Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

76 CAPITOLUL 3
ln ε +
ε +
ε +
d
ε +
dt
t
t0
ε +
ln
t
t0
ε +
A · X(t; t0, X 0 ) − X(t)
t
t0
t
t0
t
t0
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)dτ
A · X(τ; t0, X 0 ) −
X(τ) dτ
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)dτ
≤ A ⇔
≤ A ⇔
A · X(τ; t0, X 0 ) −
X(τ) dτ − ln(ε) ≤ A (t − t0) ⇔
t
t0
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ) dτ
) ≤ A ·(t − t0) ⇔
ε
A · X(τ; t0, X 0 ) − X(τ) dτ ≤ ε · e A·(t−t0) , (∀)t ≥ t0, ε > 0.
=⇒ X(t; t0, X 0 ) − X(t) < εe A(t−t0) , (∀)t ≥ t0, (∀)ε > 0
Pentru t fixat ¸si ε → 0 rezultǎ
X(t; t0, X 0 ) − X(t) = 0.
Astfel am arǎtat cǎ pentru orice t ≥ t0 ¸si t ∈ I avem X(t) = X(t; t0, X 0 ).
Rat¸ionǎm analog pentru t ≤ t0, t ∈ I ¸si obt¸inem X(t) = X(t; t0, X 0 ). Se
obt¸ine în final egalitatea
X(t) = X(t; t0, X 0 )
pentru orice t ∈ I, care aratǎ cǎ solut¸ia X(t) coincide cu solut¸ia X(t; t0, X 0 )
gǎsitǎ în teorema de existent¸ǎ.
Observat¸ia 3.1.4 Din teorema de existent¸ǎ ¸si cea de unicitate rezultǎ cǎ
orice solut¸ie a sistemului (3.2) este definitǎ pe IR 1 ¸si se obt¸ine cu formula
X(t) = e (t−t0)·A · X 0 .
Într-adevǎr fie X(t) o solut¸ie oarecare a sistemului (3.2) definitǎ pe un interval