Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Integrale prime 155
Întrucât (t0, x0 1 , ..., x0n ) este un punct oarecare din mult¸imea I × D rezultǎ
∂U
∂t +
n
i=1
∂U
∂t · fi = 0, (∀)(t, x1, ..., xn) ∈ I × D.
Sǎ arǎtǎm acum implicat¸ia reciprocǎ, adica: dacǎU :I×D →IR 1 este o funct¸ie
de clasǎ C1 , care nu este constantǎ ¸si verificǎ
∂U
∂t +
n ∂U
∂t · fi = 0
i=1
atunci U este constantǎ pe solut¸iile sistemului (4.19).
În acest scop considerǎm o solut¸ie oarecare x1(t), ..., xn(t) a
sistemului (4.19) ¸si funct¸ia ϕ(t) = U(t, x1(t), ..., xn(t)). Pentru a arǎta cǎ
funct¸ia ϕ(t) este constantǎ calculǎm derivata ei ¸si gǎsim:
dϕ
dt
∂U
=
∂t (t, x1(t), ..., xn(t)) +
+
n ∂U
(t, x1(t), ..., xn(t)) · fi(t, x1(t), ..., xn(t)) = 0,
∂xi
(∀) t ∈ I.
i=1
Astfel, rezultǎ cǎ funct¸ia ϕ(t) este constantǎ.
Observat¸ia 4.5.1 Pentru ca o funct¸ie U : D → IR 1 de clasǎ C 1 neconstantǎ
care nu depinde de t sǎ fie integralǎ primǎ este necesar ¸si suficient ca U sǎ
n ∂U
verifice fi = 0.
∂xi
i=1
Definit¸ia 4.5.2 Sistemul (4.19) se zice autonom dacǎ funct¸iile fi nu depind
de t; fi : D → IR n , fi = ˙ fi(x1, x2, ..., xn), i = 1, n.
Observat¸ia 4.5.2 Problema determinǎrii mi¸scǎrii unui punct material de
masǎ m într-un câmp de fort¸e potent¸ial având potent¸ialul V , revine la determinarea
solut¸iilor sistemului canonic a lui Hamilton:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dxi
dt
dpi
dt
= ∂H
∂pi
= −∂H
∂xi
i = 1, 2, 3
(4.20)