Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli 25
1.7 Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli
Ecuat¸ia diferent¸ialǎ a lui Bernoulli are forma
˙x = A(t) x + B(t) x α
(1.48)
în care funct¸iile A ¸si B sunt funct¸ii reale continue A, B : (a, b) → IR 1 ¸si
se considerǎ cunoscute, α este un numǎr real diferit de 0 ¸si 1 cunoscut, iar
funct¸ia necunoscutǎ x(t) este pozitivǎ.
Pentru a determina solut¸iile x (pozitive) ale ecuat¸iei (1.48) se introduce
o nouǎ funct¸ie necunoscutǎ y = x 1−α . Aceasta verificǎ ecuat¸ia:
dy
dt
= (1−α) A(t) y + (1−α) B(t). (1.49)
Ecuat¸ia (1.49) este o ecuat¸ie liniarǎ de ordinul întâi ¸si solut¸iile ei sunt date
de formula:
y(t) = C e (1−α) t
t ∗ A(τ)dτ + (1.50)
+
(1−α)
t
t ∗
B(u) e −(1−α) u
t ∗ A(τ)dτ du
e (1−α) t
t ∗ A(τ)dτ .
Solut¸iile pozitive x(t) ale ecuat¸iei (1.48) se determinǎ din y(t) cu formula
x(t) = y(t) 1
1−α ¸si în general sunt definite pe (a, b).
Pentru t0 ∈ (a, b) ¸si x0 > 0 ecuat¸ia (1.48) are o solut¸ie care verificǎ
x(t0) = x0 ¸si este datǎ de formula
unde:
y(t; t0, y0) = y0 e (1−α) t
t ∗ A(τ)dτ + (1−α)
¸si y0 = x 1−α
0 .
x(t; t0, x0) = y 1
1−α(t; t0, x0) (1.51)
t
t0
B(u) e −(1−α) t
u A(τ)dτ du (1.52)
Observat¸ia 1.7.1 Ecuat¸ia Bernoulli apare în studiul mi¸scǎrii corpurilor în
medii care opun o rezistent¸ǎ la mi¸scare de forma R = k1v + k2v α , v fiind
viteza corpului.