Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 83
g)
⎧
⎨
⎩
x1 ˙ = −x1 −x2
x2 ˙ = −x2 −x3
x3 ˙ = −x3
⎧
⎨
R:
⎩
x1(t) = c1 · e −t − c2 · t · e −t + 1
2 c3 · t 2 · e −t
x2(t) = + c2 · e −t − c3 · t · e −t
x3(t) = c3 · e −t
2. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme Cauchy (cu date init¸iale):
a)
x1 ˙ = x2
x2 ˙ = x1
x1(0) = 1
x2(0) = 0
x1(t) =
R:
1
b)
c)
x1 ˙ = 11x1+16x2
x2 ˙ = −2x1− x2
x1 ˙ = x1− x2
x2 ˙ = −4x1− 2x2
x1(1) = 0
x2(1) = 1
x1(1) = 1
x2(1) = 1
3. Se considerǎ sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale
cu a · d − b · c = 0. Arǎtat¸i cǎ:
x1 ˙ = a · x1+ b · x2
x2 ˙ = c · x1+ d · x2
2 e −t + 1
2 et
x2(t) = − 1
2 e−t + 1
2 et
x1(t) =4e
R:
3t−3 + 4e7t−7 x2(t) =2e3t−3 −e7t−7
x1(t) =
R:
3
5 e2t−2 + 2
5 e−3t+3
x2(t) = − 3
5 e2t−2 + 8
5 e−3t+3
i) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c ≥ 0 ¸si a + d < 0 ¸si a · d − b · c > 0, atunci orice
solut¸ie nenulǎ a sistemului tinde la (0, 0).
ii) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c ≥ 0 si a + d > 0 ¸si a · d − b · c > 0, atunci orice
solut¸ie nenulǎ a sistemului tinde în normǎ la +∞.
iii) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d < 0, atunci toate solut¸iile nenule
ale sistemului tind la (0, 0).
iv) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d > 0, atunci toate solut¸iile nenule
ale sistemului tind în normǎ la +∞.
v) dacǎ (a − d) 2 + 4 · b · c < 0 si a + d = 0, atunci toate solut¸iile nenule
ale sistemului sunt periodice.