Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

244 CAPITOLUL 7
Notǎm:
¸si din ecuat¸ia
¸si condit¸ia init¸ialǎ
deducem:
V0 =
∞
m=1
< V(0), um >L 2 (Ω) ·um
vm(t) =< V (t), um > L 2 (Ω)
fm(t) =< F(t), um >L 2 (Ω)
v 0 m (t) =< V0, um > L 2 (Ω)
dV
dt + AV = F(t)
V (0) = V0
dvm
dt + λm · vm = fm, vm(0) = v 0 m m = 1, 2, 3, . . ..
Aceste probleme cu date init¸iale au solut¸iile date de formula
vm(t) = v 0 me −λmt +
t
0
e −λm(t−s) · fm(s)ds m = 1, 2, 3, . . .
de unde rezultǎ cǎ solut¸ia V (t) a Problemei Cauchy abstracte (7.26) verificǎ
egalitatea:
∞
V (t) = v 0 me −λmt ⎛
∞
t
· um + ⎝ e −λm(t−s) ⎞
· fm(s)ds⎠
· um. (7.27)
m=1
m=1
Vom arǎta acum cǎ, dacǎ V0 ∈ L 2 (Ω) ¸si funct¸ia F : [0, +∞) → L 2 (Ω) este
de clasǎ C 1 pe [0, +∞), atunci membrul drept al formulei (7.27) define¸ste
o funct¸ie V (t) care este solut¸ie pentru problema Cauchy abstractǎ, adicǎ V
are proprietǎt¸ile (a), (b), (c) din Definit¸ia (7.26).
În prima etapǎ, trebuie demonstratǎ convergent¸a seriilor din membrul drept
al egalitǎt¸ii (7.27) ¸si examinatǎ ”netezimea” funct¸iilor care sunt sumele acestor
serii.
Deoarece {um}m este un sistem ortonormat complet în L 2 (Ω), din convergen-
t¸a seriei numerice ∞
|v0 m| 2 · e−2λmt rezultǎ convergent¸a în L2 (Ω) a seriei de
m=1
0