Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

166 CAPITOLUL 5
Teorema 5.1.2 Dacǎ în (x0 0 , x01 , . . ., x0n ) ∈ Ω avem
f0(x 0 0 , x01 , . . ., x0n ) = 0
atunci pentru h de clasǎ C 1 definitǎ într-o vecinǎtate deschisǎ D a lui (x 0 1 , . . .,x0 n )
problema Cauchy are solut¸ie unicǎ.
Demonstrat¸ie: Considerǎm solut¸iile u1, u2, . . .,un ale ecuat¸iei (5.1) definite
în vecinǎtatea deschisǎ V a lui (x0 0 , x01 , . . .,x0 n ) cu proprietatea
uk(x 0 0 , x1, . . .,xn) = xk, k = 1, . . .,n.
Existǎ o vecinǎtate V ⊂ V a lui (x0 0 , x01 , . . .,x0 n ) astfel ca pentru
(x0, x1, . . .,xn) ∈ V sǎ avem
Fie
(u1(x0, x1, . . ., xn), . . .,un(x0, x1, . . .,xn)) ∈ D.
u(x0, x1, . . .,xn) = h(u1(x0, x1, . . .,xn), . . ., un(x0, x1, . . .,xn)).
Funct¸ia u(x0, x1, . . ., xn) definitǎ astfel este de clasǎ C 1 ¸si verificǎ ecuat¸ia
(5.1):
∂u
∂x0
În plus,
· f 0 0 +
n
k=1
∂u
∂xk
· fk =
=
n ∂h
·
∂yl l=1
∂ul
n n ∂h
· f0 +
·
∂x0 ∂yl
k=1 l=1
∂ul
· fk =
∂xk
n
n
∂h ∂ul ∂ul
· f0 + · fk = 0.
∂yl ∂x0 ∂xk
l=1
u(x 0 0 , x1, . . .,xn) = h(u1(x 0 0 , x1, . . .,xn), . . .,un(x 0 0 , x1, . . .,xn)) =
= h(x1, . . ., xn)
deci u este solut¸ia problemei Cauchy.
Pentru unicitate sǎ presupunem cǎ u este o altǎ solut¸ie a problemei Cauchy
definitǎ pe V . Rezultǎ cǎ existǎ γ astfel ca
u(x0, x1, . . .,xn) = γ(u1(x0, x1, . . .,xn), . . ., un(x0, x1, . . .,xn)).
k=1