Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

106 CAPITOLUL 4
Demonstrat¸ie: Construim urmǎtorul ¸sir de funct¸ii:
X 0 (t) = X 0
X 1 (t) = X 0 t
+
t0
X 2 (t) = X 0 t
+
t0
................
X k+1 (t) = X 0 t
+
t0
................
F(τ, X 0 (τ))dτ
F(τ, X 1 (τ))dτ
F(τ, X k (τ))dτ
Funct¸iile din acest ¸sir sunt corect definite, întrucât pentru orice t ∈ Ih
¸si k ∈ IN are loc apartenent¸a (t, X k (t)) ∈ ∆ (demonstrat¸ia se face prin
induct¸ie). Urmând rat¸ionamentul din paragraful precedent evaluǎm diferent¸a
max
t∈Ih
X k+1 (t) − X k (t) ¸si gǎsim:
max X
t∈Ih
k+1 (t) − X k (t) ≤ K
de unde deducem inegalitatea
K + 1 max
t∈Ih
X k (t) − X k−1 (t),
max X
t∈Ih
k+1 (t) − X k k K
(t) ≤
· b.
K + 1
Scriem acum funct¸ia X k (t) sub forma:
X k k−1
i+1 i
(t) = X0(t) + X (t) − X (t)
i=0
¸si remarcǎm cǎ, ¸sirul Xk (t)
este ¸sirul sumelor part¸iale ale seriei de
k∈IN
funct¸ii
X 0 ∞
i+1 i
(t) + X (t) − X (t) .
Deoarece
i=0
X k+1 (t) − X k (t) ≤
k K
· b
K + 1