Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant 31
1. Cum ne dǎm seama cǎ ecuat¸ia (1.55) este cu diferent¸ialǎ totalǎ?
2. Cum se determinǎ o funct¸ie U = U(t, x) a cǎrei diferent¸ialǎ este egalǎ
cu P dt + Q dx?
Un rǎspuns la aceste întrebǎri este dat de urmǎtoarea propozit¸ie.
Propozit¸ia 1.9.2 Dacǎ funct¸iile P ¸si Q sunt de clasǎ C1 pe un domeniu Ω
¸si ∂P ∂Q
=
∂x ∂t , atunci pentru orice (t0, x0) ∈ Ω existǎ un r > 0 ¸si o funct¸ie
realǎ U = U(t, x) definitǎ pe discul centrat în (t0, x0) ¸si de razǎ r astfel încât
sǎ aibe loc relat¸ia (1.56).
Demonstrat¸ie: Pentru un punct (t0, x0) ∈ Ω se considerǎ r > 0 astfel ca
discul centrat în (t0, x0) ¸si de razǎ r > 0 sǎ fie inclus în Ω. Pornind de la faptul
cǎ pe disc trebuie sǎ avem ∂U
t
= P deducem cǎ U(t, x) = P(τ, x)dτ+Ψ(x)
∂t t0
unde Ψ este o funct¸ie de clasǎ C1 necunoscutǎ. Impunând condit¸ia ∂U
= Q
∂x
obt¸inem egalitatea:
t
T¸inând seamǎ acum de egalitatea ∂P
∂x
t0
t
t0
∂P
∂x (τ, x) dτ + Ψ′ (x) = Q(t, x).
= ∂Q
∂t
deducem cǎ:
∂Q
∂t (τ, x) dτ + Ψ′ (x) = Q(t, x).
Efectuând integrarea se obt¸ine egalitatea:
din care rezultǎ:
Q(t, x) − Q(t0, x) + Ψ ′ (x) = Q(t, x)
Ψ ′ (x) = Q(t0, x).
Prin urmare funct¸ia Ψ(x) este datǎ de formula:
Ψ(x) =
x
x0
Q(t0, y) dy + C (1.58)