦF(u) ≥ ΦF(u0)
Considerǎm u ∈ D, u-fixat, t ∈ IR 1 ¸si remarcǎm cǎ:
ΦF(u0 + tu) ≥ ΦF(u0)
pentru orice t ∈ IR 1 . Prin urmare funct¸ia
ϕ(t) = ΦF(u0 + tu)
are un minim în t = 0. Din condit¸ia ϕ ′ (0) = 0 rezultǎ:
(Au0 − F)udX = 0 (∀)u ∈ D
Ω
Deoarece spat¸iul vectorial D este dens în spat¸iu Hilbert L 2 (Ω) rezultǎ cǎ
Au0 = F.
Observat¸ia 7.1.3 Aceastǎ teoremǎ nu este o teoremǎ de existent¸ǎ pentru
cǎ nu stabile¸ste faptul cǎ funct¸ionala ΦF are un punct de minim absolut.
Teorema reduce însǎ problema existent¸ei ¸si unicitǎt¸ii solut¸iei clasice a
ecuat¸iei Au = F la problema existent¸iei ¸si unicitǎt¸ii punctului de minim al
funct¸ionalei ΦF.
Teorema 7.1.5 (teorema de unicitate)
Pentru F ∈ C( ¯ Ω) existǎ cel mult un u0 ∈ D astfel încât Au0 = F.
Demonstrat¸ie: Presupunem cǎ pentru F ∈ C( ¯ Ω) existǎ
u1, u2 ∈ D astfel încât Au1 = F ¸si Au2 = F. De aici rezultǎ ΦF(u2) ≥ ΦF(u1)
¸si ΦF(u1) ≥ ΦF(u2). Prin urmare ΦF(u2) = ΦF(u1). T¸inând seama de inegalitatea:
ΦF(u1) − ΦF(u2) ≥ γ |u1 − u2| 2 dX
rezultǎ în continuare cǎ
u1 = u2.
Ω
Ω
|u1 − u2| 2 dX = 0 de unde rezultǎ egalitatea

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 227
Observat¸ia 7.1.4 i) Teorema de unicitate demonstreazǎ cǎ Problema Dirichlet
are cel mult o solut¸ie clasicǎ.
ii) Existent¸a unui minim absolut în D a funct¸ionalei ΦF(u) nu este adevǎratǎ.
Existǎ exemple care demonstreazǎ cǎ în general Problema Dirichlet nu are
solut¸ie clasicǎ.
Pentru a asigura minimul absolut al funct¸ionalei ΦF lǎrgim spat¸iul vectorial
D astfel ca sǎ devinǎ spat¸iu Hilbert. În acest scop, pe D × D definim
urmǎtoarea corespondent¸ǎ:
D × D ∋ (u, v) →< u, v >A= Au · vdX. (7.11)
Lema 7.1.1 Corespondent¸a definitǎ cu (7.11) este un produs scalar pe spat¸iul
vectorial D.
Demonstrat¸ie: prin verificare.
Observat¸ia 7.1.5 Pentru (u, v) ∈ D are loc egalitatea:
< u, v >A=
n
Ω i=1 j=1
n
aij(X) ∂u
∂v
dX +
∂xi ∂xj
Ω
Ω
c(X)u(X)v(X)dX
Definit¸ia 7.1.4 Completatul spat¸iului vectorial D în norma · A
generatǎ de produsul scalar
< u, v >A= Au · vdx
se nume¸ste spat¸iul energetic al operatorului A ¸si se noteazǎ cu XA.
Observat¸ia 7.1.6 Elementele spat¸iului energetic XA sunt elementele spat¸iului
vectorial D la care se mai adaugǎ limite în norma · A de ¸siruri fundamentale
un din D. Altfel spus, dacǎ u ∈ XA atunci u ∈ D sau existǎ (un)n cu
un ∈ D astfel încât un − uA → 0. Un element u ∈ XA are proprietatea:
u ∈ L2 (Ω), ∂u
∈ L
∂xi
2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0
Ω

228 CAPITOLUL 7
Observat¸ia 7.1.7 Spat¸iul energetic XA împreunǎ cu produsul scalar < u, v >A
este un spat¸iu Hilbert.
Lema 7.1.2 Funct¸ionala ΦF : D → IR ′ definitǎ de formula
ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX (7.12)
Ω
în care F ∈ L 2 (Ω), se prelunge¸ste prin continuitate la o funct¸ionalǎ continuǎ
ΦF definitǎ pe spat¸iul energetic XA.
Demonstrat¸ie: Arǎtǎm la început cǎ funct¸ionala ΦF(u) definitǎ cu
(7.12) este continuǎ în topologia spat¸iului energetic. În acest scop considerǎm
u ∈ D, un ¸sir (un)n, un ∈ D cu proprietatea cǎ un − uA → n 0 ¸si apoi ¸sirul
ΦF(un) = Aun · undX − 2
Ω
Ω
Ω
F · undX.
Arǎtǎm cǎ acest ¸sir numeric este convergent ¸si limita lui este
ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX.
Într-adevǎr, avem:
de unde rezultǎ:
Ω
ΦF(un) = un 2 A
ΦF(u) = u 2 A
Ω
− 2 F · undX
Ω
− 2 F · udX
Ω
|ΦF(un) − ΦF(u)| ≤ | un 2 A − u 2 A | + 2
Ω
|F | · |un − u|dX ≤
≤ | un 2 A − u2 A | + 2F L 2 (Ω) · un − u L 2 (Ω).
Deoarece convergent¸a un − uA → 0 implicǎ convergent¸ele
| un 2 A − u2 A | → 0 ¸si un − uL 2 (Ω) → 0, rezultǎ convergent¸a
|ΦF(un) − ΦF(u)| → 0.

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 229
Dacǎ u ∈D ¸si u ∈ XA atunci se define¸ste ΦF(u) cu
n n
ΦF(u) = aij(X) ∂u
∂u
dX − 2
∂xi ∂xj
Ω i=1 j=1
Ω
F · udX
iar pentru un ∈ D, un − uA → 0 se reface acela¸si rat¸ionament.
Teorema 7.1.6 (de existent¸ǎ ¸si unicitate a punctului de minim
absolut)
Pentru orice F ∈ L 2 (Ω) prelungita ΦF prin continuitate a funct¸ionalei
ΦF la spat¸iul energetic XA are un singur punct de minim.
Demonstrat¸ie: Pentru a demonstra existent¸a punctului de minim considerǎm
funct¸ionala liniarǎ ¸si continuǎ
u ↦−→ F · udX
Ω
definitǎ pe spat¸iul energetic XA. Conform cu teoremei lui F. Riesz existǎ o
funct¸ie uF ∈ XA astfel încât sǎ avem:
< uF, u >A= F · udX
pentru orice u ∈ XA. Rǎmâne de arǎtat cǎ uF este punctul de minim absolut
al funct¸ionalei ΦF(u). În acest scop calculǎm ΦF(uF) ¸si ΦF(u) pentru u ∈ XA.
Avem:
ΦF(uF) = < uF, uF >A −2 < F, uF > L 2 (Ω)= uF 2 A − 2uF 2 A =−uF 2 A
ΦF(u) = < u, u >A −2 < F, u >L 2 (Ω)
Ω
= < u−uF, u−uF >A+2< uF, u >A−< uF, uF >A−2< F, u > L 2 (Ω)
= u − uF 2 A − uF 2 A = u − uF 2 A + ΦF(uF)
Aceastǎ din urmǎ egalitate
ΦF(u) = u − uF 2 A + ΦF(uF)
este adevǎratǎ pentru orice u ∈ XA ¸si aratǎ cǎ
Egalitatea aratǎ ¸si faptul cǎ
ΦF(u) ≥ ΦF(uF).
ΦF(u) > ΦF(uF)
pentru orice u = uF ceea ce demonstreazǎ unicitatea.

230 CAPITOLUL 7
Observat¸ia 7.1.8 Dacǎ punctul de minim absolut uF al funct¸ionalei prelungite
˜ ΦF apart¸ine lui D ⊂ XA atunci AuF = F, ¸si prin urmare uF, este
solut¸ie clasicǎ a Problemei Dirichlet.
Observat¸ia 7.1.9 Dacǎ punctul de minim absolut uF al funct¸ionalei prelungite
˜ ΦF nu apart¸ine spat¸iului vectorial D ⊂ XA atunci nu-i putem aplica
operatorul A ca sǎ vedem dacǎ este solut¸ie a ecuat¸iei Au = F. În acest
caz este naturalǎ întrebarea: Ce reprezintǎ uF în contextul rezolvarii ecuat¸iei
Au = F?
Vom da un rǎspuns la aceastǎ întrebare arǎtând cǎ operatorul A are o prelungire
à : D(Ã) → L2 (Ω), numitǎ prelungirea Friedrichs, unde D ⊂ D( Ã) ⊂
XA ¸si cǎ uF verificǎ ÃuF = F. Aceasta înseamnǎ cǎ funct¸ia uF nu mai verificǎ
condit¸ia de solut¸ie clasicǎ :
u ∈ D ¸si −
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂u
+ c(X) · u = F
∂xj
i=1
j=1
ci verificǎ doar condit¸ia : uF ∈ XA ¸si
n
n
Ω i=1 j=1
aij(X)· ∂uF
·
∂xj
∂v
dx+ c(X)·uF ·v dX = F ·v dX, (∀) v ∈ XA
∂xi Ω
Ω
Teorema 7.1.7 (de prelungire a lui Friedrichs).
Operatorul G : L 2 (Ω) → XA definit prin G(F)=uF ∈ XA unde uF verificǎ
are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
i) G este liniar ¸si mǎrginit ;
ii) G este injectiv ;
iii) G este autoadjuct ;
iv) G este compact ;
< uF, u >A=< F, u > L 2 (Ω), (∀) u∈XA,

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 231
v) G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este o prelungire a lui A.
Demonstrat¸ie: Remarcǎm la început cǎ operatorul G este corect definit
pentru cǎ existent¸a ¸si unicitatea funct¸iei uF = G(F) a fost demonstratǎ.
i) Pentru α, β ∈ IR 1 , F1, F2 ∈ L 2 (Ω) ¸si u ∈ XA avem:
< G(αF1 + βF2), u >A = < αF1 + βF2, u > L 2 (Ω)
de unde rezultǎ egalitatea :
care aratǎ cǎ operatorul G este liniar.
= < αF1, u > L 2 (Ω) + < βF2, u > L 2 (Ω)
= α < F1, u > L 2 (Ω) +β < F2, u > L 2 (Ω)
= < αG(F1) + βG(F2), u > L 2 (Ω)
G(αF1 + βF2) = αG(F1) + βG(F2)
Pentru a demonstra mǎrginirea operatorului G considerǎm
F ∈ L2 (Ω) ¸si evaluǎm G(F)2 A . Avem:
µ 2 0
· G(F)2
k2 L2 (Ω) ≤ G(F)2A = < F, G(F) >L2 (Ω)
≤ F L 2 (Ω) · G(F) L 2 (Ω)
unde k > 0 este constanta din inegalitatea lui Friedrichs ¸si µ0 > 0 este constanta
din condit¸ia de elipticitate.
Simplificând cu G(F) L 2 (Ω) în inegalitatea obt¸inutǎ, rezultǎ:
G(F)L2 (Ω) ≤ k2
µ 2 · F L2 (Ω)
0
care aratǎ cǎ operatorul G : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) este mǎrginit.

232 CAPITOLUL 7
ii)
G(F)=0 ⇒ < uF, u >A= 0, (∀)u∈XA
⇒ < F, u > L 2 (Ω)= 0, (∀)u∈XA ⇒ F =0
iii) Operatorul G : L 2 (Ω) → Im G ⊂ XA fiind injectiv putem considera
operatorul G −1 : Im G → L 2 (Ω) ¸si arǎtǎm cǎ este autoadjunct, adicǎ :
Astfel,
< G −1 u, v > L 2 (Ω)=< u, G −1 v > L 2 (Ω), (∀)u, v ∈ Im G.
< G −1 u, v >L 2 (Ω) = < u, v >A=< v, u >A=< G −1 v, u >L 2 (Ω)
= < u, G −1 v > L 2 (Ω) .
Folosim acum acest rezultat pentru a demonstra cǎ operatorul G este autoadjunct:
< G(F), H > L 2 (Ω)=< G(F), G −1 (G(H)) > L 2 (Ω=
=< G −1 (G(F)), G(H) >L 2 (Ω)=< F, G(H) >L 2 (Ω) .
iv) Prin faptul cǎ operatorul G este compact înt¸elegem cǎ transformǎ
sfera închisǎ de razǎ unu din L 2 (Ω) într-o mult¸ime compactǎ din L 2 (Ω).
Considerǎm F ∈ L2 (Ω) cu F L2 (Ω) ≤ 1.
Calculǎm G(F)2 A ¸si gǎsim:
G(F) 2 A =< F, G(F) >L2 (Ω) ≤ F 2
L2 (Ω) · G(F)2L
2 (Ω)
Simplificând cu G(F)A obt¸inem :
G(F)A ≤ k
µ0
≤ F L 2 (Ω) · k
· F L 2 (Ω) ≤ k
µ0
µ0
,
· G(F)A.
ceea ce aratǎ cǎ imaginea sferei închise de razǎ unu din L 2 (Ω) prin operatorul
G este o mult¸ime mǎrginitǎ în spat¸iul energetic XA. S¸tiind cǎ o

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 233
mult¸ime mǎrginitǎ în XA este compactǎ în L 2 (Ω) deducem cǎ operatorul G
este compact.
v) Arǎtǎm acum cǎ operatorul G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este o prelungire
a operatorului A.
Din cele de pânǎ acum ¸stim cǎ G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este un operator
injectiv.
Considerǎm u ∈ D ¸si apoi Au ∈ L 2 (Ω). Funct¸ia GAu apart¸ine la Im G ¸si
avem :
< GAu, v >A=< Au, v > L 2 (Ω)=< u, v >A (∀)v ∈ XA.
Rezultǎ de aici egalitatea :
GAu = u, (∀) u ∈ D,
care demonstreazǎ apartenent¸a u ∈ ImG ¸si egalitatea G −1 u = Au. Am
arǎtat în acest fel cǎ operatorul G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este o prelungire
a operatorului A.
Definit¸ia 7.1.5 Operatorul G −1 se nume¸ste prelungirea Friedrichs a operatorului
A ¸si se noteazǎ cu Ã.
Teorema 7.1.8 (caracterizarea minimului absolut al funct¸ionalei Φ) Funct¸ia
uF ∈ XAeste minimul absolut al funct¸ionalei
˜ΦF : XA → IR 1 , ˜ ΦF(u) =< u, u >A −2 < F, u > L 2 (Ω)
dacǎ ¸si numai dacǎ uF este solut¸ia ecuat¸iei Ãu = F, unde à este prelungirea
Friedrichs a operatorului A.
Demonstrat¸ie: Rezultatul se obt¸ine imediat din construct¸ia prelungirii
Friedrichs a operatorului A.
Observat¸ia 7.1.10 Din cele prezentate rezultǎ cǎ pentru orice
F ∈ L2 (Ω) ecuat¸ia Ãu = F are o singurǎ solut¸ie în spat¸iul Hilbert XA.
Definit¸ia 7.1.6 Solut¸ia uF a ecuat¸iei Ãu = F se nume¸ste solut¸ia generalizatǎ
a ecuat¸iei Au = F.

234 CAPITOLUL 7
Observat¸ia 7.1.11 Dacǎ uF ∈ D ⊂ XA atunci uF este solut¸ie clasicǎ a
Problemei Dirichlet. Dacǎ uF ∈ XA nu apart¸ine la D (uF ∈D) atunci ea
verificǎ doar:
n
n
Ω i=1 j=1
aij(x) · ∂uF
∂xj
pentru orice v ∈ XA.
· ∂v
dx + c(x) · uF(x) · v(x)dx = F(x) · v(x)dx
∂xi Ω
Ω
În continuare vom descrie o metodǎ de determinare a solut¸iei generalizate
uF a ecuat¸iei Au = F (despre care ¸stim cǎ existǎ ¸si este unicǎ). Metoda se
bazeazǎ pe determinarea valorilor proprii ¸si vectorilor proprii ai prelungirii
Friedrichs Ã.
Definit¸ia 7.1.7 Un numǎr λ este valoare proprie pentru operatorul à dacǎ
existǎ o funct¸ie u în D( Ã) (domeniul de definit¸ie al operatorului Ã), u = 0,
astfel încât sǎ avem:
Ãu = λ · u.
Teorema 7.1.9 Pentru operatorul à existǎ un ¸sir infinit de valori proprii
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ... ≤ λm ≤ ...
¸si corespunzǎtor acestor valori proprii un ¸sir infinit de funct¸ii proprii
cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:
u1, u2, u3, ..., un, ...
lim
n→∞ λn = +∞
< ui, uj > L 2 (Ω) = δij.
Demonstrat¸ie: Operatorul G : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) este liniar autoadjunct ¸si
complet continuu. Pe baza unei teoreme relative la aceastǎ clasǎ de operatori
liniari rezultǎ cǎ, G admite un ¸sir infinit de valori proprii ¸si un ¸sir infinit de
funct¸ii proprii. Valorile proprii ale lui G le notǎm cu
1
λ1
, 1
, ...,
λ2
1
, ...
λm

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 235
iar funct¸iile proprii cu
u1, u2, ..., um, ...
Presupunem cǎ aceste valori proprii sunt aranjate în ¸sir astfel ca sǎ avem:
1
≥
1
≥ ... ≥
1
≥ ...
λ1
λ2
λm
iar funct¸iile proprii sunt alese astfel ca sǎ avem
< ui, uj > L 2 (Ω)= δij.
T¸inând seamǎ de egalitatea à = G−1 rezultǎ cǎ à admite ¸sirul de valori
proprii |λ1| ≤ |λ2| ≤ ... ¸si ¸sirul de funct¸ii proprii u1, u2, ..., um, ...
Arǎtǎm acum cǎ λm > 0 pentru orice m.
Într-adevǎr din G · um = 1
λm · um rezultǎ cǎ
Pe de altǎ parte,
¸si astfel
< G · um, um > L 2 (Ω)= 1
λm
um 2
L2 1
(Ω) = .
λm
< G · um, um > L 2 (Ω)=< um, um >A≥ γum 2
L 2 (Ω)
1
λm
≥ γum 2
L2Ω > 0.
Arǎtǎm acum cǎ, A admite chiar un ¸sir infinit de valori proprii. La început
arǎtǎm cǎ mult¸imea de definit¸ie ImG a operatorului A ( formatǎ din elementele
G(F) cu F ∈ L 2 (Ω) ) este un spat¸iu vectorial infinit dimensional.
Pentru aceasta, fie u o funct¸ie de clasǎ C ∞ cu suport compact în Ω. Considerǎm
funct¸ia F = Au ¸si observǎm cǎ u este solut¸ia clasicǎ a Problemei
Dirichlet
Au = F.
Rezultǎ cǎ, u este ¸si solut¸ie generalizatǎ a acestei probleme, ceea ce înseamnǎ
cǎ G(F) = u. Am arǎtat în acest fel cǎ orice funct¸ie de clasǎ C ∞ cu suport
compact inclus în Ω apart¸ine mult¸imii Im(G) ¸si ca urmare spat¸iul vectorial
Im(G) este infinit dimensional.

236 CAPITOLUL 7
Sǎ presupunem acum prin absurd cǎ, operatorul G are doar un numǎr
finit de valori proprii diferite de zero: λ1, λ2, . . .,λm. T¸inând seama de faptul
cǎ G este autoadjunct ¸si compact rezultǎ de aici:
m
G(F) =
k=1
< G(F), uk > uk, (∀)F ∈ L 2 (Ω).
Aceastǎ egalitate aratǎ cǎ ¸sirul u1, u2, . . ., um este bazǎ în Im(G) deci Im(G)
este spat¸iu vectorial finit dimensional. Astfel, am ajuns la o contradict¸ie ¸si
deci G admite un ¸sir infinit de valori proprii. Încheiem demonstrat¸ia ob-
servând cǎ lim
m→∞ λm = +∞.
Teorema 7.1.10 S¸irul de funct¸ii proprii {um}m ai operatorului A este un
¸sir ortonormat complet în spat¸iul Hilbert L2
(Ω), iar ¸sirul de funct¸ii proprii
um
√λm este un ¸sir ortonormat complet în spat¸iul energetic XA.
m
Demonstrat¸ia acestei teoreme este laborioasǎ ¸si nu o facem aici.
Suntem acum în mǎsurǎ sǎ formulǎm urmǎtoarea teoremǎ referitoare la
solut¸ia generalizatǎ a ecuat¸iei Au = F, F ∈ L 2 (Ω).
Teorema 7.1.11 Oricare ar fi F ∈ L2 (Ω), solut¸ia generalizatǎ uF a ecuat¸iei
Au = F este datǎ de:
+∞ 1
uF = < F, um > L2 (Ω) ·um
λm
m=1
unde {um}m este ¸sirul de funct¸ii proprii ale operatorului A ( A− prelungirea
Friedrichs a opertorului A) ortonormal ¸si complet în spat¸iul Hilbert L 2 (Ω).
Demonstrat¸ie: Deoarece
+∞
+∞
uF = < uF, um > L2 ·um sau uF =
m=1
folosind egalitatea:
avem cǎ:
uF =
+∞
m=1
m=1
< uF, v >A=< F, v > L 2, (∀)v ∈ XA
< F, um
√λm
> L 2 · um
√λm
=
< uF, um
√λm
>A · um
√λm
+∞ 1
< F, um > L2 ·um.
λm
m=1

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 237
Exercit¸ii:
Fie Ω = (0, l1) × (0, l2) ¸si operatorul A definit prin
2 ∂ u
Au = −
∂x 2 1
+ ∂2 u
∂x 2 2
pentru u ∈ D = {u ∈ C 2 (Ω) ¸si u|∂Ω}.
Determinat¸i solut¸ia generalizatǎ a Problemei Dirichlet Au = F unde:
a) F(x1, x2) = x1 · x2;
b) F(x1, x2) = x 2 1 + x2 2 ;
c) F(x1, x2) = x1 − x2;
R: Din Au = λu se obt¸in valorile proprii ¸si vectorii proprii:
respectiv
λm,n =
nπ
l1
2
mπ
+
l2
2
um,n = sin nπ
x1 · mπ
x2.
1
Calculând um,nL2 = l1 · l2 se obt¸in vectorii bazei ortonormale
2
2
√l1l2
· sin nπ
x1 · sin
l1
mπ
x2
l2
Solut¸ia generalizatǎ este: uF(x1, x2) =
·
0
l1
0
l2
2
F(x1, x2) · √
l1l2
l1
l2
+∞
+∞
m=1 n=1
· sin nπ
x1 · sin mπ
unde F(x1, x2) este funct¸ia datǎ la a), b), c).
l1
l2
x2
nπ
l1
m,n
2
1
2 ·
mπ
+
l2
dx1dx2· 2
√ ·sin
l1l2
nπ
x1·sin
l1
mπ
l2
x2

238 CAPITOLUL 7
7.2 Problema Cauchy-Dirichlet pentru
ecuat¸ii parabolice
Fie Ω ⊂ IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial netedǎ)
¸si funct¸iile reale:
aij, c, u0 : Ω → IR 1 , f :[0, +∞) × Ω → IR 1 , g : [0, +∞) × ∂Ω → IR 1
cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:
i) aij sunt funct¸ii de clasǎ C 1 pe Ω ¸si aij = aji , i, j = 1, n;
c este o funct¸ie continuǎ pe Ω, u0 este o funct¸ie continuǎ pe Ω ¸si de
clasǎ C 2 pe Ω.
ii) existǎ µ0 > 0 astfel încât pentru orice (ξ1, . . .,ξn) ∈ IR n sǎ aibe loc
inegalitatea
n
i=1
n
aij(X) · ξi · ξj ≥ µ0
j=1
iii) c(X) ≥ 0, (∀) X ∈ Ω;
n
i=1
ξ 2 i , (∀) X ∈ Ω;
iv) f este funct¸ie continuǎ pe [0, ∞) × Ω ¸si g este o funct¸ie continuǎ pe
[0, +∞) × ∂Ω.
Definit¸ia 7.2.1 Problema care constǎ în determinarea funct¸iilor reale u :
[0, +∞) × Ω → IR 1 care au urmǎtoarele proprietǎt¸i:
1) u este continuǎ pe [0, +∞) × Ω, de clasǎ C 1 pe (0, +∞) × Ω ¸si
pentru orice t ∈ (0, +∞) fixat u este de clasǎ C2 pe Ω.
∂u
2)
∂t −
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂u
∂xj
i=1
j=1
+c(X) · u(t, X)=f(t, X), (∀) t>0 ¸si (∀)X ∈ Ω (7.13)
3) u(t, X) = g(t, X), (∀) (t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω. (7.14)
4) u(0, X) = u0(X), (∀)x ∈ Ω. (7.15)
se nume¸ste Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ.

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 239
Definit¸ia 7.2.2 O funct¸ie u care verificǎ condit¸iile din definit¸ia precedentǎ
se nume¸ste solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ.
Propozit¸ia 7.2.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω ′ ⊂ IR n care include mult¸imea
Ω ¸si o funct¸ie G : [0, +∞) × Ω ′ → IR 1 de clasǎ C 2 pe [0, +∞) × Ω ′ astfel
încât
G(t, X) = g(t, X) ∀(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω,
atunci Problema Cauchy-Dirichlet neomogenǎ pentru ecuat¸ia parabolicǎ, prin
schimbarea de funct¸ie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) − G(t, X) se reduce la
Problema Cauchy-Dirichlet omogenǎ pentru ecuat¸ia parabolicǎ:
∂v
∂t −
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi i=1 j=1
∂v
+c(X) · v(t, X)=f(t, X) −
∂xj
∂G
∂t +
n
n
∂
+ aij(X) ·
∂xi
∂G
− c(X) · G(t, X), (7.16)
∂xj
i=1
j=1
(∀) t)>0 ¸si (∀)X ∈ Ω
v(t, X) = 0 (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω (7.17)
v(0, X) = u0(X) − G(0, X) (∀) X ∈ Ω. (7.18)
Demonstrat¸ie: prin verificare.
Observat¸ia 7.2.1 Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ cu
condit¸ii pe frontierǎ neomogene (prezentatǎ în Def. 7.2.1), se reduce la o
Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ cu condit¸ii pe frontierǎ
omogene. Datoritǎ acestui fapt, vom considera în continuare Problema
Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ de tipul urmǎtor:

240 CAPITOLUL 7
∂u
∂t −
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂v
+c(X) · u(t, X)=f(t, X) (7.19)
∂xj
i=1
j=1
u(t, X) = 0 (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω. (7.20)
u(0, X) = u0(X) (∀) X ∈ Ω (7.21)
în care funct¸iile aij, c, f au proprietǎt¸ile deja prezentate: (i), (ii), (iii), (iv),
iar funct¸ia u0 este continuǎ pe Ω ¸si de clasǎ C 2 în Ω.
Definit¸ia 7.2.3 O solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21)
este o funct¸ie u : [0, +∞) × Ω → IR 1 care are urmǎtoarele proprietǎt¸i: u este
continuǎ pe [0, +∞) × Ω, este de clasǎ C 1 pe (0, +∞) × Ω ¸si este de clasǎ
C2 în Ω pentru (∀)t ∈ (0, +∞), t - fixat ¸si verificǎ:
∂u
∂t −
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂u
+c(X) · u(t, X)=f(t, X)
∂xj
i=1
j=1
(∀)t>0 ¸si (∀) X ∈ Ω (7.22)
u(t, X) = 0 (∀) (t, X) ∈ [0, ∞) × ∂Ω (7.23)
u(0, X) = u0(X) (∀) x ∈ Ω. (7.24)
Dacǎ considerǎm operatorul diferent¸ial A definit pe spat¸iul de funct¸ii:
cu formula:
D = {w|w : Ω → IR 1 , w ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) ¸si w|∂Ω = 0},
Aw = −
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂w
+ c(X) · w
∂xj
i=1
j=1
atunci Problema Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21) se scrie:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂u
∂t
+ Au = f
u(0, X) = u0.
(7.25)

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 241
În continuare, vom formula o problemǎ mai generalǎ pentru care vom demonstra
o teoremǎ de existent¸ǎ ¸si unicitate.
Teorema 7.2.1 Dacǎ funct¸ia u : [0, +∞) × Ω → IR 1 este solut¸ie clasicǎ a
Problemei Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21), atunci funct¸ia V definitǎ prin
are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
V (t)(X) = u(t, X)
a) V : [0, +∞) → L 2 (Ω) este continuǎ;
b) V : (0, +∞) → L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 ;
c) V : (0, +∞) → XA este continuǎ, unde XA reprezintǎ spat¸iul energetic
al operatorului A.
d) V (0) = u0.
e) dV
dt
+ AV = F(t), (∀) t > 0 unde F(t)(X) = f(t, X).
Demonstrat¸ie:
a) Fie t0 ∈ [0, +∞) ¸si η > 0. Funct¸ia u(t, X) este uniform continuǎ pe
mult¸imea compactǎ [t0 − η, t0 + η] × Ω (dacǎ t0 = 0, atunci [0, η] × Ω).
Prin urmare, (∀)ε > 0, (∃)δ(ε) > 0 astfel ca
(∀)(t ′ , X ′ ), (t ′′ , X ′′ ) ∈ [t0 −η, t0+η]×Ω cu |t ′ −t ′′ | < δ(ε) ¸si ||X ′ −X ′′ || < δ(ε)
sǎ avem:
|u(t ′ , X ′ ) − u(t ′′ , X ′′ )| < ε/ |Ω|
unde |Ω| este mǎsura lui Ω.
Rezultǎ de aici cǎ are loc inegalitatea:
|u(t, X) − u(t0, X)|
Ω
2 dX < ε 2 , (∀) t cu |t − t0| < δ(ε).
Deducem de aici cǎ, dacǎ |t − t0| < δ(ε) atunci
||V (t) − V (t0)|| L 2 (Ω) < ε.
Aceasta demonstreazǎ continuitatea funct¸iei V : [0, +∞) → L 2 (Ω) într-un
punct oarecare t0.

242 CAPITOLUL 7
b) Pentru a demonstra cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 se
considerǎ un punct t0 ∈ (0, +∞) ¸si cu un rat¸ionament analog cu cel prezentat
anterior se aratǎ cǎ:
lim
u(t, X) − u(t0, X)
t→t0 t − t0
Ω
− ∂u
∂t (t0,
X)
2
dX = 0
ceea ce aratǎ cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → IL 2 (Ω) este de clasǎ C 1 ¸si
dV
+ AV = F(t).
dt
c) pentru a demonstra cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → XA este continuǎ se considerǎ
t0 ∈ (0, +∞) ¸si se aratǎ cǎ lim ||V (t) − V (t0)||XA = 0.
t→t0
d) V (0)(X) = u(0, X) = u0(X).
e) s-a demonstrat împreunǎ cu (b).
Fie acum A prelungirea Friedrichs, a operatorului A definit pe D( A), F o
funct¸ie F : [0, +∞) → L2 (Ω) continuǎ ¸si V0 ∈ L2 (Ω). Considerǎm problema
Cauchy:
⎧
⎪⎨
dV
dt
⎪⎩
+ AV = F(t)
(7.26)
V (0) = V0
Definit¸ia 7.2.4 O solut¸ie a acestei probleme este o funct¸ie
V : [0, +∞) → L 2 (Ω) care are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
a) V ∈ C 1 ((0, +∞); L 2 ) ∩ C([0, +∞), L 2 )
b) V (t) ∈ D( A), (∀) t ∈ (0, +∞) ¸si dV
dt + AV = F(t).
c) V (0) = V0.
Definit¸ia 7.2.5 Problema Cauchy (7.26) va fi numitǎ problema Cauchy abstractǎ
pentru ecuat¸ia parabolicǎ, iar o solut¸ie a acesteia va fi numitǎ solut¸ie
”tare” a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ.
Observat¸ia 7.2.2 Dacǎ u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-
Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ, atunci funct¸ia V definitǎ prin
V (t)(x) = u(t, X) este solut¸ie a problemei Cauchy abstracte pentru ecuat¸ia
parabolicǎ.

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 243
Teorema 7.2.2 Problema Cauchy abstractǎ (7.26) pentru ecuat¸ia parabolicǎ
are cel mult o solut¸ie.
Demonstrat¸ie: Fie V1, V2 douǎ solut¸ii ale problemei (7.26) ¸si
V = V1 − V2. Funct¸ia V verificǎ
Rezultǎ de aici egalitatea
din care rezultǎ inegalitatea
Funct¸ia ||V || 2
L 2 (Ω)
dV
dt + AV = 0 ¸si V (0) = 0.
1 d
||V ||2L
2 dt 2 (Ω) + ||V ||2A = 0
d
||V ||2L
dt 2 (Ω) ≤ 0.
este pozitivǎ, nulǎ pentru t = 0 ¸si conform inegalitǎt¸ii,
descre¸ste. Rezultǎ cǎ ||V || 2
L 2 (Ω) = 0, (∀) t ≥ 0, de unde V1 = V2.
Teorema 7.2.3 Dacǎ funct¸ia F : [0, +∞) → L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 pe
[0, +∞) atunci problema Cauchy abstractǎ pentru ecuat¸ia parabolicǎ are o
solut¸ie unicǎ.
Demonstrat¸ie: Va trebui sǎ arǎtǎm doar cǎ problema (7.26) are solut¸ie,
unicitatea o avem deja în baza teoremei precedente.
Presupunem cǎ avem o solut¸ie ¸si, pentru t ∈ [0, +∞) o dezvoltǎm dupǎ
sistemul ortonormat complet de funct¸ii proprii (um)m∈IN ale operatorului A :
V (t) =
∞
m=1
< V (t), um >L 2 (Ω) ·um
S¸irul corespunzǎtor de valori proprii va fi notat cu 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm ≤
. . .
Procedǎm la fel cu F(t) ¸si V0:
F(t) =
∞
m=1
< F(t), um >L 2 (Ω) ·um

244 CAPITOLUL 7
Notǎm:
¸si din ecuat¸ia
¸si condit¸ia init¸ialǎ
deducem:
V0 =
∞
m=1
< V(0), um >L 2 (Ω) ·um
vm(t) =< V (t), um > L 2 (Ω)
fm(t) =< F(t), um >L 2 (Ω)
v 0 m (t) =< V0, um > L 2 (Ω)
dV
dt + AV = F(t)
V (0) = V0
dvm
dt + λm · vm = fm, vm(0) = v 0 m m = 1, 2, 3, . . ..
Aceste probleme cu date init¸iale au solut¸iile date de formula
vm(t) = v 0 me −λmt +
t
0
e −λm(t−s) · fm(s)ds m = 1, 2, 3, . . .
de unde rezultǎ cǎ solut¸ia V (t) a Problemei Cauchy abstracte (7.26) verificǎ
egalitatea:
∞
V (t) = v 0 me −λmt ⎛
∞
t
· um + ⎝ e −λm(t−s) ⎞
· fm(s)ds⎠
· um. (7.27)
m=1
m=1
Vom arǎta acum cǎ, dacǎ V0 ∈ L 2 (Ω) ¸si funct¸ia F : [0, +∞) → L 2 (Ω) este
de clasǎ C 1 pe [0, +∞), atunci membrul drept al formulei (7.27) define¸ste
o funct¸ie V (t) care este solut¸ie pentru problema Cauchy abstractǎ, adicǎ V
are proprietǎt¸ile (a), (b), (c) din Definit¸ia (7.26).
În prima etapǎ, trebuie demonstratǎ convergent¸a seriilor din membrul drept
al egalitǎt¸ii (7.27) ¸si examinatǎ ”netezimea” funct¸iilor care sunt sumele acestor
serii.
Deoarece {um}m este un sistem ortonormat complet în L 2 (Ω), din convergen-
t¸a seriei numerice ∞
|v0 m| 2 · e−2λmt rezultǎ convergent¸a în L2 (Ω) a seriei de
m=1
0

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 245
funct¸ii ∞
m=1
seria numericǎ ∞
cǎ, seria ∞
v 0 m ·e−λmt ·um. Seria ∞
|v
m=1
0 m |2 ·e−2λmt , (∀) t ≥ 0, este majoratǎ de
|v
m=1
0 m |2 care este convergentǎ (V0 ∈ L2 (Ω)). Rezultǎ astfel
v
m=1
0 m · e−λmt · um este uniform convergentǎ pentru orice t ≥ 0 în
spat¸iul L2 (Ω) ¸si suma ei este funct¸ie continuǎ de t.
Pentru a arǎta cǎ seria ∞
t
e−λm(t−s)
· fm(s)ds
m=1
0
· um converge în L 2 (Ω)
uniform pe un segment oarecare [0, T], procedǎm dupǎ cum urmeazǎ: considerǎm
seria ∞ t
| e−λm(t−s) · fm(s)ds| 2 , ¸si o majorǎm astfel:
seria ∞
m=1
m=1
∞
m=1
≤
=
=
=
≤
0
0
t
∞
m=1
0
m=1
e −λm(t−s)
·fm(s)ds
t
e −2λm(t−s) ds·
∞
e −2λmt 1
· e
2λm
−2λms
∞
1
m=1
m=1
2λm
2
≤
t
f
0
2 m (s)ds=
t
0
− 1
e
2λm
−2λmt
·
∞ 1
(1 − e
2λm
−2λmt ) ·
∞
m=1
1
2λ1
t
0
t
0
f 2 1
m (s)ds =
2λ1
·
t
0
t
0
f 2 mds =
f 2 m(s)ds =
f 2 m (s)ds ≤
∞
t
m=1
0
f 2 m (s)ds.
f2 m (s) converge pentru orice s ∈ [0, T] iar funct¸iile sunt continue
¸si pozitive ¸si suma seriei ∞
f2 m(s) = ||F(s)|| 2 este funct¸ie continuǎ. Con-
m=1

246 CAPITOLUL 7
form teoremei lui Dini rezultǎ cǎ, seria ∞
rezultǎ convergent¸a uniformǎ a seriei ∞
aici cǎ seria ∞
m=1
t
0
e−λm(t−s)
fm(s)ds
f
m=1
2 m (s) converge pe [0, T] , de unde
t
m=1 0
|fm(s)| 2 ds pe [0, T]. Se obt¸ine de
um este convergentǎ în L 2 (Ω) uniform
în raport cu t ∈ [0, T] ¸si suma ei este funct¸ie continuǎ de t.
Am obt¸inut în acest fel cǎ, funct¸ia V (t) definitǎ de (7.27) este funct¸ie continuǎ
de la [0, +∞) la L 2 (Ω).
Vom arǎta în continuare cǎ V : (0, +∞) → L 2 (Ω) este funct¸ie de clasǎ
C 1 . Aceasta rezultǎ din convergent¸a uniformǎ pe [t0, +∞) (cu 0 < t0 < T
oarecare) a seriilor
¸si ∞
m=1
t
0
∞
m=1
v 0 m e−λmt um
e−λm(t−s)
fm(s)ds um ¸si a seriilor obt¸inute din acestea prin derivare
termen cu termen.
Pentru derivata seriei ∞
v
m=1
0 me−λmtum, adicǎ pentru seria:
−
∞
m=1
λmv 0 me −λmt um
convergent¸a uniformǎ rezultǎ din estimǎrile:
λ 2 m (v0 m )2 e −2λmt ≤ λ 2 m (v0 m )2 e −2λmt0 ≤ c · (v 0 m ) 2
unde c este o constantǎ independentǎ de m ¸si t. Pentru derivata celei de a
doua serii, adicǎ pentru seria
⎡
∞
t
⎣fm(t) − λm e −λm(t−s) ⎤
fm(s)ds⎦um
m=1
convergent¸a uniformǎ se obt¸ine din estimarea:
0

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii parabolice 247
|fm(t) − λm
t
0
e −λm(t−s) · fm(s)| 2 =
= |fm(0)e −λmt +
t
0
f ′ m (s)e−λm(t−s) ds| 2 ≤
≤ 2|fm(0)| 2e−2λ1t0 t
+ 2 |f
0
′ m (s)|2 t
ds ·
0
≤ |fm(0)| 2 e −2λ1t0 + 1
λ1
T
0
|f ′ m(s)| 2 ds.
e −2λm(t−s) ds ≤
Din aceastǎ estimare ¸si din ipoteza cǎ F ∈ C 1 ([0, +∞), L 2 ) rezultǎ convergent¸a
uniformǎ a seriei derivate ¸si continuitatea sumei.
Apartenent¸a V ∈ C 1 ((0, +∞), L 2 ) este acum imediatǎ.
Pentru apartenent¸a V (t) ∈ D( A) dacǎ t > 0 remarcǎm cǎ domeniul D( A)
poate fi caracterizat astfel:
D( A) =
v =
∞
cmum|
m=1
∞
m=1
λ 2 m · c2 m
< +∞
Aceastǎ caracterizare ¸si rat¸ionamentele precedente aratǎ cǎ:
V (t) ∈ D( A), (∀) t > 0.
Verificarea egalitǎt¸ilor: dV
dt + AV = F(t) ¸si V (0) = V0 este imediatǎ.
Exercit¸iul 1
Gǎsit¸i Problema Cauchy abstractǎ în cazul Problemei Cauchy-Dirichlet
⎧
⎪⎨
⎪⎩
¸si determinat¸i solut¸ia ”tare”.
∂u
∂t = a2∂2 u
∂x2 u(t, 0) = u(t, l) = 0
u(0, x) = u0(x)
t > 0, x ∈ (0, l)
.

248 CAPITOLUL 7
Rǎspuns:
u(x, t) =
∞
k=1
λk =
kπ
l
akπ
−(
ak · e l )2 ·t kπx
sin
l
2
, k ∈ IN ∗ , uk = sin kπx
l V
unde ak = 2
l
Exercit¸iul 2
Determinat¸i solut¸iile urmǎtoarelor Probleme Cauchy-Dirichlet:
a)
b)
c)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂u
∂t = 4∂2 u
∂x2, u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = 3 sin 2πx, x ∈ [0, 1]
l
(x, t) ∈ (0, 1) × (0, +∞)
R: u(x, t) = 3 · e −16π2 t · sin 2πx
∂u
∂t = 4 · ∂2u ∂x2 + e−4t sin x x ∈ (0, π) × (0, ∞)
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = 4 sin x · cos x, x ∈ [0, π]
R: u(x, t) = t · e −4t · sin x + 2e −16t · sin 2x
∂u
∂t = ∂2u + x + 1, (x, t) ∈ (0, 1) × (0, +∞)
∂x2 u(0, t) = t + 1, u(1, t) = 2t + 1, t ≥ 0
u(x, 0) = 1, x ∈ [0, 1]
R: u(x, t) = t + 1 + x · t
0
u0(x) · sin kπx
l dx

Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii parabolice 249
7.3 Calculul simbolic ¸si numeric al solut¸iei
Problemei Cauchy-Dirichlet pentru
ecuat¸ii parabolice
Calculul simbolic al solut¸iei unei probleme Cauchy-Dirichlet nu poate fi
realizat cu funct¸ia pdsolve. În astfel de cazuri se trece la rezolvarea numericǎ.
Pentru exemplificare, vom considera trei Probleme Cauchy-Dirichlet pentru
ecuat¸ii parabolice a cǎror solut¸ie o vom determina numeric folosind funct¸ia
pdsolve cu sintaxa pentru calcul numeric:
pdsolve(PDE or PDE system, conds, type=numeric, other option);
în care:
PDEorPDEsystem - ecuat¸ia cu derivate part¸iale pe care dorim sǎ
o rezolvǎm sau sistemul de ecuat¸ii cu derivate
part¸iale
conds - condit¸iile init¸iale ¸si condit¸iile la limitǎ
type = numeric - indicǎ rezolvarea utilizând metode numerice
otheroption - diferite opt¸iuni (de ex. metoda numericǎ, nr.
de puncte, etc.)
Exemplul 1:
Heat equation
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂u 1
(x, t) =
∂t 10 · ∂2u ∂x2(x, t)
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = 1
> PDE1 :=diff(u(x,t),t)=1/10*diff(u(x,t),x,x);
PDE1 := ∂
∂t
u (x, t) = 1/10 ∂2
∂x 2u (x, t)
> IBC1 := {u(0,t)=0, u(1,t)=0, u(x,0)=1};
IBC1 := {u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, u (x, 0) = 1}
> pds1 := pdsolve(PDE1,IBC1,numeric);

250 CAPITOLUL 7
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module
> p1 := pds1:-plot(t=0):
p2 := pds1:-plot(t=1/10):
p3 := pds1:-plot(t=1/2):
p4 := pds1:-plot(t=1):
p5 := pds1:-plot(t=2):
plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5},
title=‘Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);
Figura 30
> pds1:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);

Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii parabolice 251
Exemplul 2:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂u
(x, t) = 4
∂t
Figura 31
∂ 2 u
∂x 2
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = 4 cosxsin x
(x, t) + e −4t · sin x
Heat equation
> PDE2 :=
diff(u(x,t),t)=4*diff(u(x,t),x,x)+(exp(-4*t))*sin(x);
PDE2 := ∂
∂t
u (x, t) = 4 ∂2
∂x 2u (x, t) + e −4 t sin (x)
> IBC2 := {u(0,t)=0,u(Pi,t)=0,u(x,0)=4*cos(x)*sin(x)};
IBC2 := {u (0, t) = 0, u (π, t) = 0, u (x, 0) = 4 cos (x) sin (x)}
> pds2 := pdsolve(PDE2,IBC2,numeric);
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module
> p6 := pds2:-plot(t=0):
p7 := pds2:-plot(t=1/10):

252 CAPITOLUL 7
p8 := pds2:-plot(t=1/2):
p9 := pds2:-plot(t=1):
p10 := pds2:-plot(t=2):
plots[display]({p6,p7,p8,p9,p10},
title=‘Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);
Figura 32
> pds2:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);
Figura 33

Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii parabolice 253
Exemplul 3:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂u
∂t (x, t) = ∂2u ∂x2(x, t) + t · cosx
u(0, t) = t, u(π, t) = 0
u(x, 0) = cos 2x + cos 3x
Heat equation
> PDE3 :=
diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x,x)+t*cos(x);
PDE3 := ∂
∂t
u (x, t) = ∂2
∂x 2u (x, t) + t cos (x)
> IBC3 := {u(0,t)=t,u(Pi,t)=0,u(x,0)=cos(2*x)+cos(3*x)};
IBC3 := {u (π, t) = 0, u (0, t) = t, u (x, 0) = cos (2 x) + cos (3 x)}
> pds3 := pdsolve(PDE3,IBC3,numeric);
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module
> q1 := pds3:-plot(t=0):
q2 := pds3:-plot(t=1/10):
q3 := pds3:-plot(t=1/2):
q4 := pds3:-plot(t=1):
q5 := pds3:-plot(t=2):
plots[display]({q1,pq2,q3,q4,q5},
title=‘Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);

254 CAPITOLUL 7
Figura 34
> pds3:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);
Figura 35

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 255
7.4 Problema Cauchy-Dirichlet pentru
ecuat¸ii hiperbolice
Fie Ω ⊂ IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si
funct¸iile reale aij, c, u0, u1 : Ω → IR 1 , f : [0, +∞) × Ω → IR 1 ,
g : [0, +∞) × ∂Ω → IR 1 cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:
i) aij sunt funct¸ii de clasǎ C 1 pe Ω ¸si aij = aji, i, j = 1, n;
c este continuǎ pe Ω;
u0 este de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de clasǎ C 2 pe Ω;
u1 este continuǎ pe Ω ¸si de clasǎ C 1 pe Ω.
ii) existǎ µ0 > 0 astfel încât pentru orice (ξ1, ξ2, . . .,ξn) ∈ IR n sǎ aibe loc
inegalitatea:
n
i=1
n
aij(X) · ξi · ξj ≥ µ0
j=1
iii) c(X) ≥ 0, (∀)X ∈ Ω;
n
i=1
ξ 2 i , (∀)X ∈ Ω
iv) funct¸iile f : [0, +∞)×Ω → IR 1 ¸si g : [0, +∞)×∂Ω → IR 1 sunt continue.
Definit¸ia 7.4.1 Problema care constǎ în determinarea funct¸iilor reale u :
[0, +∞) × Ω → IR 1 continue pe [0, +∞) × Ω, de clasǎ C 1 pe [0, +∞) × Ω ¸si
de clasǎ C2 pe (0, +∞) × Ω, care au urmǎtoarele proprietǎt¸i:
∂2 n
n
u ∂
− aij(X)·
∂t2 ∂xi
∂u
+ c(X)·u=f(t, X),
∂xj
i=1
j=1
(∀)(t, X)∈(0,+∞)×Ω
(7.28)
u(t, X) =g(t, X), (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω. (7.29)
u(0, X) =u0(X), (∀)X ∈ Ω. (7.30)
∂u
∂t (0, X) =u1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.31)
se nume¸ste Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ.

256 CAPITOLUL 7
Definit¸ia 7.4.2 O funct¸ie u care verificǎ condit¸iile din definit¸ia precedentǎ
se nume¸ste solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ.
Propozit¸ia 7.4.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω ′ ⊂ IR n care include domeniul
Ω ¸si o funct¸ie G : [0, +∞) × Ω ′ → IR 1 de clasǎ C 2 pe [0, +∞) × Ω ′ astfel
încât
G(t, X) = g(t, X), (∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × ∂Ω
atunci Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ, prin schimbarea
de funct¸ie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) − G(t, X), se reduce la Problema
Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ cu condit¸ii nule pe frontierǎ:
∂2v −
∂t2 n
i=1
∂
∂xi
n
j=1
= f(t, X) − ∂2G +
∂t2 aij · ∂v
+ c(X) · v(t, X) =
∂xj
n
n
∂ ∂G
− c(X) · G(t, X),
∂xi ∂xj
i=1
j=1
(∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × Ω
(7.32)
v(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω. (7.33)
u(0, X) = u0(X) − G(0, X) = v0(X), (∀)X ∈ Ω. (7.34)
∂v
∂t (0, X) = u1(X) − ∂G
∂t (0, X) = v1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.35)
Demonstrat¸ie: Prin verificare.
Observat¸ia 7.4.1 Propozit¸ia reduce problema (7.28-7.31) cu condit¸ie nenulǎ
pe frontierǎ la problema (7.32-7.35), în care condit¸ia la frontierǎ (7.33) este
zero:
v(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω.
De aceea, vom studia existent¸a ¸si unicitatea solut¸iei Problemei Cauchy-
Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ cu condit¸ia la frontierǎ nulǎ.

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 257
Vom considera în continuare Probleme Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ
de urmǎtoarea formǎ:
∂2u −
∂t2 n
n
∂
aij(X)·
∂xi
∂u
+ c(X)·u(t, X)=f(t, X),
∂Xj
i=1
j=1
(t, X)∈(0,+∞)×Ω
(7.36)
u(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω. (7.37)
u(0, X) = u0(X), (∀)x ∈ Ω. (7.38)
∂u
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.39)
în care funct¸iile aij, c, f au proprietǎt¸ile (i), (ii), (iii), (iv) anterior prezentate;
funct¸ia u0 este de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de clasǎ C 2 în Ω; funct¸ia u1 este continuǎ
pe Ω ¸si de clasǎ C 1 în Ω.
O solut¸ie clasicǎ a acestei probleme este o funct¸ie u : [0, +∞) × Ω → IR 1
care este de clasǎ C 1 pe [0, +∞) × Ω, ¸si este de clasǎ C 2 pe (0, +∞) × Ω ¸si
verificǎ:
⎧
∂
⎪⎨
2 n
n
u ∂
− aij(X)·
∂t2 ∂xi i=1 j=1
∂u
+ c(X)·u(t, X)=f(t, X); (t, X)∈(0,+∞)×Ω
∂xj
u(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω.
⎪⎩
u(0, X) = u0(X), (∀)X ∈ Ω.
∂u
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ Ω.
Considerând operatorul diferent¸ial A definit pe spat¸iul de funct¸ii
D = {w|w : Ω → IR 1 ; w ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω), w|∂Ω = 0}

258 CAPITOLUL 7
cu formula
Aw = −
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂w
+ c(X) · w(X)
∂xj
i=1
j=1
ecuat¸ia hiperbolicǎ poate fi scrisǎ sub forma:
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X), (∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × Ω.
∂t2 Teorema 7.4.1 Dacǎ funct¸ia u : [0, +∞) × Ω → IR 1 este solut¸ie clasicǎ a
problemei (7.36-7.39), atunci funct¸ia U definitǎ prin:
are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
U(t)(X) = u(t, X)
i) U : [0, +∞) → L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 pe [0, +∞).
ii) U : [0, +∞) → H 1 0
iii) U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1.
Demonstrat¸ie:
este funct¸ie continuǎ;
i) Arǎtǎm la început cǎ funct¸ia U : [0, +∞] → L 2 (Ω) este derivabilǎ în
orice t0 ∈ [0, +∞). Pentru aceasta, considerǎm t0 ∈ [0, +∞) ¸si apoi raportul
1
[U(t) − U(t0)] ∈ L
t − t0
2 (Ω)
¸si arǎtǎm cǎ acest raport tinde la ∂u
∂t (t0, x) ∈ L 2 (Ω) în norma L 2 (Ω) atunci
când t → t0. Aceasta înseamnǎ cǎ trebuie sǎ arǎtǎm egalitatea:
lim
t→t0
Ω
1
[U(t) − U(t0)](X) −
t − t0
∂u
∂t (t0,
X)
Folosind teorema cre¸sterilor finite a lui Lagrange scriem:
1
t − t0
[U(t) − U(t0)] (X) = 1
t − t0
2
dX = 0.
[u(t, X) − u(t0, X)] = ∂u
(t(X), X)
∂t

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 259
cu |t(X) − t0| < |t − t0|.
Prin urmare are loc egalitatea:
1
[U(t) − U(t0)] (X) −
t − t0
∂u
∂t (t0,
X)
cu |t(X) − t0| < |t − t0|.
2
=
∂u ∂u
(t(X), X) −
∂t ∂t (t0,
X)
Funct¸ia (t, X) → ∂u
(t, X) este continuǎ pe [0, +∞) × Ω ¸si deci este uni-
∂t
form continuǎ pe o mult¸ime de forma [t0 − η, t0 + η] × Ω (η > 0) ¸si prin
urmare:
(∀)ε > 0, (∃)δ(ε) a.î. (∀)(t ′ , X ′ ), (t”, X”) ∈ [t0 − η, t0 + η] × Ω
cu |t ′ − t”| < δ ¸si |X ′ − X”| < δ avem
∂u
∂t (t′ , X ′ ) − ∂u
(t”, X”)
∂t <
ε
|Ω| .
unde |Ω| este mǎsura domeniului Ω. Rezultǎ de aici cǎ, dacǎ |t − t0| < δ(ε),
atunci are loc inegalitatea:
1
[U(t) − U(t0)](X) −
t − t0
∂u
∂t (t0,
2
X)
dX < ε.
Ω
În acest fel, egalitatea
lim
1
[U(t) − U(t0)](X) −
t→t0 t − t0
∂u
∂t (t0,
X)
Ω
2
dX = 0
a fost demonstratǎ.
Va trebui în continuare sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia U ′ : [0, +∞) → L 2 (Ω) este
continuǎ. Aceasta revine la a demonstra egalitatea:
lim U
t→t0
′ (t) − U ′ (t0)L2 (Ω) = 0.
Pentru aceasta, vom folosi egalitatea
U ′ (t) − U ′ (t0)L2
(Ω) =
∂u ∂u
(t, X) −
∂t ∂t (t0,
2
X)
dX
Ω
2

260 CAPITOLUL 7
¸si faptul cǎ funct¸ia ∂u
este continuǎ pe [0, +∞) × Ω. Din continuitatea
∂t
funct¸iei ∂u
rezultǎ cǎ aceasta este uniform continuǎ pe o mult¸ime de forma
∂t
[t0 − η, t0 + η] × Ω, (y > 0) ¸si prin urmare:
(∀)ε > 0, (∃)δ(ε) a.î.(∀)(t ′ , X ′ ), (t”, X”) ∈ [t0 − η, t0 + η] × Ω
dacǎ |t ′ − t”| < δ ¸si |X ′ − X”| < δ atunci
∂u
∂t (t′ , X ′ ) − ∂u
(t”, X”)
∂t <
ε
|Ω| .
Rezultǎ de aici cǎ, dacǎ |t − t0| < δ(ε) avem: U ′ (t ′ ) − U ′ (t0) < ε.
ii) Sǎ arǎtǎm cǎ U ca funct¸ie cu valori în spat¸iul:
H 1
0 = u ∈ L 2
(Ω)
∂u
(∃)
∂xi
∈ L 2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0
este continuǎ. Faptul cǎ, pentru orice t ∈ [0, +∞) funct¸ia U(t) apart¸ine
spat¸iului H 1 0 rezultǎ din proprietǎt¸ile solut¸iei u(t, X) = U(t)(X). Trebuie
doar sǎ evaluǎm norma U(t) − U(t0) H 1 0 ¸si sǎ arǎtǎm cǎ aceasta tinde la
zero dacǎ t → t0.
Avem:
U(t) − U(t0) 2
H 1 0
= U(t) − U(t0) 2
L 2 (Ω) +
=
+
Ω
n
i=1
=
+
Ω
n
∂U(t)
∂xi
i=1
|u(t, X) − u(t0, X)| 2 dX+
Ω
∂u
(t, X) −
∂xi
∂u
(t0, X)
∂xi
∂u
(t(X), X)
∂t
n
i=1
Ω
∂
2u ∂t∂xi
(t ∗ i
2
2
· |t − t0| 2 dX+
− ∂U(t0)
∂xi
dX =
2
(X), X)
· |t − t0| 2 dX
2
L 2 (Ω)
=

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 261
cu |t(X) − t0| ≤ |t − t0| ¸si |t ∗ i (X) − t0| ≤ |t − t0|.
Funct¸iile ∂u
∂t ¸si ∂2u sunt continue ¸si prin urmare mǎrginite pe compacte
∂t∂xi
de forma [t0 − η, t0 + η] × Ω. Rezultǎ de aici cǎ, existǎ o constantǎ pozitivǎ
K2 > 0 astfel ca
U(t) − U(t0) 2
H 1 0
≤ K 2 · |t − t0| 2 ,
de unde se obt¸ine continuitatea funct¸iei U : [0, +∞) → H 1 0.
iii) Egalitǎt¸ile: U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1 sunt imediate.
Considerǎm în continuare spat¸iul de funct¸ii S definit prin:
S = C([0, +∞); H 1 0 ) ∩ C1 ([0, +∞); L 2 ).
Teorema precedentǎ aratǎ cǎ, dacǎ u = u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a problemei
(7.36-7.39), atunci funct¸ia U definitǎ prin U(t)(X) = u(t, X) apart¸ine
spat¸iului de funct¸ii S ¸si verificǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1.
Fie T > 0 ¸si subspat¸iul de funct¸ii ST definit prin:
ST = {V ∈ S|V (T) = 0}
Teorema 7.4.2 Dacǎ funct¸ia u = u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a problemei
(7.36-7.39), atunci funct¸ia U definitǎ prin U(t)(X) = u(t, X) apart¸ine
spat¸iului de funct¸ii S, verificǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1 ¸si pentru orice T > 0
¸si orice funct¸ie V ∈ ST are loc egalitatea:
−
T
0
0
T
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt− < u1, V (0) > L 2 (Ω) +
< U(t), V (t) >A dt =
T
0
< F(t), V (t) >L 2 (Ω) dt.
(7.40)
Demonstrat¸ie: Apartenent¸a funct¸iei U la spat¸iul S a fost demonstratǎ. S-a
arǎtat de asemenea cǎ U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1. Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm cǎ

262 CAPITOLUL 7
pentru orice T > 0 ¸si orice V ∈ ST are loc egalitatea (7.40).
În acest scop, fie T > 0 ¸si V ∈ ST. Scriind egalitatea (7.36) sub forma:
d 2 U(t)
dt 2 (X) + A · U(t)(X) = F(t)(X)
(unde F(t)(X) = f(t, X)), înmult¸ind aceastǎ egalitate cu funct¸ia V (t)(X) ¸si
integrând pe Ω obt¸inem:
< d2 U
dt 2 , V >L 2 (Ω) + < U(t), V (t) >A=< F(t), V (t) >L 2 (Ω) .
Integrǎm acum aceastǎ egalitate în raport cu t pe segmentul [0, T], t¸inem
seama de V (T) = 0 ¸si obt¸inem:
< U ′ (t), V (t) >L 2 (Ω)
adicǎ:
T
0 −
0
=
< U ′
(0), V (0) > L2 (Ω) −
0
T
=
ceea ce este echivalent cu:
− < u1, V (0) > L2 (Ω) −
0
T
=
T
< U ′ (t), V ′ (t) >L2 T
(Ω) dt+
0
T
0
< F(t), V (t) >L 2 (Ω) dt
< U ′ (t), V ′ T
(t) > L2 (Ω) dt+
0
T
0
< F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt +
T
0
< F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt
T
0
< U(t), V (t) >A dt =
< U(t), V (t) >A dt =
< U(t), V (t) >A=

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 263
Definit¸ia 7.4.3 O funct¸ie U ∈ S se nume¸ste solut¸ie generalizatǎ a problemei
(7.36-7.39) dacǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1 ¸si pentru (∀)T > 0, (∀)V ∈ ST
verificǎ:
− < u1, V (0) > L2 (Ω) −
0
T
T
+
0
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt+
< U(t), V (t) >A dt =
T
0
< F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt
(7.41)
Observat¸ia 7.4.2 O solut¸ie clasicǎ u(t, X) a problemei (7.36-7.39) define¸ste
o solut¸ie generalizatǎ a acestei probleme.
Teorema 7.4.3 Dacǎ funct¸ia U ∈ S este solut¸ie generalizatǎ a problemei
(7.36-7.39) ¸si funct¸ia u : [0, +∞) × Ω → IR 1 definitǎ prin u(t, X) = U(t, X)
este de clasǎ C 2 pentru t > 0 ¸si X ∈ Ω, atunci funct¸ia u = u(t, X) este
solut¸ie clasicǎ a problemei (7.36-7.39).
Demonstrat¸ie: Egalitatea (7.37):
u(t, X) = 0, (∀)t ≥ 0 ¸si (∀)x ∈ ∂Ω
rezultǎ din apartenent¸a U(t) ∈ H 1 0 . Egalitatea (7.38): u(0, X) = u0(0), (∀)X ∈
Ω rezultǎ din U(0) = u0.
Egalitatea (7.39): ∂u
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ ∂Ω rezultǎ din U ′ (0) = u1.
Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm egalitatea (7.36) adicǎ:
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X).
∂t2 Pentru a deduce aceastǎ egalitate pornim de la egalitatea (7.41) pe care o
scriem sub forma:
−
0
T
Ω
∂u
∂t (t, X) · V ′
(t)(X)dX dt −
Ω
u1(X) · V (0)(X)dX+

264 CAPITOLUL 7
T
+ A · u(t, X) · V (t)(X)dX dt =
0 Ω
T
0
f(t, X) · V (t)(X)dX dt.
Ω
Itervertind ordinea de integrare ¸si fǎcând o integrare prin pǎrt¸i în raport cu
t în prima integralǎ, obt¸inem:
T
Ω
0
2 ∂ u
+ A · u(t, X) − f(t, X) · V (t)(X)dt dX = 0
∂t2 pentru orice V ∈ ST (am t¸inut seama de faptul cǎ V (T) = 0).
Rezultǎ de aici cǎ:
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X), (∀)t > 0, (∀)X ∈ Ω.
∂t2 Observat¸ia 7.4.3 Aceastǎ teoremǎ aratǎ cǎ dacǎ o solut¸ie generalizatǎ este
suficient de ”netedǎ” atunci ea este solut¸ie clasicǎ.
Teorema 7.4.4 (de unicitate a solut¸iei generalizate)
Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o solut¸ie generalizatǎ.
Demonstrat¸ie: Presupunem prin absurd cǎ problema (7.36)-(7.39) admite
solut¸iile generalizate U1(t) ¸si U2(t) ¸si considerǎm funct¸ia U(t) = U1(t)−U2(t).
Pentru orice T > 0 ¸si orice V ∈ ST funct¸iile U ¸si V verificǎ:
−
0
T
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt +
Funct¸ia V definitǎ prin V (t) =
¸si are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
T
0
< U(t), V (t) >A dt = 0
T
U(τ)dτ apart¸ine spat¸iilor de funct¸ii S ¸si ST
t
V ′ (t) = −U(t) ¸si V ′′ (t) = −U ′ (t).
Înlocuind acestea în relat¸ia de mai sus rezultǎ cǎ:
T
0
< V ′′ (t), V ′ (t) >L 2 (Ω) dt −
T
0
< V ′ (t), V (t) >A dt = 0.

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 265
Deoarece
¸si
< V ′′ (t), V ′ (t) > L2 (Ω)= 1 d
·
2 dt V ′ (t) 2
L2 (Ω)
< V ′ (t), V (t) >A= 1
2
egalitatea precedentǎ implicǎ egalitatea:
· d
dt V (t)2 A
V ′ (T) 2
L2 (Ω) − V ′ (0) 2
L2 (Ω) − V (T)2A + V (0)2A = 0.
T¸inem seamǎ acum de egalitǎt¸ile V (T) = 0, V ′ (0) = U(0) = 0 ¸si deducem
cǎ:
V ′ (T) 2
L 2 (Ω) + V ′ (T) 2 A = 0,
din care rezultǎ V ′ (T) = 0 ¸si V (0) = 0.
Întrucât T > 0 este oarecare rezultǎ V ′ (T) = −U(T) = 0. Prin urmare
U1(T) = U2(T), (∀)T ≥ 0. Astfel, rezultǎ cele douǎ solut¸ii generalizate
coincid.
Consecint¸a 7.4.1 Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o solut¸ie clasicǎ.
Teorema 7.4.5 (de existent¸ǎ a solut¸iei generalizate)
Dacǎ funct¸ia F definitǎ prin F(T)(X) = f(t, X) este continuǎ ca funct¸ie cu
valori în L 2 (Ω) ¸si dacǎ u0 ∈ H 1 0, u1 ∈ L 2 (Ω), atunci problema (7.36)-(7.39)
are o solut¸ie generalizatǎ.
Demonstrat¸ie: Facem demonstrat¸ia în douǎ etape.
În prima etapǎ deducem o formulǎ de reprezentare a solut¸iei generalizate în
ipoteza cǎ aceastǎ solut¸ie existǎ.
În a doua etapǎ arǎtǎm cǎ formula de reprezentare gǎsitǎ în prima etapǎ, în
condit¸iile teoremei, define¸ste o funct¸ie care este o solut¸ie generalizatǎ.
Etapa I. Presupunem cǎ U = U(t) este o solut¸ie generalizatǎ a problemei
(7.36)-(7.39) ¸si considerǎm ¸sirul valorilor proprii
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ · · · ≤ λk ≤ · · · → ∞
ai prelungirii Friedrichs A a operatorului A, ¸si apoi ¸sirul ortonormat de funct¸ii
proprii (ωk)k∈IN corespunzǎtor, care este complet în spat¸iul L 2 (Ω).
Considerǎm funct¸iile
uk(t) =< U(t), ωk > L 2 (Ω)

266 CAPITOLUL 7
¸si reprezentarea
U(t) =
∞
uk(t) · ωk
k=1
a funct¸iei U(t). Pentru cǎ U ∈ C 1 ([0, +∞); L 2 (Ω)) funct¸iile uk(t) sunt derivabile
¸si au derivatǎ continuǎ, iar U ′ (t) se reprezintǎ astfel:
U ′ (t) =
∞
k=1
u ′ k (t) · ωk.
În virtutea acestei formule de reprezentare, egalitatea (7.41) pe care o satisface
solut¸ia generalizatǎ U devine:
+
−
0
T
0
T
k=1
+∞
u ′ k (t)· < V ′ +∞
(t), ωk > L2 (Ω) dt − u ′ k (0)· < V (0), ωk > L2 (Ω) +
k=1
k=1
+∞
T
λk · uk(t) < V (t), ωk > L2 (Ω) dt =
0
+∞
fk(t)· < V (t), ωk > L2 (Ω) dt.
Fie acum j un numǎr natural oarecare fixat ¸si funct¸ia Vj ∈ ST definitǎ prin:
k=1
Vj(t) = (T − t) · ωj.
În egalitatea precedentǎ înlocuim V cu Vj, t¸inem seama de egalitǎt¸ile
¸si obt¸inem:
−T · < u1, ωj >L 2 (Ω) +
< ωk, ωj >L 2 (Ω)= δkj; V ′ (t) = −ωj, V (0) = T · ωj
0
T
u ′ j(t)dt + λj ·
T
pentru j = 1, 2, . . .
Derivând de douǎ ori în raport cu T rezultǎ:
⎧
⎨
⎩
0
(T − t) · fj(t)dt =
u ′′ j(T) + λj · uj(T) = fj(T), (∀)T > 0
u ′ j (0) =< u1, ωj > L 2 (Ω)
uj(0) =< u0, ωj > L 2 (Ω), j = 1, 2, . . .
T
0
(T − t)fj(t)dt
(7.42)

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 267
Problema cu datele init¸iale (7.42) are o singurǎ solut¸ie ¸si aceasta este datǎ
de:
uj(t) =< u0, ωj > L2 (Ω) · cos λj · t + 1
· < u1, ωj > L2 (Ω) · sin
λj
λj · t +
+ 1
λj
·
T
0
fj(τ) · sin λj · (t − τ)dτ, (∀)t ≥ 0, j = 1, 2, . . .
Astfel rezultǎ cǎ solut¸ia generalizatǎ U are urmǎtoarea reprezentare:
U(t) =
+∞
j=1
< u0, ωj >L2 (Ω) · cos λj · t + 1
· < u1, ωj >L
λj
2 (Ω)·sin λj · t
+
+∞
j=1
⎛
⎝ 1
λj
·
T
0
⎞
fj(τ) · sin λj · (t − τ)dτ⎠
· ωj.
(7.43)
Etapa II Arǎtǎm acum cǎ, în condit¸iile din teoremǎ formula (7.44) define¸ste
o funct¸ie U care apart¸ine spat¸iului S ¸si verificǎ (7.41) pentru T > 0.
Convergent¸ele
+∞
| < u0, ωj > L2 | 2 < +∞ ¸si
j=1
+∞
| < u1, ωj > L2 | 2 < +∞
implicǎ convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) în spat¸iul L2 (Ω) a
seriei de funct¸ii:
+∞
j=1
< u0, ω > L2 (Ω) · cos λj · t + 1
· < u1, ωj > L2 · sin
λj
λj · t
¸si faptul cǎ suma seriei este funct¸ie continuǎ de t cu valori în L 2 (Ω).
Inegalitǎt¸ile:
1
λj
·
T
0
j=1
fj(τ) · sin
λj · (t − τ)dτ
2
≤ T
λ1
T
0
f 2 j (τ)dτ,
· ωj
·ωj +
(7.44)

268 CAPITOLUL 7
(∀)t ∈ [0, T], j = 1, 2, . . .
precum ¸si convergent¸a seriei de funct¸ii continue ¸si pozitive
+∞
f 2 j
j=1
(τ) la funct¸ia
continuǎ F(τ) 2
L2 (Ω) implicǎ convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, T]
((∀)T > 0 ¸si T < +∞) în L2 (Ω) a seriei de funct¸ii:
+∞
j=1
⎛
⎝ 1
√ λi
t
0
fj(τ) · sin λj(t − τ)dτ
⎞
⎠ ωj
¸si faptul cǎ suma seriei este funct¸ie continuǎ de t cu valori în L 2 (Ω). Rezultǎ
cǎ, în condit¸iile din teoremǎ formula (7.44) define¸ste o funct¸ie
U ∈ C([0, +∞); L 2 (Ω)).
Pentru a demonstra apartenent¸a U ∈ C 1 ([0, +∞); L 2 (Ω)) se considerǎ seria
derivatelor:
+∞
j=1
− λj· < u0, ω >L2 (Ω) · sin λj · t+ < u1, ωj >L2 (Ω) · cos
λj · t · ωj+
+∞
j=1
⎛
⎝
0
T
fj(τ) · cos( λj) · (t − τ)dτ
⎞
⎠ ωj
¸si se aratǎ cǎ aceasta converge uniform în raport cu t ∈ [0, T](T > 0
¸si T < +∞) în spat¸iul L 2 (Ω).
Trecem sǎ examinǎm convergent¸a seriei derivatelor care este de fapt o sumǎ
de trei serii.
Prima dintre acestea este seria
+∞
− λj· < u0, ωj > L2 (Ω) · sin λj · t · ωj
j=1
¸si este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) dacǎ seria numericǎ:
+∞
λj · | < u0, ωj > L2 (Ω) | 2 este convergentǎ. Aceasta din urmǎ, poate fi
j=1

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 269
scrisǎ sub forma:
+∞
λj · | < u0, ωj > L2 (Ω) |
j=1
2 +∞ 1
= · λ
λj
j=1
2 j · | < u0, ωj > L2 (Ω) | 2 =
=
=
+∞ 1
· | < u0, ωj >A |
λj
j=1
2 =
+∞
j=1
ωj
<
u0, λj
¸si prin urmare este convergentǎ pentru cǎ u0 ∈ H1 0.
Urmǎtoarea serie a cǎrei convergent¸ǎ trebuie examinatǎ este seria
+∞
< u1, ωj > L2 (Ω) · cos λj · t · ωj.
j=1
Aceastǎ serie este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) dacǎ seria
numericǎ
+∞
| < u1, ωj > L2 (Ω) | 2 este convergentǎ , ceea ce este adevǎrat
j=1
pentru cǎ u1 ∈ L2 (Ω).
>A
Ceea de a treia serie care trebuie examinatǎ este seria:
⎛
+∞
T
⎝ fj(τ) · cos ⎞
λj · (t − τ)dτ⎠
ωj.
j=1
0
Aceasta este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ (0, T] (T > 0 ¸si
T < +∞) dacǎ seria numericǎ:
+∞
T
fj(τ) · cos
λj · (t − τ)dτ
j=1
0
este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ [0, T]. Datoritǎ majorǎrii:
+∞
j=1
0
T
fj(τ) · cos
λj · (t − τ)dτ
2
≤
+∞
j=1
T ·
2
T
0
f 2 j (τ)dτ

270 CAPITOLUL 7
problema se reduce la convergent¸a uniformǎ pe [0,T] a seriei
+∞
T
(τ)dτ. Aceastǎ din urmǎ convergent¸ǎ se obt¸ine din convergent¸a
j=1
0
f 2 j
uniformǎ a seriei
+∞
f 2 j (τ)dτ pe [0,T], care rezultǎ pe baza teoeremei lui
j=1
Dini din continuitatea ¸si pozitivitatea funct¸iilor f2 j
F(τ) 2 +∞
¸si egalitatea f 2 j (τ) = F(τ) 2 , (∀)τ ∈ [0, T].
(τ), continuitatea funct¸iei
În acest fel, se
j=1
obt¸ine cǎ formula (7.44) define¸ste o funct¸ie
U ∈ C1 ([0, +∞); L2 (Ω)).
Urmeazǎ sǎ arǎtǎm apartenet¸a U ∈ C([0, +∞); H 1 0).
Convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) a seriei
+∞
< u0, ωj > L2 (Ω) · cos λj · t · ωj
j=1
în H1 0 poate fi asiguratǎ prin convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞)
a seriei:
+∞
j=1
λj < u0, ωj >L 2 (Ω) · cos λj · t · ωj
λj
în H 1 0.
Convergent¸a acestei serii rezultǎ din convergent¸a seriei numerice
+∞
λj| < u0, ωj > L2 (Ω) | 2 ,
j=1
convergent¸ǎ ce este asiguratǎ de ipoteza u0 ∈ H 1 0.
Convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) a seriei de funct¸ii
+∞
j=1
1
· < u1, ωj > L2 (Ω) · sin
λj
λj · t · ωj
este asiguratǎ de convergent¸a seriei
+∞
în spat¸iul H1 0
j=1
convergent¸ǎ care rezultǎ din apartenent¸a u1 ∈ L2 (Ω).
| < u1, ωj > | 2
L 2 (Ω) ,

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 271
În fine, convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, T] (T > 0 ¸si T < +∞) a
seriei de funct¸ii:
⎛
+∞
⎝ 1
T
fj(τ) · sin
λj
⎞
λj · (t − τ)dτ⎠
ωj
j=1
în spat¸iul H 1 0 este asiguratǎ dacǎ seria
+∞
j=1
⎛
⎝
0
0
T
⎞
fj(τ) · sin λj · (t − τ)dτ⎠
converge uniform pe [0,T]. Aceasta din urmǎ convergent¸ǎ a fost deja demonstratǎ.
Am obt¸inut în acest fel apartenent¸a U ∈ C([0, +∞); H 1 0 ).
Derivând acum în raport cu t funct¸ia U datǎ de (7.44) ca funct¸ie cu
valori în L 2 (Ω), t¸inând seama de relat¸iile (7.42) se obt¸ine cǎ funct¸ia U datǎ
de (7.44) este solut¸ie generalizatǎ a problemei (7.36)-(7.39).

272 CAPITOLUL 7
Exercit¸ii:
Determinat¸i solut¸ia generalizatǎ pentru fiecare din Problemele
Cauchy-Dirichlet de tip hiperbolic:
1.
2.
3.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂2u ∂t2 = ∂2u ∂x2, u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = sin 4π
x, x ∈ [0, l]
l
(x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞)
∂u
(x, 0) = 0, x ∈ [0, l]
∂t
R: u(x, t) = cos 4π 4π
t · sin
l l x
∂2u ∂t2 = ∂2u − t · sin x, (x, t) ∈ (0, π) × (0, +∞)
∂x2 u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = 4 sinxcos x, x ∈ [0, π]
∂u
(x, 0) = 2 sin3x, x ∈ [0, π]
∂t
R: u(x, t) = (sin t − t) · sin x + 2 cos2t · sin 2x+
∂2u ∂t2 = 4∂2 u
∂x2, u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
+ 2
sin 3t · sin 3x
3
u(x, 0) = 2 sinx, x ∈ [0, π]
∂u
∂t
(x, 0) = sin x + sin 2x, x ∈ [0, π]
R: u(x, t) =
(x, t) ∈ (0, π) × (0, +∞)
2 cos2t + 1
sin 2t
2
· sin x + 1
sin 4t · sin 2x
4

Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii hiperbolice 273
7.5 Calculul simbolic ¸si numeric al solut¸iei
Problemei Cauchy-Dirichlet pentru
ecuat¸ii hiperbolice
Deoarece pentru calculul simbolic al solut¸iei unei probleme Cauchy-Dirichlet
funct¸ia pdsolve nu afi¸seazǎ nimic, vom trece la rezolvarea numericǎ folosind
funct¸ia pdsolve specificǎ calculului numeric, a cǎrei sintaxǎ a fost prezentatǎ
într-unul din paragrafele anterioare.
Pentru exemplificare considerǎm urmǎtoarele probleme Cauchy-Dirichlet de
tip hiperbolic:
Exemplul 1:
Wave equation
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂2u ∂t2 (x, t) = ∂2u ∂x
2(x, t)
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = x 2 − x
∂u
(x, 0) = 0
∂t
> PDE1 :=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x);
PDE1 := ∂2
∂t 2u (x, t) = ∂2
∂x 2u (x, t)
> IBC1 := {u(0,t)=0, u(1,t)=0,u(x,0)=x^2-x, D[2](u)(x,0)=0};
IBC1 := {u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, u (x, 0) = x 2 − x, D2 (u)(x, 0) = 0}
> pds1 := pdsolve(PDE1,IBC1,numeric);
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module
> p1 := pds1:-plot(t=0):

274 CAPITOLUL 7
p2 := pds1:-plot(t=1/10):
p3 := pds1:-plot(t=1/2):
p4 := pds1:-plot(t=1):
p5 := pds1:-plot(t=2):
plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5},
title=‘Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);
Figura 36
> pds1:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);
Figura 37

Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii hiperbolice 275
Exemplul 2:
Wave equation
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂2u ∂t2 (x, t) = ∂2u ∂x
u(0, t) = u(π, t) = 0
2(x, t) − t · sinx
u(x, 0) = 4 · sinx · cosx
∂u
(x, 0) = 2 · sin3x
∂t
> PDE2 :=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x)-t*sin(x);
PDE2 := ∂2
∂t 2u (x, t) = ∂2
∂x 2u (x, t) − t sin (x)
> IBC2 :={u(0,t)=0,u(Pi,t)=0,u(x,0)=4*(sin(x))*(cos(x)),
D[2](u)(x,0)=2*sin(3*x)};
IBC2 := {u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, u(x, 0) = 4 sin(x) cos(x),
D2(u)(x, 0) = 2 sin(3 x)}
> pds2 := pdsolve(PDE2,IBC2,numeric);
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module
> p6 := pds2:-plot(t=0):
p7 := pds2:-plot(t=1/10):
p8 := pds2:-plot(t=1/2):
p9 := pds2:-plot(t=1):
p10 := pds2:-plot(t=2):
plots[display]({p6,p7,p8,p9,p10},
title=‘Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);

276 CAPITOLUL 7
Figura 38
> pds2:-plot3d(t=0..1,x=0..Pi/2,axes=boxed);
Figura 39

Calculul simbolic ¸si numeric pentru ecuat¸ii hiperbolice 277
Exemplul 3:
Wave equation
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂2v ∂t2 (x, t) = 4 · ∂2v ∂x
v(0, t) = v(π, t) = 0
v(x, 0) = 0
∂v
(x, 0) = 2 · sinx
∂t
2(x, t)
> PDE3 :=diff(v(x,t),t,t)=4*diff(v(x,t),x,x);
PDE2 := ∂2
∂t 2v (x, t) = 4 ∂2
∂x 2v (x, t)
> IBC3 :={v(0,t)=0,v(Pi/2,t)=0,v(x,0)=0,
D[2](v)(x,0)=2*sin(x);
IBC3 := {v (0, t) = 0, v (1/2 π, t) = 0, v (x, 0) = 0, D2 (v) (x, 0) = 2 sin (x)}
> pds3 := pdsolve(PDE3,IBC3,numeric);
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module
> q1 := pds3:-plot(t=0):
q2 := pds3:-plot(t=1/10):
q3 := pds3:-plot(t=1/2):
q4 := pds3:-plot(t=1):
q5 := pds3:-plot(t=2):
plots[display]({q1,pq2,q3,q4,q5},
title=‘Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);

278 CAPITOLUL 7
Figura 40
> pds3:-plot3d(t=0..1,x=0..Pi/2,axes=boxed);
Figura 41

Bibliografie
[1] V.I. Arnold, Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare, Editura S¸tiint¸ificǎ ¸si Enciclopedicǎ,
Bucure¸sti, 1978.
[2] S¸t. Balint, A.M. Balint, S. Birǎua¸s, C. Chilǎrescu, Ecuat¸ii diferent¸iale
¸si ecuat¸ii integrale, Editura Universitǎt¸ii de Vest, 2001.
[3] V.Barbu, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Junimea, Ia¸si, 1985.
[4] R. Cristescu, Elemente de analizǎ funct¸ionalǎ ¸si introducere în teoria
distrubut¸iilor, Editura Tehnicǎ, 1966.
[5] S.A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations,
McGraw Hill, New York, 1955.
[6] A. Corduneanu, Ecuat¸ii diferent¸iale cu aplicat¸ii în electrotehnicǎ, Editura
Facla, 1981, Timi¸soara
[7] C. Corduneanu, Ecuat¸ii diferent¸iale ¸si integrale, Universitatea ”Al.I.
Cuza”, Ia¸si, 1971.
[8] G.M. Fihtenholt, Curs de calcul diferent¸ial ¸si integral, Editura Tehnicǎ,
1964.
[9] D. Ga¸spar, N. Suciu, Analizǎ complexǎ, Editura Academiei Române,
1999.
[10] A. Halanay, Ecuat¸ii diferent¸iale ¸si integrale, Universitatea din Bucure¸sti,
1971.
[11] A. Halanay, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Didacticǎ ¸si Pedagogicǎ, Bucure¸sti,
1972.
279

280 BIBLIOGRAFIE
[12] J.Ray Hanna, John H. Rowland, Fourier series, transforms, and boundary
value problems A Wiley-Interscience Publication John Wiley and
Sons, Inc., 1991, USA.
[13] D. Hǎrǎgu¸s, Ecuat¸ii cu derivate part¸iale, Editura Universitǎt¸ii de Vest,
Timi¸soara, 2001.
[14] A. Eckstein, D. Hǎrǎgu¸s, Exercit¸ii standard de ecuat¸ii cu derivate
part¸iale, Tipografia Universitǎt¸ii de Vest din Timi¸soara, 2000.
[15] Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, J. Wiley, New York,
1964.
[16] M. Hirsh, S. Smale, Differential Equations, dynamical systems and linear
algebra, Academic Press, New York, 1974.
[17] J. Hubbard, B. West, Équations différentielles et systémes dynamiques,
Cassini, Paris, 1999.
[18] St. Miricǎ, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Universitǎt¸ii din Bucure¸sti,
1999.
[19] Gh. Moro¸sanu, Ecuat¸ii diferent¸iale. Aplicat¸ii, Editura Academiei, Bucure¸sti,
1989.
[20] M.Reghi¸s, P.Topuzu, Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare, Editura Mirton,
2000.
[21] E. Rogai, Exercit¸ii ¸si probleme de ecuat¸ii diferent¸iale ¸si integrale, Editura
Tehnicǎ, 1965.
[22] N. Rouche, P. Habets, M. Laloy, Stability Theory by Liapunov direct
Method, Springer, 1977.
[23] I.A. Rus, P. Pavel, Ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Didacticǎ ¸si Pedagogicǎ,
Bucure¸sti, 1982.
[24] I.A. Rus, Ecuat¸ii diferent¸iale, ecuat¸ii integrale ¸si sisteme dinamice Casa
de Editurǎ Transilvania Press, 1996.
[25] V.V. Stepanov, Curs de ecuat¸ii diferent¸iale, Editura Tehnicǎ, Bucure¸sti,
1955.

BIBLIOGRAFIE 281
[26] M.Stoka, Culegere de probleme de funct¸ii complexe, Editura Tehnicǎ,
1965.
[27] M. Tihonov, A.A. Samarski, Ecuat¸iile fizicii matematice, Editura
Tehnicǎ, 1956.
[28] K. Yosida, Équations différentielles et intégrales, Dunod, Paris, 1971.