Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Metode numerice 131
4.4 Metode numerice
4.4.1 Metoda liniilor poligonale a lui Euler de determinare
numericǎ localǎ a unei solut¸ii neprelungibile
în cazul sistemelor diferent¸iale de ordinul
întâi
Fie I un interval real deschis ¸si nevid I ⊂ IR 1 , D un domeniu nevid în spat¸iul
IR n , D ⊂ IR n ¸si F o funct¸ie de clasǎ C 1 , F : I × D → IR n .
Pentru (t0, X 0 ) ∈ I × D considerǎm solut¸ia neprelungibilǎ X = X(t; t0, X 0 )
a problemei cu date init¸iale
˙X = F(t, X); X(t0) = X 0
¸si notǎm cu I0 = (α0, β0) ⊂ I intervalul de definit¸ie al acestei solut¸ii.
(4.12)
O primǎ metodǎ de determinare numericǎ localǎ a solut¸iei neprelungibile
X = X(t; t0, X0 ) este cea a liniilor poligonale a lui Euler. În cele ce urmeazǎ
vom prezenta aceastǎ metodǎ.
Considerǎm douǎ constante pozitive a ¸si b, a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul
∆ = {(t, X)| |t − t0| ≤ a ¸si X − X 0 ≤ b}
sǎ fie inclus în domeniul Ω = I × D; ∆ ⊂ I × D.
Notǎm cu M maximul funct¸iei F pe cilindrul compact ∆ :
M = max F(t, X)
(t,X)∈∆
cu α numǎrul pozitiv α = min a, b
¸si cu Iα intervalul
M
Iα = [t0 − α, t0 + α].
Considerǎm un numǎr real ¸si pozitiv ε > 0 ¸si alegem δ = δ(ε) astfel ca pentru
orice (t ′ , X ′ ), (t ′′ , X ′′ ) ∈ ∆ care verificǎ inegalitǎt¸ile:
|t ′ − t ′′ | < δ(ε) ¸si X ′ − X ′′ < δ(ε)
sǎ avem F(T ′ , X ′ ) − F(t ′′ , X ′′ ) < ε.