Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

32 CAPITOLUL 1
în care C este o constantǎ realǎ. Revenind la funct¸ia U(t, x) obt¸inem cǎ
aceasta este datǎ de formula:
U(t, x) =
t
t0
P(τ, x) dτ +
x
x0
Q(t0, y) dy + C. (1.59)
Formula aceasta define¸ste o mult¸ime de funct¸ii U(t, x) care au proprietatea
exprimatǎ prin relat¸ia (1.56).
Comentariu: Propozit¸ia aratǎ cǎ egalitatea ∂P ∂Q
= este o condit¸ie
suficientǎ pentru ca sǎ existe în vecinǎtatea oricǎrui punct (t0, x0) ∈ Ω o
funct¸ie U(t, x) de clasǎ C 2 astfel ca dU = P dt + Q dx.
Ment¸ionǎm cǎ ¸si reciproca acestei afirmat¸ii este adevǎratǎ. Mai precis
este adevǎratǎ urmǎtoarea afirmat¸ie: dacǎ existǎ r > 0 ¸si o funct¸ie U(t, x)
de clasǎ C 2 pe discul centrat în (t0, x0) ¸si razǎ r astfel ca dU = P dt + Q dx
pentru orice (t, x) din acest disc, atunci funct¸iile P ¸si Q sunt de clasǎ C 1
¸si ∂P ∂Q
= pentru orice (t, x) din disc. Acest rezultat se obt¸ine folosind
∂x ∂t
posibilitatea inversǎrii ordinii de derivare, stabilit de Schwartz.
Observat¸ia 1.9.1 Dacǎ funct¸iile P ¸si Q sunt de clasǎ C 1 pe Ω ⊂ IR 2
dar ∂P ∂Q
= atunci ecuat¸ia (1.55) nu este o ecuat¸ie cu diferent¸ialǎ totalǎ
∂x ∂t
exactǎ ¸si metoda prezentatǎ nu poate fi utilizatǎ pentru determinarea solut¸iilor
ecuat¸iei. În acest caz este util sǎ observǎm cǎ ecuat¸ia (1.55) are acelea¸si
solut¸ii ca ¸si ecuat¸ia
P(t, x) · µ(t, x)
˙x = − (1.60)
Q(t, x) · µ(t, x)
în care µ(t, x) este o funct¸ie de clasǎ C 1 care nu se anuleazǎ.
Datoritǎ acestui fapt apare natural sǎ încercǎm sǎ determinǎm funct¸ia
µ(t, x) astfel ca ecuat¸ia (1.60) sǎ fie cu diferent¸ialǎ totalǎ. Impunând aceastǎ
condit¸ie rezultǎ cǎ funct¸ia µ(t, x) trebuie sǎ verifice relat¸ia:
∂P
∂x
µ + P ∂µ
∂x
= ∂Q
∂t
∂x
∂t
∂µ
µ + Q . (1.61)
∂t
O funct¸ie care verificǎ (1.61) se nume¸ste factor integrant, iar relat¸ia de
dependent¸ǎ funct¸ionalǎ (1.61) se nume¸ste ecuat¸ia factorului integrant.