Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

14 CAPITOLUL 1
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = f(t) · g(x), numite ecuat¸ii cu variabile separate, în care f ¸si g sunt
funct¸ii reale continue, funct¸ia f este definitǎ pe un interval (a, b) ⊂ IR 1 ,
iar funct¸ia g este definitǎ pe un interval (c, d) ⊂ IR 1 ¸si nu se anuleazǎ
în nici un punct (g(x) = 0, (∀)x ∈ (c, d)).
2. Oricare ar fi solut¸ia x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale cu variabile separate ¸si
oricare ar fi t ∗ ∈ (a, b) ¸si x ∗ ∈ (c, d), existǎ o constantǎ C astfel încât
x(t) este solut¸ia ecuat¸iei implicite
x
x ∗
du
g(u) −
t
t ∗
f(τ)dτ − C = 0
¸si reciproc, oricare ar fi t ∗ ∈ (a, b), x ∗ ∈ (c, d) ¸si C ∈ IR 1 , o solut¸ie
x = x(t) a ecuat¸iei implicite este solut¸ie pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ.
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ (c, d) existǎ o funct¸ie unicǎ x = x(t)
definitǎ pe un interval deschis I0 (care cont¸ine punctul t0) ¸si cu valori
în intervalul (c, d), x : I0 ⊂ (a, b) → (c, d) care este solut¸ia problemei
cu date init¸iale ˙x = f(t) · g(x), x(t0) = x0.
4. Dacǎ funct¸ia g se anuleazǎ într-un punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia
constantǎ x(t) = x ∗ este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale.
Exercit¸ii
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):
t
a) ˙x = −√
1 + t2 ·
√
1 + x2 x
, x < 0, t ∈ IR 1 R: √ x 2 +1+ √ t 2 +1 = C
b) ˙x = t
(1 − x), t > −1, x > 1
1 + t
R:
1 + t
= C · et
1 − x
c)
˙x = 1 + 1
·
t
x2 + 1
x2 , t > 0, x ∈ IR1
+ 2
R: x+arctanx=ln t+t+C