Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare neomogene 85
Teorema 3.2.1 (de existent¸ǎ ¸si unicitate ¸si de reprezentare a solut¸iei problemei
cu date init¸iale).
Dacǎ funct¸ia F(t) este continuǎ pe IR 1 , atunci pentru orice t0 ∈ IR 1 ¸si
X 0 ∈ IR n problema cu date init¸iale (3.6) are solut¸ie unicǎ definitǎ pe IR 1
¸si aceastǎ solut¸ie se reprezintǎ sub forma:
X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A
t
0
· X +
t0
e (t−s)·A · F(s)ds (3.7)
Demonstrat¸ie: Pentru a demonstra cǎ problema Cauchy (3.6) are cel mult
o solut¸ie, presupunem prin absurd cǎ X 1 (t) ¸si X 2 (t) sunt douǎ solut¸ii ale
problemei (3.6) ¸si considerǎm funct¸ia X 3 (t) = X 1 (t) − X 2 (t).
Se verificǎ u¸sor cǎ funct¸ia X 3 (t) este solut¸ia problemei Cauchy
˙X 3 = A · X 3 , X 3 (t0) = 0.
Din teorema de unicitate a solut¸iei problemei Cauchy pentru sisteme omogene
rezultǎ cǎ:
X 3 (t) = 0, (∀)t.
Prin urmare
X 1 (t) − X 2 (t) ≡ 0,
ceea ce contrazice ipoteza X 1 (t) = X 2 (t).
Rǎmâne sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia Z(t) definitǎ prin:
Z(t) = e (t−t0)·A
t
0
· X +
t0
e (t−s)·A · F(s)ds
pentru orice t ∈ IR 1 verificǎ (3.6).
Remarcǎm cǎ funct¸ia Z(t) este corect definitǎ; este de clasǎ C 1 pe IR 1 ¸si
derivata ei verificǎ:
˙Z(t) = A · e (t−t0)·A
t
0
· X + F(t) +
t0
A · e (t−s)·A · F(s)ds = A · Z + F(t).
Prin urmare funct¸ia Z(t) este solut¸ie a ecuat¸iei neomogene (3.5). În plus calculând
Z(t0) gǎsim Z(t0) = X0 ¸si astfel teorema a fost complet demonstratǎ.