Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi 101
proport¸ionalǎ, la orice moment, cu cantitatea de materie radioactivǎ rǎmasǎ.
Dacǎ x(t) reprezintǎ cantitatea de materie radioactivǎ rǎmasǎ atunci
˙x = −a · x,
unde a este o constantǎ pozitivǎ.
În cazul dezintegrǎrii carbonului radioactiv C14 , a = 1
¸si deci în acest
8000
caz, ecuat¸ia devine ˙x = − 1
· x.
8000
Arǎtat¸i cǎ, dacǎ la un moment t0 se cunoa¸ste cantitatea de carbon radioactiv
C 14 dintr-o mostrǎ de animal sau plantǎ gǎsitǎ într-un strat geologic,
atunci se poate reconstitui vârsta acelei mostre.
Rezolvare
Fie x0 cantitatea de carbon radioactiv C 14 dintr-o mostrǎ la momentul t0.
Problema cu date init¸iale:
˙x = − 1
· x
8000
x(t0) = x0
are solut¸ie unicǎ ¸si aceasta este datǎ de
1
−
x(t; t0, x0) = x0e 8000 (t−t0)
.
Dacǎ x1 este valoarea normalǎ a cantitǎt¸ii de carbon radioactiv C 14 în starea
vie a animalului sau plantei atunci, egalând
1
−
x1 = x0e 8000 (t−t0)
gǎsim o ecuat¸ie în t, care ne dǎ timpul t în care animalul sau planta erau vii,
iar diferent¸a t − t0 aratǎ vârsta mostrei.
Problema 4.1.2
Un rezervor cilindric are o gaurǎ circularǎ la bazǎ prin care lichidul din
rezervor se poate scurge. O întrebare asemǎnǎtoare cu cea din Problema
4.1.1 este urmatoarea: dacǎ la un moment dat vedem cǎ rezervorul este gol
putem oare sǎ ¸stim dacǎ acesta a fost odatǎ plin ¸si când?
Rǎspunsul este evident nu. Cum se explicǎ?