Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

30 CAPITOLUL 1
1.9 Ecuat¸ii cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ.
Factor integrant
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ de forma:
P(t, x)
˙x = −
Q(t, x)
(1.55)
este cu diferent¸ialǎ totalǎ exactǎ dacǎ existǎ o funct¸ie U de clasǎ C 1 cu
proprietatea:
dU = P dt + Q dx. (1.56)
Acesta înseamnǎ cǎ existǎ o funct¸ie U de clasǎ C1 a cǎrei diferent¸ialǎ este
egalǎ cu P dt + Q dx. Altfel spus, P = ∂U ∂U
¸si Q =
∂t ∂x .
Propozit¸ia 1.9.1 Dacǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ (1.55) este cu diferent¸ialǎ totalǎ
exactǎ ¸si o funct¸ie realǎ U = U(t, x) de clasǎ C 1 are proprietatea (1.56),
atunci pentru orice solut¸ie x=x(t) a ecuat¸iei (1.55)
U(t, x(t))=const.
Demonstrat¸ie: Pentru a demonstra cǎ funct¸ia U(t, x(t)) nu depinde de t,
se deriveazǎ în raport cu t ¸si se obt¸ine:
d
∂U
U(t, x(t)) =
dt ∂t +∂U
∂x ·dx
P(t, x)
= P(t, x(t))+Q(t, x(t))· − =
dt Q(t, x)
= P(t, x(t)) − P(t, x(t)) = 0
Aceastǎ propozit¸ie aratǎ cǎ o solut¸ie x(t) a ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ totalǎ
exactǎ este o solut¸ie a ecuat¸iei implicite:
U(t, x) = C (1.57)
în care C este o constantǎ realǎ.
Este u¸sor de verificat cǎ ¸si afirmat¸ia reciprocǎ este adevǎratǎ: o solut¸ie
x = x(t) a ecuat¸iei implicite (1.57) este o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ
totalǎ (1.55).
Astfel, determinarea solut¸iilor ecuat¸iei cu diferent¸ialǎ totalǎ (1.55) se reduce
la determinarea solut¸iilor ecuat¸iei implicite (1.57). Acest rezultat conduce
în mod natural la urmǎtoarele douǎ probleme: