Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

232 CAPITOLUL 7
ii)
G(F)=0 ⇒ < uF, u >A= 0, (∀)u∈XA
⇒ < F, u > L 2 (Ω)= 0, (∀)u∈XA ⇒ F =0
iii) Operatorul G : L 2 (Ω) → Im G ⊂ XA fiind injectiv putem considera
operatorul G −1 : Im G → L 2 (Ω) ¸si arǎtǎm cǎ este autoadjunct, adicǎ :
Astfel,
< G −1 u, v > L 2 (Ω)=< u, G −1 v > L 2 (Ω), (∀)u, v ∈ Im G.
< G −1 u, v >L 2 (Ω) = < u, v >A=< v, u >A=< G −1 v, u >L 2 (Ω)
= < u, G −1 v > L 2 (Ω) .
Folosim acum acest rezultat pentru a demonstra cǎ operatorul G este autoadjunct:
< G(F), H > L 2 (Ω)=< G(F), G −1 (G(H)) > L 2 (Ω=
=< G −1 (G(F)), G(H) >L 2 (Ω)=< F, G(H) >L 2 (Ω) .
iv) Prin faptul cǎ operatorul G este compact înt¸elegem cǎ transformǎ
sfera închisǎ de razǎ unu din L 2 (Ω) într-o mult¸ime compactǎ din L 2 (Ω).
Considerǎm F ∈ L2 (Ω) cu F L2 (Ω) ≤ 1.
Calculǎm G(F)2 A ¸si gǎsim:
G(F) 2 A =< F, G(F) >L2 (Ω) ≤ F 2
L2 (Ω) · G(F)2L
2 (Ω)
Simplificând cu G(F)A obt¸inem :
G(F)A ≤ k
µ0
≤ F L 2 (Ω) · k
· F L 2 (Ω) ≤ k
µ0
µ0
,
· G(F)A.
ceea ce aratǎ cǎ imaginea sferei închise de razǎ unu din L 2 (Ω) prin operatorul
G este o mult¸ime mǎrginitǎ în spat¸iul energetic XA. S¸tiind cǎ o