Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 115
Teorema 4.3.6 Dacǎ funct¸ia de clasǎ C 1 , F : IR 1 × IR n → IR n nu depinde
de t, atunci pentru orice X 0 ∈ IR n ¸si t1, t2 ∈ IR 1 , avem:
X(t1 + t2; 0, X 0 ) = X(t2; 0, X(t1; 0, X 0 )) = X(t1; 0, X(t2; 0, X 0 ))
Demonstrat¸ie: Demonstrǎm teorema pentru n = 1.
Se observǎ cǎ pentru t2 = 0 au loc:
x(t1 + t2; 0, x0) = x(t2; 0, x(t1; 0, x0)) = x(t1; 0, x(t2; 0, x0)).
În continuare se remarcǎ faptul cǎ avem egalitatea:
d
dt x(t + t1; 0, x0) = f(x(t + t1; 0, x0))
¸si deducem cǎ x(t+t1; 0, x0) este solut¸ia saturatǎ a problemei cu date init¸iale
Rezultǎ în acest fel egalitatea:
˙x = f(x), x(0) = x(t1; 0, x0).
x(t + t1; 0, x0) = x(t; 0, x(t1 : 0, x0),
pentru orice t. În particular, pentru t = t2, se obt¸ine prima egalitate din
enunt¸.
Pentru cazul n ≥ 2 teorema se demonstreazǎ analog.
Fie I un interval real deschis (I ∈ IR 1 ), Ω un domeniu deschis în IR n
(Ω ∈ IR n ) ¸si F : I ×Ω → IR n , F = F(t, X) o funct¸ie de clasǎ C 1 . Considerǎm
în continuare condit¸ia init¸ialǎ (t0, X 0 ) ∈ I × Ω ¸si solut¸ia maximalǎ
X = X(t; t0, X 0 ) a problemei Cauchy
˙X = F(t, X), X(t0) = X 0 .
Notǎm cu I0 intervalul de definit¸ie al solut¸iei maximale X = X(t; t0, X 0 ).
Teorema 4.3.7 (de dependent¸ǎ continuǎ de ”pozit¸ia” init¸ialǎ X 0 )
Pentru orice interval compact I∗ = [T1, T2], inclus în intervalul I0(I∗ ⊂ I0),
care cont¸ine punctul t0 în interior (t0 ∈ ◦
I∗) ¸si pentru orice ε > 0, existǎ