Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

98 CAPITOLUL 4
¸si deci |x2(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀)t ∈ Ih. Rezultǎ astfel cǎ
(t, x2(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.
Etapa II (a implicat¸iei):
Presupunem cǎ (t,xn(t)) ∈ ∆, (∀) t ∈ Ih ¸si arǎtǎm cǎ (t, xn+1(t)) ∈ ∆,
(∀) t ∈ Ih.
Pentru aceasta calculǎm xn+1(t) ¸si gǎsim
xn+1(t) = x0 +
t
t0
f(τ, xn(τ))dτ
de unde |xn+1(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀) t ∈ Ih. Rezultǎ
(t, xn+1(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.
Astfel am arǎtat cǎ pentru (∀)n ≥ 1 ¸si (∀)t ∈ Ih avem (t, xn(t)) ∈ ∆.
Trecem acum sǎ evaluǎm maximul modulului |xn+1(t) − xn(t)| pe Ih.
Pentru aceasta, t¸inem seamǎ de egalitǎt¸ile:
xn+1(t) = x0 +
xn(t) = x0 +
pe care le scǎdem ¸si obt¸inem:
t
|xn+1(t) − xn(t)| ≤ |K
De aici rezultǎ inegalitatea:
din care deducem:
t0
t
t0
f(τ, xn(τ))dτ
f(τ, xn−1(τ))dτ
t
t0
|xn(τ) − xn−1(τ)|dτ|
max |xn+1(t) − xn(t)| ≤
t∈Ih
K
K + 1 max |xn(τ) − xn−1(τ)|
τ∈Ih
max |xn+1(t) − xn(t)| ≤
t∈Ih
≤
K
K + 1
K
K + 1
n
n
· max
t∈Ih
· M · h ≤
|x1(t) − x0| ≤
K
K + 1
n
· b