Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 119
Demonstrat¸ie: Fie r > 0 ¸si K > 0, astfel ca tubul ∆, definit prin
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗, X − X(t; t0, X 0 ) ≤ r}
sǎ fie inclus în mult¸imea I × Ω (∆ ⊂ I × Ω) ¸si pentru orice
(t, X 1 ), (t, X 2 ) ∈ ∆ sǎ avem
Considerǎm numerele:
F(t, X 1 ) − F(t, X 2 ) ≤ K · X 1 − X 2 .
h1 = min{T2 − t0, t0 − T1}; h2 = max{T2 − t0, t0 − T1};
M = sup F(t, X);
(t,X)∈∆
un numǎr ε, 0 < ε < r ¸si numǎrul δ = δ(ε, I∗), definit astfel:
δ = 2 −1 · min{h1, ε · (M + 1) −1 · e −K(h1+h2) }
Pentru (t1, X 1 ) cu |t1 − t0| < δ ¸si X 1 − X 0 < δ avem inegalitǎt¸ile:
T1 < t1 < T2 ,
X 1 − X(t1; t0, X 0 ) ≤ X 1 − X 0 + X 0 − X(t1; t0, X 0 ) <
< δ · (M + 1) < ε
< r;
2
¸si prin urmare (t1, X 1 ) ∈ ∆ ⊂ I × Ω.
Fie X 1 = X(t; t1, X 1 ) solut¸ia maximalǎ a problemei Cauchy:
⎧
⎨
⎩
˙X = F(t, X)
X(t0) = X 1
definitǎ pe intervalul I1.
Vom arǎta cǎ X(t; t1, X 1 ) − X(t; t0, X 0 ) < ε
2
pentru orice
t ∈ I∗ ∩ I1.
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si admitem cǎ existǎ t2 ∈ I∗ ∩I1, astfel
ca X(t2; t1, X 1 ) − X(t2, t0, X 0 ) ≥ ε
2 .
Rezultǎ de aici cǎ cel put¸in pentru unul din numerele α1, α2 definite prin
α1=inf
, (∀) τ ∈ [t, t1]
t ∈ I∗∩I1 : X(τ; t0, X 1 )−X(τ; t0, X 0 )< ε
2