Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

156 CAPITOLUL 4
unde
H(x1, x2, x3, p1, p2, p3) = 1
2m (p2 1 + p 2 2 + p 2 3) + V (x1, x2, x3)
este funct¸ia Hamilton asociatǎ punctului material.
Sistemul (4.20) este autonom, iar condit¸ia ca o funct¸ie U(x1, x2, x3, p1, p2, p3)
sǎ fie integralǎ primǎ pentru (4.20) este ca U sǎ verifice
3
∂U
i=1
∂xi
· ∂H
−
∂pi
∂U
·
∂pi
∂H
=0.
∂xi
În particular, rezultǎ cǎ funct¸ia lui Hamilton este integralǎ primǎ pentru
sistemul canonic.
Revenim la cazul general al sistemelor autonome:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x1 ˙ = f1(x1, ..., xn)
x2 ˙ = f2(x1, ..., xn)
............................
xn ˙ = fn(x1, ..., xn)
(4.21)
fi : D ⊂ IR n → IR 1 , i = 1, n pentru care considerǎm integrale prime Uj,
j = 1, m care nu depind de variabila independentǎ t; Uj = Uj(x1, ..., xn).
Definit¸ia 4.5.3 Un sistem de m ≤ n integrale prime ale sistemului (4.19)
se zice independent dacǎ rangul matricei:
⎛
∂U1 ∂U1
⎜
...
∂x1 ∂x2 ⎜
⎝
∂U1
∂xn
∂U2 ∂U2
...
∂x1 ∂x2
∂U2
∂xn
..............................
∂Um ∂Um
...
∂x1 ∂x2
∂Um
⎞
⎟
⎠
∂xn
este egal cu m.
În continuare vom arǎta important¸a integralelor prime.