Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

160 CAPITOLUL 4
Fie acum U o integralǎ primǎ oarecare a sistemului (4.1). Conform
definit¸iei U(t, X(t; t0, X ′ )) nu depinde de t ¸si putem scrie
U(t, X(t; t0, X ′ )) = h(X ′ ).
Înlocuind X ′ cu ψ(t, X ′′ ) ¸si t¸inând seama de egalitatea
obt¸inem:
X(t; t0, ψ(t, X ′′ )) ≡ X ′′
U(t, X ′′ ) = h(ψ(t, X ′′ )).
Aceastǎ din urmǎ egalitate aratǎ cǎ integrala primǎ U este o funct¸ie h de
cele n integrale prime independente ψ1, ..., ψn.
O metodǎ de determinare a integralelor prime este datǎ de ecuat¸ia:
∂U
∂t +
n ∂U
· fi = 0
∂xi
i=1
În aceastǎ ecuat¸ie U este funct¸ie necunoscutǎ ¸si intervine în ecuat¸ie prin intermediul
derivatelor part¸iale de ordinul întâi. De aceea ecuat¸ia aceasta se
nume¸ste ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi. Orice solut¸ie a acestei
ecuat¸ii este o integralǎ primǎ.
Observǎm cǎ dacǎ funct¸iile µ0, µ1, ..., µn sunt astfel ca
µ0 +
n
µi · fi = 0
1
¸si existǎ o funct¸ie U cu proprietatea ∂U
∂t = µ0 ¸si ∂U
= µi, atunci funct¸ia U
∂xi
este integralǎ primǎ pentru sistemul (4.19).