Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

124 CAPITOLUL 4
Rezultǎ de aici cǎ existǎ limita λ = lim
t→β X(t; t0, X 0 , µ) ¸si (β, λ) ∈ I × Ω.
Contradict¸ie.
Calculele fǎcute sunt valabile pe intervalul I∗ ¸si astfel teorema este demonstratǎ.
Consecint¸a 4.3.3 Dacǎ funct¸ia F = F(t, X, µ) este liniarǎ în raport cu
X ∈ IR n , atunci pentru orice interval I∗ (I∗ ⊂ I) care cont¸ine punctul t0
în interior ( ◦
I ∗∋ t0) ¸si pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε, I∗) > 0 astfel încât
dacǎ ||µ − µ 0 || < δ, avem:
pentru orice t ∈ I∗.
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0, X 0 , µ 0 )|| < ε
Demonstrat¸ie: Cu teorema lui Banach-Steinhaus se obt¸ine cǎ
funct¸ia ||F(t, ·, µ)|| este mǎrginitǎ pe compacte ¸si
lim F(t, X, µ) = F(t, X, µ
µ→µ0
0 ).
Teorema 4.3.10 (de diferent¸iabilitate în raport cu condit¸iile init¸iale) În
condit¸iile Teoremei 4.3.7, funct¸ia (t, t1, X 1 ) → X(t; t1, X 1 ) este diferent¸iabilǎ
în raport cu t1, X 1 ¸si au loc urmǎtoarele egalitǎt¸i:
d
∂X1X(t; t0, X
dt
0 ) = ∂XF(t, X(t; t0, X0 )) · ∂X1X(t; t0, X0 )
∂ X 1X(t0; t0, X 0 ) = I
d
∂t1X(t; t0, X
dt
0 ) = ∂XF(t, X(t; t0, X0 )) · ∂t1X(t; t0, X0 )
∂t1X(t0; t0, X 0 ) = −F(t0, X 0 )
∂t1X(t; t0, X 0 ) = −∂ X 1X(t; t0, X 0 ) · F(t0, X 0 )