Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

58 CAPITOLUL 2
în care C1(t), C2(t), C3(t) sunt funct¸ii de clasǎ C 1 care trebuiesc determinate.
Calculǎm derivata întâi a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:
˙x = ˙ C1 + ˙ C2 · e −2t · cos t + ˙ C3 · e −2t · sin t − 2C2 · e −2t · cos t−
− 2C3 · e −2t · sin t − C2 · e −2t · sin t + C3 · e −2t · cost
Impunem ca ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3 sǎ verifice:
¸si obt¸inem:
˙C1 + ˙ C2 · e −2t · cost + ˙ C3 · e −2t · sin t = 0
˙x = −C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)
Calculǎm derivata a doua a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:
¨x = − ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)+
+2C2 · e −2t · (2 cost + sin t) − 2C3 · e −2t · (cos t − 2 sint)−
−C2 · e −2t · (−2 sin t + cost) + C3 · e −2t · (− sin t − 2 cost) =
= − ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t)+
+C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + C3 · e −2t · (3 sint − 4 cost).
Impunem ca ˙ C2, ˙ C3 sǎ verifice:
− ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cost − 2 sin t) = 0
¸si obt¸inem
¨x = C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)
De aici calculǎm derivata a treia a funct¸iei x(t) ¸si obt¸inem:
...
x = ˙ C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)−
−2C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) − 2C3 · e −2t · (3 sint − 4 cost)+
+C2 · e −2t · (−3 sin t + 4 cost) + C3 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) =
= ˙ C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost)+
+C2 · e −2t · (−2 cost − 11 sint) + C3 · e −2t · (−2 sin t + 11 cost).