Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

12 CAPITOLUL 1
Exemplul 1.3.1 Sǎ se determine solut¸iile ecuat¸iei diferent¸iale:
˙x = 1
1 + t 2(1 + x2 ), t ∈ IR 1 , x ∈ IR 1
În acest caz f : IR 1 → IR 1 , f(t) = 1
1+t 2 ¸si g : IR 1 → IR 1 , g(x) = 1 + x 2 , iar
Ecuat¸ia implicitǎ este:
de unde
G(t, x; C) = arctant + C − arctanx
arctan t + C − arctan x = 0
x(t) = tan(arctant + C)
Observat¸ia 1.3.1 Dacǎ funct¸ia g din ecuat¸ia (1.16) se anuleazǎ într-un
punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia constantǎ x(t) = x ∗ este solut¸ia ecuat¸iei
diferent¸iale (1.16).
Observat¸ia 1.3.2 Pentru t0 ∈ (a, b) ¸si x0 ∈ (c, d) problema determinǎrii
acelei solut¸ii a ecuat¸iei (1.16) care verificǎ condit¸ia suplimentarǎ x(t0) = x0
se nume¸ste problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date init¸iale ¸si se noteazǎ cu
˙x = f(t) · g(x), x(t0) = x0. (1.20)
Solut¸ia acestei probleme se noteazǎ de obicei cu x = x(t; t0, x0) ¸si este datǎ
de ecuat¸ia implicitǎ
x
du
g(u) −
t
f(τ)dτ = 0.
t0
(1.21)
x0
Într-o problemǎ Cauchy, t0 si x0 sunt considerate cunoscute ¸si se numesc
condit¸ii init¸iale.
Observat¸ia 1.3.3 O clasǎ particularǎ importantǎ de ecuat¸ii diferent¸iale cu
variabile separate sunt ecuat¸iile diferent¸iale de ordinul întâi liniare ¸si omogene.
Aceste ecuat¸ii sunt de forma
˙x = A(t) · x, t ∈ (a, b), x ∈ IR 1
(1.22)