Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 267
Problema cu datele init¸iale (7.42) are o singurǎ solut¸ie ¸si aceasta este datǎ
de:
uj(t) =< u0, ωj > L2 (Ω) · cos λj · t + 1
· < u1, ωj > L2 (Ω) · sin
λj
λj · t +
+ 1
λj
·
T
0
fj(τ) · sin λj · (t − τ)dτ, (∀)t ≥ 0, j = 1, 2, . . .
Astfel rezultǎ cǎ solut¸ia generalizatǎ U are urmǎtoarea reprezentare:
U(t) =
+∞
j=1
< u0, ωj >L2 (Ω) · cos λj · t + 1
· < u1, ωj >L
λj
2 (Ω)·sin λj · t
+
+∞
j=1
⎛
⎝ 1
λj
·
T
0
⎞
fj(τ) · sin λj · (t − τ)dτ⎠
· ωj.
(7.43)
Etapa II Arǎtǎm acum cǎ, în condit¸iile din teoremǎ formula (7.44) define¸ste
o funct¸ie U care apart¸ine spat¸iului S ¸si verificǎ (7.41) pentru T > 0.
Convergent¸ele
+∞
| < u0, ωj > L2 | 2 < +∞ ¸si
j=1
+∞
| < u1, ωj > L2 | 2 < +∞
implicǎ convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) în spat¸iul L2 (Ω) a
seriei de funct¸ii:
+∞
j=1
< u0, ω > L2 (Ω) · cos λj · t + 1
· < u1, ωj > L2 · sin
λj
λj · t
¸si faptul cǎ suma seriei este funct¸ie continuǎ de t cu valori în L 2 (Ω).
Inegalitǎt¸ile:
1
λj
·
T
0
j=1
fj(τ) · sin
λj · (t − τ)dτ
2
≤ T
λ1
T
0
f 2 j (τ)dτ,
· ωj
·ωj +
(7.44)