Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

172 CAPITOLUL 5
+ ∂v
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) · g(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) ≡ 0
¸si prin urmare:
∂v
∂u (x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) · g(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn)) =
∂v
∂u (x1, ..., xn, u(x1, ..., xn))·
n ∂u
(x1, ..., xn)·fk(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)).
∂xk
k=1
T¸inem seamǎ de faptul cǎ ∂v
∂u (x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)) = 0 deducem egalitatea:
n ∂u
(x1, ..., xn) · fi(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn))=g(x1, ..., xn, u(x1, ..., xn)).
∂xk
k=1
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia u = u(x1, . . .,xn) este solut¸ie a ecuat¸iei (5.3).
Teorema aratǎ cǎ rezolvarea ecuat¸iilor cvasiliniare cu derivate part¸iale de
ordinul întâi se reduce la rezolvarea ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul
întâi liniare.
Definit¸ia 5.2.3 Pentru (x0 1 , . . .,x0 n ) ∈ Ω problema gǎsirii unei solut¸ii
u(x1, . . .,xn) a ecuat¸iei (5.3) astfel încât
u(x 0 1 , x2, . . .,xn) = ξ(x2, . . .,xn),
ξ fiind o funct¸ie datǎ de clasǎ C 1 se nume¸ste problemǎ Cauchy pentru ecuat¸ia
(5.3).
Teorema 5.2.2 Dacǎ f1(x 0 1, . . .,x 0 n, ξ(x 0 2, . . .,x 0 n)) = 0, atunci existǎ o
vecinǎtate deschisǎ V a punctului (x 0 1 , . . .,x0 n ) ¸si o solut¸ie u=u(x1, ..., xn)
a ecuat¸iei (5.3) definitǎ pe V astfel încât
u(x 0 1 , x2, . . .,xn) = ξ(x2, . . .,xn).
Demonstrat¸ie: Existǎ n solut¸ii v1, v2, . . .,vn ale ecuat¸iei (5.4) definite pe o
vecinǎtate a punctului (x 0 1, . . .,x 0 n, ξ(x 0 2, . . .,x 0 n)) astfel încât
vk(x 0 1 , x2, . . .,xn, u) = xk+1, k = 1, 2, . . ., n − 1