Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 127
Avem egalitǎt¸ile:
τ · Xτ(t) = X(t; t0 + τ, X 0 ) − X(t; t0, X 0 ) =
= X(t; t0, X(t0; t0 + τ, X 0 )) − X(t; t0, X 0 ) =
= ∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · [X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ]+
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||) =
= ∂X 1X(t; t0, X 0 )·[X(t0; t0+τ, X 0 )−X(t0+τ; t0+τ, X 0 )]+
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||) =
= −τ∂ X 1X(t; t0, X 0 ) n
cu 0 < θk < 1 pentru k = 1, n.
Astfel,
Xτ(t) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 )(
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||)
n
k=1
+ O(||X(t0; t0+τ, X 0 )−X 0 ||)
||X(t0; t0+τ, X 0 )−X 0 ||
Fk(t0+θkτ, X(t0+θkτ; t0+τ, X
k=1
0 )·ek +
Fk(t0 + θk · τ, X(t0 + θkτ; t0 + τ, X 0 ))e k )+
· ||X(t0; t0+τ, X0 )−X(t0+τ; t0+τ, X0 )||
.
τ
Deoarece raportul 1
τ · ||X(t0; t0 +τ, X 0 ) −X(t0 +τ, t0 +τ, X 0 )|| este mǎrginit
pentru τ → 0 ¸si ||X(t0; t0 +τ, X 0 ) −X 0 || → 0 pentru τ → 0 uniform pe orice
interval compact I∗ ⊂ Iδ(I∗ ∋ t0) rezultǎ cǎ
lim
τ→0 Xτ(t) = −∂X1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 )
¸si deci funct¸ia X(t; t1, X 1 ) este deiferent¸iabilǎ în raport cu t1 în (t; t0, X 0 ).
În plus,
∂t1X(t; t0, X 0 ) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 ).