Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

206 CAPITOLUL 6
întrucât funct¸ia G(X, Y ) definitǎ prin
G(X, Y ) =
1
4πX − Y −
r
4πX ∗ − Y
(6.32)
unde X ∗ este conjugatul lui X fat¸ǎ de sfera ∂Ω (adicǎ X, X ∗ sunt coliniare
¸si X · X ∗ = r) este funct¸ia Green pentru aceastǎ Problemǎ Dirichlet.
Observat¸ia 6.5.2 Determinarea funct¸iei Green pentru Problema
Dirichlet revine la determinarea funct¸iei v = v(X, Y ) ceea ce revine, conform
definit¸iei funct¸iei Green, la rezolvarea Problemei Dirichlet:
−∆Y v(X, Y ) = 0
(6.33)
v(X, Y )|Y ∈∂Ω = E(X, Y )|Y ∈∂Ω
Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ decât Problema Dirichlet (6.26)
dar în realitate ea este rezolvatǎ pentru domenii Ω particulare, prin metode
geometrice. Din acest motiv demonstrat¸ia existent¸ei solut¸iei Problemei Dirichlet
(6.26) prin folosirea funct¸iei Green se poate face doar pentru domenii Ω
particulare pentru care se ¸stie cǎ existǎ funct¸ia Green.
Exercit¸ii
1. Determinat¸i solut¸ia Problemei Dirichlet:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ 2 u
∂x 2 1
+ ∂2 u
∂x 2 2
+ ∂2 u
∂x 2 3
= 0, în Ω = {(x1, x2, x3) | x 2 1 + x2 2 + x2 3 < r2 }
u(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) 2 , pentru (x1, x2, x3) ∈ ∂Ω.
2. Determinat¸i funct¸ia Green a Problemei Dirichlet pentru cerc ¸si rezolvat¸i
o Problemǎ Dirichlet pentru cerc.