Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi105
¸si cu X matricea coloanǎ (x1, x2, ..., xn) T . Cu aceste notat¸ii sistemul (4.2) se
scrie sub forma matricealǎ:
˙X = F(t, X). (4.3)
În aceastǎ problemǎ derivarea funct¸iei matriceale X(t) înseamnǎ derivarea
elementelor matricei.
Observat¸ia 4.2.1 Problema cu date init¸iale (problema Cauchy) se scrie matriceal
sub forma:
⎧
⎨ ˙X = F(t, X)
⎩
X(t0) = X0 (4.4)
¸si constǎ în determinarea funct¸iei matriceale X(t) care verificǎ (4.3) ¸si condit¸ia
init¸ialǎ X(t0) = X 0 .
Observat¸ia 4.2.2 O funct¸ie X : J ⊂ I → IR n de clasǎ C 1 este solut¸ie a
problemei (4.4) dacǎ ˙ X = F(t, X(t)), (∀)t ∈ J ¸si X(t0) = X 0 (se presupune
cǎ t0 ∈ J).
Considerǎm a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul ∆:
sǎ fie inclus în domeniul I × D.
∆ = (t, x) : |t − t0| ≤ a ¸si x − x 0 ≤ b
Teorema 4.2.1 (Cauchy-Lipschitz de existent¸ǎ a unei solut¸ii locale) Dacǎ
funct¸ia F este continuǎ pe ∆ ¸si este lipschitzianǎ în raport cu X pe ∆, atunci
problema cu date init¸iale (4.4) are o solut¸ie localǎ definitǎ pe intervalul
Ih = [t0 − h, t0 + h] unde h = min
K este constanta lui Lipschitz:
a, b
M ,
1
K + 1
; M = max F(t, X) ¸si
(t,x)∈∆
F(t, X ′ ) − F(t, X ′′ ) ≤ K X ′ − X ′′ , (∀) (t, X ′ ), (t, X ′′ ) ∈ ∆.