Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 261
cu |t(X) − t0| ≤ |t − t0| ¸si |t ∗ i (X) − t0| ≤ |t − t0|.
Funct¸iile ∂u
∂t ¸si ∂2u sunt continue ¸si prin urmare mǎrginite pe compacte
∂t∂xi
de forma [t0 − η, t0 + η] × Ω. Rezultǎ de aici cǎ, existǎ o constantǎ pozitivǎ
K2 > 0 astfel ca
U(t) − U(t0) 2
H 1 0
≤ K 2 · |t − t0| 2 ,
de unde se obt¸ine continuitatea funct¸iei U : [0, +∞) → H 1 0.
iii) Egalitǎt¸ile: U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1 sunt imediate.
Considerǎm în continuare spat¸iul de funct¸ii S definit prin:
S = C([0, +∞); H 1 0 ) ∩ C1 ([0, +∞); L 2 ).
Teorema precedentǎ aratǎ cǎ, dacǎ u = u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a problemei
(7.36-7.39), atunci funct¸ia U definitǎ prin U(t)(X) = u(t, X) apart¸ine
spat¸iului de funct¸ii S ¸si verificǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1.
Fie T > 0 ¸si subspat¸iul de funct¸ii ST definit prin:
ST = {V ∈ S|V (T) = 0}
Teorema 7.4.2 Dacǎ funct¸ia u = u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a problemei
(7.36-7.39), atunci funct¸ia U definitǎ prin U(t)(X) = u(t, X) apart¸ine
spat¸iului de funct¸ii S, verificǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1 ¸si pentru orice T > 0
¸si orice funct¸ie V ∈ ST are loc egalitatea:
−
T
0
0
T
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt− < u1, V (0) > L 2 (Ω) +
< U(t), V (t) >A dt =
T
0
< F(t), V (t) >L 2 (Ω) dt.
(7.40)
Demonstrat¸ie: Apartenent¸a funct¸iei U la spat¸iul S a fost demonstratǎ. S-a
arǎtat de asemenea cǎ U(0) = u0 ¸si U ′ (0) = u1. Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm cǎ