Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

224 CAPITOLUL 7
Admit¸ând pentru moment cǎ aceastǎ evaluare este adevǎratǎ putem continua
evaluarea deja stabilitǎ
n
Au · udX ≥ µ0
∂u 2
∂xi
dX + c(X)u 2 (X)dX,
Ω
¸si gǎsim:
Au · udX ≥ µ0
k ·
Ω
Ω
Ω i=1
|u(X)| 2
dX +
Ω
Ω
c(X)u 2 (X)dX ≥ µ0
k
Ω
|u(X)| 2 dX
Astfel inegalitatea (7.8) a fost demonstratǎ.
Rǎmâne sǎ demonstrǎm acum teorema folositǎ în demonstrat¸ia teoremei
(7.1.2) denumitǎ inegalitatea lui Friedrichs.
Teorema 7.1.3 (inegalitatea lui Friedrichs) Existǎ o constantǎ k > 0, astfel
încât pentru orice u ∈ C 1 ( ¯ Ω) cu u| ∂Ω = 0 sǎ avem:
Ω
|u(X)| 2
dX ≤ k
Ω
n
∂u
∂xi
i=1
2
dX. (7.9)
Demonstrat¸ie: Domeniul Ω fiind mǎrginit existǎ o translat¸ie
T : IR n → IR n , (TX = X + X0 ) astfel încât pentru orice X ′ ∈ Ω ′ = TΩ
sǎ avem x ′ i ≥ 0. Deoarece
Ω ′
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′ =
Ω
|u(X)| 2 dX ¸si
Ω ′
∂u
′
∂x ′ i
2
dX ′
=
Ω
∂u
∂xi
unde u ′ (X ′ ) = u(TX) ¸si X ′ = TX, rezultǎ cǎ este suficient sǎ se demonstreze
inegalitatea (7.9) pe Ω ′ . Mai mult, Ω ′ fiind domeniu mǎrginit existǎ a > 0
astfel ca Ω ′ ⊂ Γa = {X ′ | 0 ≤ x ′ i ≤ a} ¸si prelungind cu 0 funct¸ia u′ pe ΓaΩ ′
rezultǎ cǎ, are loc:
Ω ′
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′ =
Γa
|u ′ (X ′ )| 2 dX ′
¸si
Ω ′
∂u
′
∂x ′ i
2
dX ′
=
Γa
2
∂u
′
Astfel, ajungem la concluzia cǎ, este suficient sǎ demonstrǎm inegalitatea
(7.9) doar pentru Ω = Γa. Pentru aceasta folosim formula lui Leibnitz-
Newton
u(x1, x2, ...xn) =
xi
0
∂u
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ...xn)dξ
∂xi
∂x ′ i
2
dX
dX ′