Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 195
Demonstrat¸ie: Presupunem cǎ funct¸ia u nu este constantǎ pe Ω ¸si dorim
sǎ arǎtǎm cǎ u î¸si atinge extremele pe ∂Ω. Rat¸ionǎm prin reducere la absurd
¸si admitem cǎ, existǎ X 0 ∈ Ω astfel încât oricare ar fi X ∈ Ω avem
u(X) ≤ u(X 0 ).
Considerǎm r0 > 0 astfel încât
B(X 0 , r0) = {Y : Y − X 0 ≤ r0} ⊂ Ω
¸si arǎtǎm cǎ u este constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r0).
Dacǎ u nu ar fi constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r0) atunci ar exista
X 1 ∈ B(X 0 , r0) astfel încât u(X 1 ) < u(X 0 ). Pentru X 1 , existǎ r1 > 0 astfel
încât pentru orice X ∈ B(X 1 , r1) avem:
u(X) < 1
0 1
u(X ) + u(X ) .
2
Putem admite cǎ r1 < min{r0 − X 1 − X 0 , X 1 − X 0 } ¸si considerǎm
numǎrul ρ = X 1 − X 0 > 0. Aplicǎm formula de reprezentare a lui u(X 0 )
pe ∂B(X 0 , ρ) ¸si gǎsim:
u(X 0 ) = 1
2πρ
∂B(X 0 ,ρ)
Frontiera ∂B(X 0 , ρ) se descompune astfel:
u(Y )dsY .
∂B(X 0 , ρ) = ∂B(X 0 , ρ) ∩ B(X 1 , r1) ∪ B(X 0 , ρ) ∩ (Ω \ B(X 1 , r1)) = σ1 ∪ σ2
¸si cu aceastǎ descompunere formula de reprezentare devine:
u(X0 ) = 1
2πρ ds
u(Y )dsY + 1
2πρ
u(Y )dsY <
σ1
σ2
< 1
1
0 1
· u(X ) + u(X ) · dsY +
2πρ 2
σ1
1
2πρ · u(X0
) · dsY <
σ2
< 1
2πρ · u(X0 ) · 2πρ = u(X 0 ) absurd.
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia u este constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r).
Pentru a arǎta în continuare cǎ pentru orice X ∈ Ω avem u(X) = u(X 0 ) fie