Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

258 CAPITOLUL 7
cu formula
Aw = −
n
n
∂
aij(X) ·
∂xi
∂w
+ c(X) · w(X)
∂xj
i=1
j=1
ecuat¸ia hiperbolicǎ poate fi scrisǎ sub forma:
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X), (∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × Ω.
∂t2 Teorema 7.4.1 Dacǎ funct¸ia u : [0, +∞) × Ω → IR 1 este solut¸ie clasicǎ a
problemei (7.36-7.39), atunci funct¸ia U definitǎ prin:
are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
U(t)(X) = u(t, X)
i) U : [0, +∞) → L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 pe [0, +∞).
ii) U : [0, +∞) → H 1 0
iii) U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1.
Demonstrat¸ie:
este funct¸ie continuǎ;
i) Arǎtǎm la început cǎ funct¸ia U : [0, +∞] → L 2 (Ω) este derivabilǎ în
orice t0 ∈ [0, +∞). Pentru aceasta, considerǎm t0 ∈ [0, +∞) ¸si apoi raportul
1
[U(t) − U(t0)] ∈ L
t − t0
2 (Ω)
¸si arǎtǎm cǎ acest raport tinde la ∂u
∂t (t0, x) ∈ L 2 (Ω) în norma L 2 (Ω) atunci
când t → t0. Aceasta înseamnǎ cǎ trebuie sǎ arǎtǎm egalitatea:
lim
t→t0
Ω
1
[U(t) − U(t0)](X) −
t − t0
∂u
∂t (t0,
X)
Folosind teorema cre¸sterilor finite a lui Lagrange scriem:
1
t − t0
[U(t) − U(t0)] (X) = 1
t − t0
2
dX = 0.
[u(t, X) − u(t0, X)] = ∂u
(t(X), X)
∂t