Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

264 CAPITOLUL 7
T
+ A · u(t, X) · V (t)(X)dX dt =
0 Ω
T
0
f(t, X) · V (t)(X)dX dt.
Ω
Itervertind ordinea de integrare ¸si fǎcând o integrare prin pǎrt¸i în raport cu
t în prima integralǎ, obt¸inem:
T
Ω
0
2 ∂ u
+ A · u(t, X) − f(t, X) · V (t)(X)dt dX = 0
∂t2 pentru orice V ∈ ST (am t¸inut seama de faptul cǎ V (T) = 0).
Rezultǎ de aici cǎ:
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X), (∀)t > 0, (∀)X ∈ Ω.
∂t2 Observat¸ia 7.4.3 Aceastǎ teoremǎ aratǎ cǎ dacǎ o solut¸ie generalizatǎ este
suficient de ”netedǎ” atunci ea este solut¸ie clasicǎ.
Teorema 7.4.4 (de unicitate a solut¸iei generalizate)
Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o solut¸ie generalizatǎ.
Demonstrat¸ie: Presupunem prin absurd cǎ problema (7.36)-(7.39) admite
solut¸iile generalizate U1(t) ¸si U2(t) ¸si considerǎm funct¸ia U(t) = U1(t)−U2(t).
Pentru orice T > 0 ¸si orice V ∈ ST funct¸iile U ¸si V verificǎ:
−
0
T
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt +
Funct¸ia V definitǎ prin V (t) =
¸si are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
T
0
< U(t), V (t) >A dt = 0
T
U(τ)dτ apart¸ine spat¸iilor de funct¸ii S ¸si ST
t
V ′ (t) = −U(t) ¸si V ′′ (t) = −U ′ (t).
Înlocuind acestea în relat¸ia de mai sus rezultǎ cǎ:
T
0
< V ′′ (t), V ′ (t) >L 2 (Ω) dt −
T
0
< V ′ (t), V (t) >A dt = 0.