Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

108 CAPITOLUL 4
Demonstrat¸ie: Presupunem prin absurd cǎ funct¸iile
X ′ , X ′′ : J ⊂ Ih → IR n (t0 ∈ J)
sunt douǎ solut¸ii locale ale problemei cu date init¸iale (4.4). Aceste solut¸ii
verificǎ:
X ′ (t) = X 0 t
+ F(τ, X ′ (τ))dτ, X ′′ (t) = X 0 t
+
t0
De aici rezultǎ cǎ X ′ (t), X ′′ (t) satisfac inegalitatea:
X ′ (t) − X ′′ (t) < ε + K
de unde se obt¸ine:
t
X ′ (τ) − X ′′ (τ)dτ
X ′ (t) − X ′′ (t) < εe K|t−t0|
t0
t0
F(τ, X ′′ (τ))dτ.
(∀) t ∈ J, (∀) ε > 0,
(∀)t ∈ J, (∀)ε > 0.
Trecând la limitǎ pentru ε → 0 se obt¸ine egalitatea X ′ (t) = X ′′ (t),
(∀)t ∈ J, t − fixat.