Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

268 CAPITOLUL 7
(∀)t ∈ [0, T], j = 1, 2, . . .
precum ¸si convergent¸a seriei de funct¸ii continue ¸si pozitive
+∞
f 2 j
j=1
(τ) la funct¸ia
continuǎ F(τ) 2
L2 (Ω) implicǎ convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, T]
((∀)T > 0 ¸si T < +∞) în L2 (Ω) a seriei de funct¸ii:
+∞
j=1
⎛
⎝ 1
√ λi
t
0
fj(τ) · sin λj(t − τ)dτ
⎞
⎠ ωj
¸si faptul cǎ suma seriei este funct¸ie continuǎ de t cu valori în L 2 (Ω). Rezultǎ
cǎ, în condit¸iile din teoremǎ formula (7.44) define¸ste o funct¸ie
U ∈ C([0, +∞); L 2 (Ω)).
Pentru a demonstra apartenent¸a U ∈ C 1 ([0, +∞); L 2 (Ω)) se considerǎ seria
derivatelor:
+∞
j=1
− λj· < u0, ω >L2 (Ω) · sin λj · t+ < u1, ωj >L2 (Ω) · cos
λj · t · ωj+
+∞
j=1
⎛
⎝
0
T
fj(τ) · cos( λj) · (t − τ)dτ
⎞
⎠ ωj
¸si se aratǎ cǎ aceasta converge uniform în raport cu t ∈ [0, T](T > 0
¸si T < +∞) în spat¸iul L 2 (Ω).
Trecem sǎ examinǎm convergent¸a seriei derivatelor care este de fapt o sumǎ
de trei serii.
Prima dintre acestea este seria
+∞
− λj· < u0, ωj > L2 (Ω) · sin λj · t · ωj
j=1
¸si este uniform convergentǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) dacǎ seria numericǎ:
+∞
λj · | < u0, ωj > L2 (Ω) | 2 este convergentǎ. Aceasta din urmǎ, poate fi
j=1