Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Integrale prime 161
Exercit¸ii:
1. Fie sistemul de ecuat¸ii: ⎧ ⎨
2.
⎩
Sǎ se determine o integralǎ primǎ.
⎧
⎪⎨
µ0 = 0, µ1 = x1, µ2 = x2
R:
⎪⎩ U(x1, x2) = 1
2 (x21 + x 2 2)
x1 ˙ = x2
x2 ˙ = −x1
În descrierea mi¸scǎrii solidului rigid intervine sistemul:
⎧
⎨
⎩
A · ˙p = (B − C)g · r
B · ˙q = (C − A)r · p
C · ˙r = (A − B)p · q
Sǎ se determine douǎ integrale prime pentru sistemul considerat.
R: U1(p, q, r) = Ap 2 +Bq 2 +cr 2 ¸si U2(p, q, r) = A 2 p 2 +B 2 q 2 +C 2 r 2 .
3. Sǎ se determine douǎ integrale prime pentru sistemul:
a) dx
x
= −dy
2y
= dz
−z
R:U1(x, y, z) = x √ y ¸si U2(x, y, z) = xz.
b)
dx
z − y
= dy
x − z
= dz
y − x
R: U1(x, y, z) = x + y + z ¸si U2(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 .
c)
dx
x 2 (y + z) =
dy
−y 2 (z + x) =
dz
z 2 (y − x)
R: U1(x, y, z) = xyz ¸si U2(x, y, z) = 1 1 1
+ +
x y z .